1、反證法是一類常用的間接證法，特別適用于否定性、存在性、唯一性問題。應該說“反證法是一個積極的、主動的證明大法”。（注Ⅰ）然而，對于反證法的理論依據，人們在認識上并不一致。現摘抄最近出版的幾份教輔資料，便可知分岐之所在。1人民教育出版社、延邊教育出版社聯合出版的《全日制普通高中（人教版）教案系列叢書?數學第一冊上教案》第55頁第19行寫到：反證法證題的理論依據：原命題與其逆否命題同真假，即要證“若P則q”為真，可證“若┐q則P”為假，從而

2、“若┐q則┐P”為真（真值表），所以“若P則q”為真。為了方便，我們暫且將該書的觀點稱為“原命題與其逆否命題同真假”說，簡稱為“同真假說”。2陜西師范大學出版社出版的《人教社新教材同步學案?黃岡兵法?高一數學上》第69頁第5行寫到：反證法是證明命題的一種間接方法，因為“若P則q”的否定形式是“若P則非q”，由真值表可知，若證得“若P則非q”是假命題，則“若P則q”必為真命題。它與證明原命題的逆否命題有著極大的區(qū)別，它的使用具體體現了數學

3、解題中“正難則反”的辯證思想，因此除掌握好使用反證法的步驟外，還要注意掌握使用反證法的時機。顯然，該書不同意“同真假說”，而認為反證法的理論依據是證原命題的否定為假。我們暫且將該書的觀點稱為“原命題的否定為假，必有原命題為真”說，簡稱為“命題否定說”。3蘇州大學出版社出版的《高一數學教學與測試（學生用書）》第24頁倒數第2行寫到：用反證法證明“若P則q”為真的方法是證明它的否定“若P且非q”為假，因此從“非q”出發(fā)引出矛盾是反證法的特征

4、。很明顯，該書的觀點應屬于“命題否定說”，但與黃岡兵法的敘述稍有不同?！巴婕僬f”與“命題否定說”，針鋒相對，孰對孰錯呢？是不全對還是全不對呢？這正是本文所要辯析的問題。問題的辯析高一數學（人教版）第32頁對反證法證明命題的三個步驟明示得十分清楚，大家在這方面無任何異意。為簡便起見，不妨將三個步驟分別稱為“反設”、“歸謬”、及“結論”?！皻w謬”部分既是反證法的核心，也是其精神實質的具體體現。反證法的理論依據之所以認識不盡一致，恐怕也源于

5、此。為明辨是非，我們有必要逐層剖析。1“歸謬”的“出發(fā)點”是什么？是單獨的“┐q”，還是“┐q且P”？筆者認為，一般情況是“┐q且P”，特殊情況下，才不用P而僅用“┐q”。先看下例：題1、已知a、b、c是一組勾股數，求證a、b、c不能都是奇數。證明：旁白：假設a、b、c都是奇數，“反設”（┐q）則a2，b2，c2都是奇數，依據“┐q”推理由題設得a2b2=c2用到了條件p∴a2b2=c2為偶數依據“┐q且P”推理這與c2是奇數矛盾推出矛

6、盾故原命題成立得出結論此題說明，在一般情況下，“歸謬”的“出發(fā)點”是“┐q且P”題2、高一數學教材（人教版）第32頁例3，用反證法證明：如果ab0那么√a√b[分析]此題應改為:當：a0b0時，若ab，則√a√b。這樣改動是將原命題仿本頁的例2改成，“當a0b0時”是大前提，“若ab”是條件P，“則√a√b”是結論q證明：旁白：假設√a不大于√b“反設”即或√a√b，或√a=√b得“┐q”被涂黑，那么乙能看到（當然對于丙也是一樣），乙既

7、然看到了我的臉沒給涂黑，同時他又認為他的臉也沒給涂黑，那么乙就應該對丙的發(fā)笑而感到奇怪.因為在這種情況下（甲、乙的臉都是干凈的），丙是沒有可笑的理由了.然而現在的事實是乙對丙的發(fā)笑并不感到奇怪，可見乙是在認為丙在笑我.由此可知，我的臉也給涂黑了.這里應著重指出的是，甲并沒有直接看到自己的臉是否給涂黑了，他是根據乙、丙兩人的表情進行分析、思考，而說明了自己的臉給涂黑了.簡單地說，甲是通過說明臉被涂黑了的反面—沒被涂黑是錯誤的，從而覺察了自

8、己的臉被涂黑了.因此這是一種間接的證明方法.顯然這種證明方法也是不可缺少的.像這樣，為了說明某一個結論是正確的，但不從正面直接說明，而是通過說明它的反面是錯誤的，從而斷定它本身是正確的方法，就叫做“反證法“.我們證明數學命題，一般多用直接證法[就是直接從命題的題設(已知部分)出發(fā)，經過推理，推出命題的結論（求證部分）正確].但有時用直接證法不易實現，則可采用間接證法，如反證法反證法就是其中的一種，下面我們把上述問題變成數學上的敘述.二、

9、學習、講解新課二、學習、講解新課⒈什么是反證法？⒈什么是反證法？要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的.即反證法反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數學證明方法.例如，在上述例子中，要證明的結論是“甲的臉也給涂黑了”.在證明這個結論時，是先提出與結論相反的假設：“甲的臉沒被涂黑”，然后根據乙對丙的笑不感到奇怪這個事實（本來由“甲的臉沒被

10、涂黑”應推出“乙對丙的笑應感到奇怪”），推導出這個與結論相反的假設不能成立，從而肯定了原來的結論成立.關于反證法，實際上我們在初中學習平行線時，就早已遇到過了.我們知道，在同一個平面內，兩條直線的位置關系只有相交、平行兩種.我們學過了平行公理：“經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”.下面我們用反證法來證明它的一個推論：“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”.已知：如圖，AB∥EF，CD∥EF，求證：AB

11、∥CD.證明：假設AB不平行于CD，則AB與CD就要交于一點，設交點為P.∵AB∥EF，CD∥EF，于是經過點P就將有兩條直線AB和CD都與EF平行，根據平行公理，這是不可能的.∴AB與CD不能相交，只能平行.以上例子說明，無論是在日常生活中還是在數學中，都經常應用反證法.而且在某些情形下它還是一種比較簡捷的證明方法.⒉反證法的主要步驟⒉反證法的主要步驟仔細分析上述問題不難看出，運用反證法時，其主要步驟可以概括為：否定—推理—否定—肯定