1、圖示曲線為一旋輪線，其參數(shù)R為已知。圖中M點處的曲率半徑為 .,,,答案：1. v/l 2. A、B的軌跡均為旋輪線（或稱擺線、圓滾線） 3. mv2/2l 解題思路同“桿的下落.doc”,題：在錄音機或連續(xù)印刷機中，磁帶（或紙張）以勻速 v 運動。設以 r 表示磁帶盤（紙筒）的半徑， b 表示磁帶的厚度。試導出磁帶盤角加速度的表達式。,解：設初始

2、時紙筒半徑為r 0，在任一瞬時t ,紙筒半徑為 r ，角速度為w，紙筒已轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為n，(不一定為整數(shù)）則有,因 v 和 b 為常量，故有,又因,所以,角加速度,鞏固題：一張致密光盤（CD）音軌區(qū)域的內(nèi)半徑R1=2.2cm，外半徑為R2=5.6cm，徑向音軌密度 N=650條/mm。在 CD唱機內(nèi)，光盤每轉(zhuǎn)一圈，激光頭沿徑向向外移動一條音軌，激光束相對光盤是以v=1.3m/s的恒定速度運動的。問：（1）這張光盤全部放音時間是多長？（2）

3、激光束到達離盤心R=5.0cm處時，光盤轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度是多少？,答：（1）69.4 min （2）,題．AC、BD兩桿各以勻角速度w分別繞距離為l的A、B軸作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)向如圖。小圓環(huán)M套在 AC及 BD桿上。在某一瞬時a=b=60º，求小圓環(huán) M在任意瞬時的速度和加速度。,題．AC、BD兩桿各以勻角速度w分別繞距離為l的A、B軸作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)向如圖。小圓環(huán)M套在 AC及 BD桿上。在某一瞬時a=b=

4、60º，求小圓環(huán) M在任意瞬時的速度和加速度。,,,,,,,,,,向垂直于AC方向投影：,解1：,方向：與x軸正向之間的夾角為2a+60°,求得：,同理可求加速度。,題．AC、BD兩桿各以勻角速度w分別繞距離為l的A、B軸作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)向如圖。小圓環(huán)M套在 AC及 BD桿上。在某一瞬時a=b=60º，求小圓環(huán) M在任意瞬時的速度和加速度。,解2：因,所以 M點的運動軌跡為一圓周，圓心為O,不難算出圓的半徑,

5、因AOE為空間固定直線，所以,,,例 如圖，兩輛汽車均勻速前進。A車沿直線行駛，B車沿圓周行駛。OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s, ω=0.05rad/s,圓周半徑R=1000m，求： （1） t=0瞬時A車上的乘客看到的B車的相對速度； （2）t=0瞬時B車上的乘客看到的A車的相對速度。,,,,,,A,,R,B,,,O,,,,例5 OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s,

6、ω=0.05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬時：(1) A車上的乘客看到的B車的相對速度；(2)B車上的乘客看到的A車的相對速度。,解：（1）求t=0瞬時B車上的乘客看到的A車的相對速度,1、選擇動點與動系,2、分析三種運動和速度,4、求解未知量,3、作速度平行四邊形，如圖。,動點－A車；,動系－固結(jié)于B車上；,絕對運動－沿OA的直線運動,相對運動－規(guī)律未知,牽連運動—車B繞O的定軸轉(zhuǎn)動,,R,,,,,A,B,,,O,,,,

7、,,例5 OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s, ω=0. 05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬時：(1) A車上的乘客看到的B車的相對速度；(2)B車上的乘客看到的A車的相對速度。,解：（2）求t=0瞬時A車上的乘客看到的B車的相對速度,1、選擇動點與動系,2、分析三種運動和速度,4、求解未知量,3、作速度平行四邊形，如圖。,動點－B車；,動系－固結(jié)于A車上；,絕對運動－以R為半徑的圓周運動,

8、相對運動－規(guī)律未知,牽連運動—車B的直線平動,,,R,,,,,A,B,,,O,,,,例5 OA=x0-vAt,θ=ωt，x0=3000m, vA=10m/s, ω=0. 05rad/s, R=1000m，求： t=0瞬時：(1) A車上的乘客看到的B車的相對速度；(2)B車上的乘客看到的A車的相對速度。,討論：,,,R,,,,,A,B,,,O,（1）由計算結(jié)果：,可知：在不同車上觀察到的相對速度截然不同。,,討論：,,,A,B,,（2

9、）更進一步，可編程作出兩車乘客所觀察到的相對運動軌跡。,動點為A，動系固結(jié)在B車時：,,討論：,,,A,B,,,,,x’,y’,動點為B，動系固結(jié)在A車時，相對運動軌跡為：,,題：設Oxy是固定坐標系。系統(tǒng)由三根不計半徑的細桿構(gòu)成，初始時刻CD桿沿z軸；OB桿長為a，沿x軸正方向；AB桿長為l，開始時先與z軸平行，繞x軸負方向轉(zhuǎn)動β角后，把這三根桿件焊成一個整體，如圖所示。 假設在yz平面內(nèi)有一張紙存在，為了能讓系統(tǒng)持續(xù)地繞z軸以

10、勻角速度ω轉(zhuǎn)動，需要在紙上挖出某種形狀的空隙讓AB桿通過（這里只考慮AB桿）。,（1）如果a=0，求空隙的函數(shù)表達式Γ0，并畫出示意圖。 （2）如果a>0，求空隙的函數(shù)表達式Γa，并畫出示意圖。Γ0與Γa有何關(guān)系？ （3）當a>0時，設P是AB桿與yz平面的交點，當點P位于AB桿中點且yP>0時，如果要求P點的速度和加速度，你如何考慮？取a=1m，l=4m，β=π/6，ω=1rad/s，速度和加速度是多

11、少？,初始時刻的系統(tǒng)位置,P點軌跡是雙曲線（的一部分），,（3）設P是AB桿與yz平面的交點，當點P位于AB桿中點且yP>0時，求P點的速度和加速度？取a=1m，l=4m，β=π/6，ω=1rad/s,（3）求P點的加速度？取a=1m，l=4m，β=π/6，ω=1rad/s,分離變量積分，易得：,軌跡為對數(shù)螺線,題. 三名舞蹈演員在舞臺上（視作平面上三點）組成一正三角形。音樂一開始，每一演員即朝向右側(cè)的另一演員以常速率 v 緩慢前

12、進。問演員走過的軌跡是什么曲線？求某點處的曲率半徑。,解: 設三名演員初始時位于A0、 B0、 C0 ，他們之間的距離為a 任意瞬時他們的位置如圖。知，三角形ABC仍是正三角形,動系：繞O做定軸轉(zhuǎn)動，角速度與人所在的三角形的角速度相同,動點：A,絕對運動：未知曲線，但va的大小和方向均已知,牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動,相對運動：直線運動,,動系：繞O做定軸轉(zhuǎn)動，角速度與人所在的三角形的角速度相同,動點：A,,,,,,,,,,

13、？,0,？,0,式（*）向x’軸投影,題. 繞鉛直軸以等角速度w緩慢旋轉(zhuǎn)的封閉圓艙中，站在艙底盤的實驗者感不到自己的運動，但拋出的小球的運動卻不服從牛頓運動定律。設實驗者站立處A距底盤旋轉(zhuǎn)中心O的距離為 r ，請你替他設計一個拋球的初速度（大小vO，方向與OA的夾角為a ），使得球拋出后能返回來打到實驗者身上。試寫出vO ， a應滿足的條件，畫出小球相對軌跡示意圖（不考慮小球在鉛垂方向的運動，例如，認為小球在光滑的艙底盤上運動）。,解:

14、 (1) 在定坐標系中考慮問題。小球以絕對速度 v 沿直線 A B運動，如果小球到達 B時，實驗者也隨底盤沿著 弧線到達B，則小球打在實驗者身上。,解: (2) 條件為 給定 q ，即可求出v ，即問題有多解。當給定v, q時，可用速度合成定理求相對速度vO及方向a 。,(3)小球相對軌跡示意如圖.,題：如圖,AB桿的A端沿圓槽O運動,B端與輪軸鉸接。輪軸沿直線軌道只滾不滑。圓槽O半徑為R，輪軸內(nèi)外半徑分別為R1

15、、 R2 。AB長為L。圖示瞬時，已知A點速度vA，AB桿中點M的切向加速度為零。則此瞬時： （l） P 點的速度vP大小為 。 （2）M 點的加速度大小為 。,題. 在運動學中，軌跡是個重要概念，但簡單機構(gòu)也可能有復雜的軌跡曲線。如圖，小齒輪O1在大齒輪O內(nèi)作純滾動。其中大齒輪半徑為R，小齒輪半徑為r,E是小齒輪上的偏心點，偏心距為e。求小齒輪上偏心點E

16、的軌跡。并討論軌跡的特點。解：,討論：（a）若x為無理數(shù)，則軌跡曲線不封閉；（b）若x為有理數(shù)，則軌跡曲線封閉。進一步，設 ，m，n為不可約自然數(shù)，則曲線的周期為2n p 。或小齒輪轉(zhuǎn)n 圈后曲線重合。并且曲線有m個尖點或花瓣；（c）h= 1時曲線有尖點。 h <1時尖點變?yōu)閳A凸， h ＞l時曲線的尖點變?yōu)榛ò辍?h = 0時曲線為圓；（d） x =2， h =1時曲線退化為直線。 x