1、目錄1引言.........................................................(1)2符號說明、基本定義、性質和命題...............................(1)2.1符號說明.............................................(1)2.2初等行變換..........................................

2、.(1)2.3矩陣的行等價.........................................(1)2.4行簡化梯形矩陣和主元列的定義.........................(2)3行簡化梯形矩陣唯一性定理的證明...............................(2)3.1矩陣A的行簡化梯形矩陣的存在性........................(2)3.2證明唯一性...............

3、............................(2)4行簡化梯形矩陣的一些簡單應用.................................(5)4.1化矩陣為行簡化梯形矩陣，并確定主元列.................(5)4.2應用行化簡算法解線性方程組...........................(5)4.3行簡化梯形矩陣的唯一性的兩個重要應用.................(7)5與已有的證明方法進

4、行比較.....................................(7)6對一些文獻資料的思考.........................................(8)結束語.........................................................(9)致謝.........................................................

5、..(9)參考文獻.......................................................(9)行簡化梯形矩陣的唯一性證明及應用2(1)自反性：.AA?(2)對稱性：若，則.AB?BA?(3)傳遞性：若，，則.AB?BC?AC?2.4、行簡化梯形矩陣和主元列的定義定義2(見[1定義1])令表示數域mnP?P上的所有矩陣，的任意非零的mn?mnAPA??行中第一個非零元素稱為這一行的“首”元素，如果矩

6、陣滿足下列條件：A(1)每個首元素是1；(2)包含首元素1的每列中，其它的元素都是零；(3)每個零行（若有的話）都排在所有非零行的下面；(4)設在的第行首元素出現在列，的AiitA個非零行中首元所在列數滿足()rm?1t2t……，rt則稱為行簡化梯形矩陣.A例如矩陣01000000010000000100000001000000000100000000000000000000A???????????????????????就是一個行簡化

7、梯形矩陣，也即是行最簡形或行標準形.定義3包含首元素1的每列中，其它的元素都是零，這些列稱為主元列.首元素1所在的位置稱為主元位置.命題4(見[1定理4])矩陣的秩等于AA的行簡化梯形矩陣中非零行的個數.3、行簡化梯形矩陣唯一性定理的證明3.1、矩陣的行簡化梯形矩陣的存在性A命題5中任意一個矩陣都可通過mnP?A初等行變換使它行等價于行簡化梯形矩陣.這個命題顯然是成立的.對先從mnAP???最左的非零列開始這是一個主元列主元位置A要在該

8、列頂端所以要在主元列中選取一個非零元作為主元若有必要的話對換兩行使這個元素移到主元位置上.再用倍加行變換將主元下面的元素變成0.暫時不管包含主元位置的行以及它上面的各行對剩下的子矩陣使用上述的三個步驟直到沒有非零行需要處理為止.最后由最右面的主元開始把每個主元上方的各元素變成0若某個主元不是1用數乘變換將它變成1.這樣就可以得到的一個行等價矩陣——行簡化梯形矩A陣.具體的證明過程可見[3]或[4].3.2、證明唯一性命題6（唯一性定理）

9、中任意一個矩陣mnP?僅與唯一的行簡化梯形矩陣行等價，即的行AA簡化梯形矩陣是唯一的.記的唯一行簡化梯形A矩陣為.B證明設，是的兩個行簡化梯形矩BCA陣，則，.由性質1，得：.由AB?AC?BC?命題1，4知與的秩相同，且非零行的個數BC相同，令的秩為，所以，可設Ar1t2t3t4t?rt(1)001000000000100000000000100000000000001000000000000010000000000000000000