1、13.4 課題學習 最短路徑問題,.,2,如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？,兩點之間,線段最短,①②③,.,3,(Ⅰ)兩點在一條直線異側,已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。,,P,連接AB,線段AB與直線L的交點P ，就是所求。,.,4,思考？？？為什么這樣做就能得到最短距離呢？,根據：兩點之間線段最短.,引言： 　前面我們研究過一些關于“兩點的

2、所有連線中，線 段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題．現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié) 將利用數學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”．,引入新知,,,,,,,,問題1　相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：　　從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B

3、 地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？,,探索新知,,,,,,,,精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬 問題”．　　你能將這個問題抽象為數學問題嗎？,探索新知,,追問1　這是一個實際問題，你打算首先做什么？,將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線．,探索新知,,（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處

4、，把這些地點與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地 到飲馬地點，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追問2　你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數學問題嗎？,,,探索新知,追問2　你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？,（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線l上的點．設C 為直線上的一個動點，上 面的問題就轉化

5、為：當點C 在l 的什么位置時，　　 AC 與CB 的和最小（如圖）．,追問1　對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側B′處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB′的長度相等？,探索新知,問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直 線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最?。?追問2　你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？,探索新知,問題2 如圖，

6、點A，B 在直線l 的同側，點C 是直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB的和最??？,,作法：（1）作點B 關于直線l 的對稱 點B′；（2）連接AB′，與直線l 相交 于點C． 則點C 即為所求．,探索新知,問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最??？,,探索新知,問題3　你能用所學的知識證明AC

7、 +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），連接AC′，BC′，B′C′． 由軸對稱的性質知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．,,探索新知,問題3　你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？,,探索新知,問題3　你

8、能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？,證明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′．　　即　AC +BC 最短．,,若直線l 上任意一點（與點C 不重合）與A，B 兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最?。?探索新知,追問1　證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），證明AC +BC ＜AC′+BC′？這里的“C

9、′”的作用是什么？,,探索新知,追問2　回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？,.,19,1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）,.,20,,我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？,思維火花,各抒己見,1、把A平移到岸邊.,2、把B平移到岸邊.,3、把橋平

10、移到和A相連.,4、把橋平移到和B相連.,.,21,上述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請檢驗.,合作與交流,1、2兩種方法改變了.怎樣調整呢？,把A或B分別向下或上平移一個橋長,那么怎樣確定橋的位置呢?,.,22,問題解決,,A1,,,,,M,N,如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.,理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.,,,,,Ｎ１,Ｍ１,由平移

11、性質可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.,AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.,在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三邊關系知A1N1+BN1＞A1B,因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN,.,23,(Ⅲ)一點在兩相交直線內部,已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.,,,,