專(zhuān)題2 立方和(差)公式和(差)的立方公式(必講)(張俊)_第1頁(yè)
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1、專(zhuān)題二 專(zhuān)題二 立方和(差)公式、和(差)的立方公式 立方和(差)公式、和(差)的立方公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式:(1)平方差公式 ; 2 2 ( )( ) a b a b a b ? ? ? ?(2)完全平方公式 。 2 2 2 ( ) 2 a b a ab b ? ? ? ?我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 ; 2 2 3 3 ( )(

2、) a b a ab b a b ? ? ? ? ?(2)立方差公式 ; 2 2 3 3 ( )( ) a b a ab b a b ? ? ? ? ?(3)三數(shù)和平方公式 ; 2 2 2 2 ( ) 2( ) a b c a b c ab bc ac ? ? ? ? ? ? ? ?(4)兩數(shù)和立方公式 ; 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 a b a a b ab b ? ? ? ? ?(

3、5)兩數(shù)差立方公式 。 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 a b a a b ab b ? ? ? ? ?對(duì)上面列出的五個(gè)公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明。反過(guò)來(lái),就可以利用上述公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。例 1 計(jì)算:(1) ; 2 (3 2 )(9 6 4 ) y y y ? ? ?(2) ; 2 2 1 5 1 (5 )(25 ) 2 2 4 x y x xy y ? ? ?(3) 。 2 (2 1)(4 2 1) x

4、 x x ? ? ?分析: 分析:兩項(xiàng)式與三項(xiàng)式相乘,先觀察其是否滿(mǎn)足立方和(差)公式,然后再計(jì)算.解: 解:(1)原式= ; 3 3 3 3 (2 ) 27 8 y y ? ? ?(2)原式= ; 3 3 3 3 1 1 (5 ) ( ) 125 2 8 x y x y ? ? ?(3)原式= 。 3 2 2 3 2 8 4 2 4 2 1 8 8 4 1 x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?說(shuō)明: 說(shuō)明

5、:第(1) 、 (2)兩題直接利用公式計(jì)算.第(3)題不能直接利用公式計(jì)算,只好用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算,若將此題第一個(gè)因式中“+1”改成“-1”則利用公式計(jì)算;若將第二個(gè)因式中“ ”改成“ ”則利用公式計(jì)算;若將第二個(gè)因式 中“ ”改成“ 2x ? 2x ? 2x ?” ,可先用完全平方公式分解因式,然后再用和的立方公式計(jì)算 4x ?。 2 3 3 2 2 3 3 2 (2 1)(2 1) (2 1) (2 ) 3(2 ) 1 3(2 )

6、 1 1 8 12 6 1 x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例 2 計(jì)算:(1) ; 3 6 3 9 ( 1)( 1)( 1) x x x x ? ? ? ?(2) ; 2 2 ( 1)( 1)( 1)( 1) x x x x x x ? ? ? ? ? ?(3) ; 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 4 ) x y x xy y ? ? ?例4 例4設(shè) ,試求 的值。 5,

7、1 x y xy ? ? ? ? 3 3 x y ?分析: 分析:對(duì)于立方和公式 ,我們不難把它變成: 3 3 2 2 ( )( ) a b a b a ab b ? ? ? ? ?,即 ,再應(yīng)用兩數(shù)和、兩 3 3 2 ( )[( ) 3 ] a b a b a b ab ? ? ? ? ? 3 3 3 ( ) 3 ( ) a b a b ab a b ? ? ? ? ?數(shù)積解題較為方便。解: 解: 。 3 3 3 3 ( ) 3 (

8、) 5 3 ( 1) 5 140 x y x y xy x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?說(shuō)明: 說(shuō)明:立方和(差)與和(差)的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。例 5 如果 的三邊 滿(mǎn)足 ,試判斷 ABC ? , , a b c 3 2 2 2 2 3 0 a a b ab ac bc b ? ? ? ? ? ? ABC ?的形狀。分析: 分析:直接看不出三角形邊之間的關(guān)系,可把左邊的多項(xiàng)式分解因式,變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)

9、系。解: 解:因?yàn)?, 3 2 2 2 2 3 0 a a b ab ac bc b ? ? ? ? ? ?所以 , 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 a b a b ab ac bc ? ? ? ? ? ? ? ?即 , 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 0 a b a ab b ab a b c a b ? ? ? ? ? ? ? ?, 2 2 2 ( )( c ) 0 a b a b ? ? ? ?所以 或 ,

10、 a b ? 2 2 2 a b c ? ?因此 是等腰三角形或直角三角形. ABC ?說(shuō)明: 說(shuō)明:此類(lèi)題型,通常是把等式一邊化為零,另一邊利用因式分解進(jìn)行恒等變形.練習(xí) 練習(xí)1.計(jì)算:(1) ; 2 (4 )(16 4 ) a a a ? ? ?(2) ; 2 2 1 2 1 (2 )(4 ) 3 3 9 a b a ab b ? ? ?(3) ; 2 ( 1)( 1) x x x ? ? ? ?(4) 。 2 2 ( 2) ( 2

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