1、由于費(fèi)時(shí)的網(wǎng)格生成過(guò)程以及在后續(xù)的網(wǎng)格加細(xì)過(guò)程中所遇到的困難，傳統(tǒng)的有限元方法在處理復(fù)雜幾何區(qū)域時(shí)遇到了很大瓶頸。近年來(lái)，等幾何分析被提出來(lái)以解決這一關(guān)鍵問(wèn)題。
　　本文中，我們進(jìn)一步提出了結(jié)合間斷有限元方法的等幾何分析方法來(lái)來(lái)處理復(fù)雜區(qū)域上微分方程的求解問(wèn)題。我們用多個(gè)互不重疊的NURBS片來(lái)表示復(fù)雜的幾何模型。由于各個(gè)NURBS片上的基函數(shù)是完全獨(dú)立的，間斷有限元方法恰好能夠?qū)崿F(xiàn)多片的拼接以得到正確的解。值得注意的是，我們是在

2、片的層次上運(yùn)用間斷有限元方法的，即只在片與片的公共邊界處采用間斷有限元方法，而在每一片的內(nèi)部仍然采用標(biāo)準(zhǔn)的等幾何分析方法。本文方法集合了等幾何分析方法和間斷有限元方法兩者的優(yōu)點(diǎn)，這使得我們能夠設(shè)計(jì)出性能優(yōu)異的數(shù)值格式。首先，等幾何分析方法的運(yùn)用避免了傳統(tǒng)有限元中費(fèi)時(shí)的網(wǎng)格生成過(guò)程，同時(shí)，后續(xù)的網(wǎng)格加細(xì)操作也可以通過(guò)樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)插入算法和升階算法輕易地實(shí)現(xiàn)。其次，等幾何分析基函數(shù)的靈活性，尤其是多片的運(yùn)用，使得我們可以更為準(zhǔn)確甚至精確地

3、表示更復(fù)雜的幾何模型。這樣，從一開(kāi)始就明顯地降低甚至消除了以往用離散網(wǎng)格來(lái)逼近幾何模型時(shí)所產(chǎn)生的幾何誤差。此外，間斷有限元方法的靈活性使得本文方法可以輕易地處理非協(xié)調(diào)網(wǎng)格以及不同片之間采用不同次數(shù)基函數(shù)的情形。
　　本文主要研究用所提出的方法來(lái)數(shù)值求解定義在復(fù)雜的三維曲面上的偏微分方程。第一章簡(jiǎn)單地介紹了計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和非均勻有理B樣條、計(jì)算機(jī)輔助工程、等幾何分析方法以及間斷有限元方法。第二章給出本文所需要的一些預(yù)備知識(shí)。在第三章

4、和第四章中，我們分別考慮求解定義在復(fù)雜曲面上的橢圓方程和Allen-Cahn方程。針對(duì)這兩個(gè)方程，分別推導(dǎo)出其相應(yīng)的間斷有限元格式，并結(jié)合方程給出本文方法的一系列理論分析。理論分析表明，所得的間斷有限元格式是穩(wěn)定的，并且達(dá)到了最優(yōu)的收斂速度。這兩章的數(shù)值算例不僅驗(yàn)證了所得理論結(jié)果的正確性，而且還展示了本文方法的優(yōu)越性。在第五章，我們將本文方法與幾何流結(jié)合來(lái)處理一些曲面設(shè)計(jì)問(wèn)題，包括N邊洞的填補(bǔ)和多個(gè)復(fù)雜幾何體之間的光滑拼接問(wèn)題等。所考慮