1、微分方程這門學科自建立以來，就成為人們刻畫事物運動變化規(guī)律的重要認知工具，被廣泛應用于生態(tài)學、環(huán)境科學、經濟學、電力工程和自動控制等領域。因此對于微分方程數(shù)值方法及方法穩(wěn)定性的研究就成為數(shù)值計算的一個重要內容。本文分為三個部分，分別就線性多步法的增大穩(wěn)定區(qū)域、線性多步法應用于中立型延遲微分方程的穩(wěn)定性以及Burgers方程的一種顯式穩(wěn)定性方法進行了研究。眾所周知，在求解常微分方程初值問題時，線性多步法具有計算格式簡單誤差常數(shù)小等優(yōu)點，是

2、實踐中常用的數(shù)值方法，但是由于其穩(wěn)定性的限制，使得在求解一些較大時間常數(shù)問題時，必須采用很小的步長積分，致使方法的效率很低。因此，本文的第二章改進了線性多步法的穩(wěn)定性，對于特定的方法類找到了具有“最優(yōu)”穩(wěn)定區(qū)域的方法。中立型延遲微分方程是延遲微分方程的一個重要分支，在許多領域有著廣泛的應用，有許多雙曲問題都可以轉化為中立型微分方程來解決，因此它的研究具有實際意義。本文的第三章討論了一種A-穩(wěn)定的線性多步法應用于中立型延遲微分方程的穩(wěn)定性

3、。馮康教授于1984年提出Hamilton系統(tǒng)的辛幾何算法，首次將保結構的思想引入數(shù)值分析，隨后引來了國內外在這方面的極大興趣，產生了豐富的保結構算法，李群方法是最近才發(fā)展起來的一種很有發(fā)展前途的解決流形上的常微分方程的一種保結構算法，本文的第四章基于李群方法的思想構造了求解常微分方程的指數(shù)積分法，并將Burgers方程在空間上離散轉化為常微分方程，再用指數(shù)積分法來解，可以得到和Runge-Kutta方法相同的數(shù)值精度，并且在穩(wěn)定性和步