1、隨機(jī)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)、隨機(jī)穩(wěn)定性、隨機(jī)分布、隨機(jī)混沌、首次穿越及其最優(yōu)控制問(wèn)題，無(wú)論是理論上還是應(yīng)用上都是值得研究和非常重要的問(wèn)題。近些年，對(duì)于這些問(wèn)題的研究，在理論上已取得一些初步的研究成果，但是對(duì)于一些較為復(fù)雜的典型動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在不同隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為的研究仍處于起步階段。另外，利用隨機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)方程來(lái)研究經(jīng)濟(jì)、金融領(lǐng)域的問(wèn)題還很不成熟。鑒于此，本文將主要研究?jī)深惖湫偷姆蔷€性動(dòng)力系統(tǒng)-Mathieu-Duffing振子和

2、Rayleigh振子在隨機(jī)噪聲的激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為及其一類系統(tǒng)在物價(jià)模型中的應(yīng)用。 第一部分較為系統(tǒng)的研究了隨機(jī)Mathieu-Duffing系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。利用多尺度法研究了Gaussian白噪聲激勵(lì)下該系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)、零解和非零解的穩(wěn)定性，研究結(jié)果表明：在參數(shù)主共振Q=2ω<,0>附近鄰域，最大Lyapunov指數(shù)λ在調(diào)諧參數(shù)σ=0時(shí)取得最大值，而隨著σ的絕對(duì)值的增大，最大Lyapunov指數(shù)λ將趨于零。這

3、說(shuō)明，零解的穩(wěn)定性隨著調(diào)諧參數(shù)σ的絕對(duì)值的增大而趨于穩(wěn)定；而對(duì)于系統(tǒng)的非零穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，研究結(jié)果表明：非零解穩(wěn)定的充要條件是-3βaa<,0>COSη<,0>/2ω<,0>>0。 第二部分研究了有界噪聲參激下帶有Van der Pol阻尼項(xiàng)的Mathieu-Duffing系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。首先，利用隨機(jī)Melnikov方法推導(dǎo)了隨機(jī)Van der PolMathieu-Duffing方程的隨機(jī)Melnikov過(guò)程，由廣義過(guò)程在均方意義

4、上出現(xiàn)簡(jiǎn)單零點(diǎn)給出了可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的臨界激勵(lì)幅值，從而預(yù)測(cè)該系統(tǒng)可能存在混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域。然后，用數(shù)值方法計(jì)算該系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)、Poincaré截面、時(shí)間歷程圖和相軌圖，并用最大Lyapunov指數(shù)和Poincaré截面驗(yàn)證解析結(jié)果及研究有界噪聲的強(qiáng)度對(duì)該系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)混沌的臨界幅值的影響。結(jié)果表明：在ω<,0>：Ω<,1>:Ω<,2>=1:2:2和ω<,0>：Ω<,1>：Ω<,2>=1:1:2兩種情形下，隨著噪聲強(qiáng)度的

5、增大，隨機(jī)系統(tǒng)的混沌吸引子不斷擴(kuò)散，隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)度δ越大混沌吸引子的區(qū)域越大。說(shuō)明混沌響應(yīng)加強(qiáng)，即隨機(jī)噪聲會(huì)誘導(dǎo)混沌的產(chǎn)生。 第三部分主要對(duì)確定性物價(jià)模型引入了噪聲，建立了非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型一隨機(jī)Rayleigh方程，在此基礎(chǔ)上利用動(dòng)力學(xué)方法對(duì)該模型進(jìn)行了系統(tǒng)研究。首先，對(duì)于非線性隨機(jī)物價(jià)模型進(jìn)行了最優(yōu)化控制，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)采用合理的控制策略，使得物價(jià)系統(tǒng)能在盡可能長(zhǎng)的時(shí)間周期內(nèi)處于平穩(wěn)狀態(tài)，避免出現(xiàn)通貨膨脹或通貨緊縮，這對(duì)于國(guó)家

6、的經(jīng)濟(jì)良性發(fā)展也具有重要的意義。接著，對(duì)物價(jià)模型——Rayleigh方程在不同噪聲激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、首次穿越和隨機(jī)Hopf分問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的討論。具體的講，研究了Rayleigh方程在Gaussian白噪聲外激下的平穩(wěn)響應(yīng)首次穿越，利用隨機(jī)平均法得出系統(tǒng)的隨機(jī)平均It6微分方程，對(duì)平均方程建立條件可靠性函數(shù)的后向Kolmogorov方程及首次穿越時(shí)間條件矩的Pontragin方程，通過(guò)這兩個(gè)方程研究該系統(tǒng)的非線性阻尼項(xiàng)、隨機(jī)激勵(lì)項(xiàng)對(duì)系