1、本文討論了三類不同的非線性橢圓型方程Dirichlet問題。一為含臨界指數(shù)的調(diào)和問題，二為含臨界位勢的調(diào)和問題，三為含Sobolev-Hardy臨界指數(shù)的半線性奇異橢圓型方程多解問題.作者用循序漸進(jìn)的方法，建立了三類對(duì)應(yīng)于Dirichlet問題的不等式，為這些問題非平凡解的存在性理論創(chuàng)造了先決條件。 本文討論的第一類含臨界指數(shù)的調(diào)和問題，主要是利用山路引理和集中緊性原理來解決的。作者在Ω() RN空間考慮，運(yùn)用Sobolev-H

2、ardy不等式，P.L.Lions集中緊性原理，山路幾何，證明了方程至少有一個(gè)非平凡解u∈H01的結(jié)論。 對(duì)于第二類含臨界位勢的非線性橢圓型方程Dirichlet問題解的存在性。就目前的國內(nèi)外研究情況所知，當(dāng)維數(shù)N≥3時(shí)，類似問題已經(jīng)被廣泛研究，但對(duì)N=2帶有Dirichlet問題的調(diào)和算子的臨界位勢問題研究的甚少。在文章中，我們不僅給出了所研究的問題中Hardy不等式的常數(shù)C的最佳證明，而且還找出了符合這一最佳常數(shù)的達(dá)到函數(shù)，

3、說明“最佳”其實(shí)只是常數(shù)的不可改進(jìn)，而并非不等式的不可改進(jìn)。通過添加低階的甚至是線性的Lp模，不但使得不等式趨于完美，同時(shí)也為高階調(diào)和算子的臨界維數(shù)問題的處理提供了一種方法。同時(shí)，本文還證明了一個(gè)含權(quán)不等式(其中的常數(shù)是最佳的，而且奇性的階還是最高的)，由此得到當(dāng)N=2時(shí)，含臨界位勢的非線性橢圓方程是|x|-2 ln2 |R/x|。最后，再一次利用Sobolev-Hardy不等式，證明了在所給定的空間中，問題解的存在性。 在第三