1、與特殊函數(shù)有關(guān)的函數(shù)論問(wèn)題越來(lái)越受到數(shù)學(xué)家們的重視，是一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域，其中的典型問(wèn)題有Jacobi級(jí)數(shù)，Laguerre級(jí)數(shù)，Hermite級(jí)數(shù)，Hankel變換以及近年來(lái)才發(fā)展起來(lái)的R<'n>中帶有反射不變測(cè)度的Dunkl變換等．這些問(wèn)題既是經(jīng)典函數(shù)理論的廣泛推廣，在特殊參數(shù)下又與李群和對(duì)稱空間中的分析問(wèn)題密切相關(guān)．但是由于特殊函數(shù)的性質(zhì)比三角多項(xiàng)式復(fù)雜得多，在這些問(wèn)題研究中會(huì)遇到許多實(shí)質(zhì)性的困難，比如相應(yīng)的廣義平移和廣義卷積

2、運(yùn)算的復(fù)雜性等，同時(shí)也衍生出一些有價(jià)值的新問(wèn)題． 共軛函數(shù)(Riesz變換或Hilbert變換)是分析領(lǐng)域的重要概念和工具之一．自B．Muckenhoupt和E．Stein于1965年研究共軛超球級(jí)數(shù)以來(lái)，與特殊函數(shù)有關(guān)的“共軛”問(wèn)題，比如共軛Laguerre級(jí)數(shù)，共軛Hermite級(jí)數(shù)，共軛Jacobi級(jí)數(shù)等，成為相關(guān)領(lǐng)域中的重要課題，取得了一系列研究成果，例如Muckenhoupt[1969]，[1970]，Thangave

3、lu[1990]，[1993]，Cosselin-Stempak[1994]，Li[1996]，Nowak[2004]，Graczyk[2005]等． 本文主要研究與共軛Jacobi級(jí)數(shù)和共軛Laguerre級(jí)數(shù)相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題，取得了一些有重要價(jià)值的研究成果，同時(shí)還研究了矩陣形式的Laguerre多項(xiàng)式的Sobolev正交性．本文的具體成果有如下四個(gè)方面： ·研究函數(shù)按照與Jacobi多項(xiàng)式相“共軛”的基底的展開(kāi)問(wèn)題，定

4、義了相應(yīng)的廣義平移和廣義差分算子．利用共軛基函數(shù)的特征微分算子對(duì)相應(yīng)的Jacobi-Poisson積分的作用給出了按照廣義平移描述的 ((-1，1))空間中的Lipschitz函數(shù)的特征刻劃；并通過(guò)相應(yīng)的Poisson積分的一階導(dǎo)數(shù)給出了按照廣義差分描述的 ((-1，1))空間中的Lipschitz函數(shù)的特征刻劃． ·研究了Jacobi級(jí)數(shù)的(C，δ)平均和Abel-Poisson平均的飽和問(wèn)題，利用相應(yīng)于Jacobi級(jí)數(shù)的共軛

5、函數(shù)的加權(quán)Lipschitz性質(zhì)刻劃了Jacobi級(jí)數(shù)的(C，δ)平均和Abel-Poisson平均的飽和類，從而對(duì)Jacobi級(jí)數(shù)建立了Alexits-Zamansky型定理．這是Butzer等人關(guān)于Legendre級(jí)數(shù)的推廣，且不同于Bavinck的關(guān)于Jacobi級(jí)數(shù)的結(jié)果以及Horváth的飽和定理． ·通過(guò)引入與Laguerre級(jí)數(shù)相應(yīng)的廣義差分算子T<,y>和核函數(shù)G(y)，給出共軛Laguerre級(jí)數(shù)的主值積分表示

6、．證明了廣義差分T<,y>在某種范數(shù)意義下的有界性并可用來(lái)描述函數(shù)的光滑性．通過(guò)建立核函數(shù)G(y)的一系列估計(jì)式，證明了在某種范數(shù)或點(diǎn)態(tài)意義下，利用主值積分所定義的函數(shù)，f的(Laguerre-)共軛函數(shù)與利用共軛(Laguerre-)Poisson積分，f(x，y)所定義的共軛函數(shù)是一致的． ·通過(guò)找出適當(dāng)?shù)膸в袑?dǎo)數(shù)的矩陣矩量泛函，證明了關(guān)于具有負(fù)的非整數(shù)特征值的參數(shù)矩陣的Laguerre矩陣多項(xiàng)式在此泛函意義下的Sobole