1、非線性科學(xué)被深入研究并廣泛應(yīng)用到了各個(gè)自然學(xué)科。如生物學(xué)、化學(xué)、通訊和幾乎所有的物理分支，如凝聚態(tài)物理、場論、低溫物理、流體力學(xué)、等離子物理、光學(xué)等等，這之中涌現(xiàn)了大量的非線性系統(tǒng)。為此，人們很自然地考慮到：如何求解描述非線性系統(tǒng)的非線性偏微分方程呢?非線性系統(tǒng)的解具有什么樣的特性呢?如何對(duì)非線性耦合系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)稱約化，求精確解?如何構(gòu)造非線性耦合偏微分方程的Lie-Backlund變換? 通過眾多科學(xué)家的努力，人們已經(jīng)建立和發(fā)展

2、了很多求解非線性系統(tǒng)的有效方法，特別是針對(duì)其中一些被歸為可積的非線性系統(tǒng)。常用的方法有反散射方法、達(dá)布變換方法、貝克隆變換方法、分離變量法、雙線性方法和多線性方法、經(jīng)典和非經(jīng)典李群法、CK直接法、形變映射法、Painleve截?cái)嗾归_法、函數(shù)展開法等。 但是隨著孤立子理論的發(fā)展，許多實(shí)際問題不能簡化為一維問題，或者簡化成一維問題后會(huì)失去它的重要特征，或者不能簡化為單個(gè)方程問題。例如在研究粒予物理中的單極子、瞬子等問題遇到的是高維非

3、線性系統(tǒng)；在研究兩根耦合光纖的相互利用時(shí)，所遇到的是耦合NLS方程組；又如描述大氣和海洋現(xiàn)象的二層流體模型問題時(shí)遇到的是耦合KdV演化方程組等等，因此由一維到多維、由單一的孤子演化方程到耦合演化方程組的研究是當(dāng)前國際研究熱點(diǎn)對(duì)象之一。本論文主要圍繞著非線性耦合系統(tǒng)展開了討論研究。 對(duì)稱性研究是自然科學(xué)中的最基本方法之一。在可積模型的研究中，由于無窮多對(duì)稱和守恒律的存在，對(duì)稱性研究就更為重要。通過許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的努力，在連續(xù)

4、可積模型中建立了許多強(qiáng)有力的方法。 對(duì)于給定的非線性偏微分方程，傳統(tǒng)的對(duì)稱群研究方法通常是局限于尋找點(diǎn)李對(duì)稱群。在標(biāo)準(zhǔn)的李群理論中，研究無窮小形式就足夠了。通過解相應(yīng)的常微分方程組的初值問題就可以唯一地求得對(duì)應(yīng)的Lie群及Lie代數(shù)。然而，這對(duì)于非線性偏微分方程來說還是不夠的。還有不少的問題有待研究，比如說： (1)即使得到了李代數(shù)，相應(yīng)的求解初值問題來得到有限變換即對(duì)稱群還是一件十分困難的事。 (2)在很多情況下，即使能得到初

5、值問題的解，其顯式表達(dá)式仍然是繁瑣異常的，在實(shí)際當(dāng)中很難得到應(yīng)用。 (3)一般的對(duì)稱群根本就不是所謂的Lie群，而是更為一般的連續(xù)群。顯然，這樣就使得這些非線性系統(tǒng)的求解難上加難。 眾所周知，對(duì)于求解非線性系統(tǒng)，特別是求解非線性系統(tǒng)的約化和約化解，存在著三大方法：CK直接法和經(jīng)典、非經(jīng)典李群法。前者是從代數(shù)的角度來求解非線性偏微分方程的，而后者的求解是基于群論的。在非線性系統(tǒng)的對(duì)稱性約化研究中傳統(tǒng)的看法已相當(dāng)完善，一些標(biāo)準(zhǔn)類型的

6、約化己被窮盡，為此我們必須給出一些尋求新對(duì)稱性約化的新思路對(duì)非線性耦合系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)稱約化。通常，增加或者削弱研究過程中的某些限制條件會(huì)引發(fā)一些新的結(jié)果。 本文第二章介紹了求解非線性系統(tǒng)的一些常用方法，并闡述了一些李群在微分方程中應(yīng)用所涉及的有關(guān)基本概念。在第三章中我們首先介紹了一類新的具有實(shí)際應(yīng)用背景的非線性耦合系統(tǒng)。把經(jīng)典李群法推廣應(yīng)用到非線性耦合系統(tǒng)，然后把這個(gè)方法應(yīng)用到耦合KdV系統(tǒng)，我們得到了該系統(tǒng)的不變?nèi)骸⑷翰蛔兘?、李?/p>

7、數(shù)結(jié)構(gòu)等，同時(shí)我們還應(yīng)用這個(gè)方法通過求出一個(gè)典型的耦合KdV系統(tǒng)的對(duì)稱，首次用勢對(duì)稱研究了可積耦合非線性方程組，從而得到了此系統(tǒng)的Lie-Backlund變換。 我們還發(fā)現(xiàn)用經(jīng)典李群法和點(diǎn)李對(duì)稱法所得到的約化是相同的。在第四章中，我們通過增強(qiáng)約束條件，把非經(jīng)典李群法推廣應(yīng)用到非線性耦合系統(tǒng)，然后把這個(gè)方法應(yīng)用到耦合KdV系統(tǒng)，從而求得更多的新解。在第五章巾，我們建立了一種改進(jìn)了的直接約化法，將修正的直接約化法應(yīng)用到非線性耦合系統(tǒng)

8、。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，用改進(jìn)的直接約化法得到的約化包括了經(jīng)典李群法所得結(jié)果，且任一個(gè)直接約化法得到的相似約化都可以對(duì)應(yīng)找到一個(gè)群論解釋。本文的第六章，給出了強(qiáng)色散DGH方程豐富的解，如鐘型孤立波解、緊致孤立波解、尖峰孤立波解、雙峰孤立波解、奇異孤立波解、指數(shù)解及周期波解的一般式等。證明了強(qiáng)色散DGH方程在雙Hamilton結(jié)構(gòu)和無窮多對(duì)稱意義下可積。對(duì)強(qiáng)色散DGH方程用WTC法進(jìn)行了奇異分析。利用齊次平衡法得到了強(qiáng)色散DGH方程的Backlund

9、變換，結(jié)果表明，用Painlev6截?cái)嗾归_法和用齊次平衡法得到方程的：Backlund變換是等價(jià)的。同時(shí)，我們利用齊次平衡法得到了該系統(tǒng)的對(duì)稱約化，并且說明了用CK直接法和利用齊次平衡法得到的相似約化是等價(jià)的。 在本文的最后我們展望了今后的研究工作。 本文的創(chuàng)新與特色是： (1)在研究對(duì)象上，主要研究一類新的具有實(shí)際應(yīng)用物理背景的非線性耦合系統(tǒng)，這些耦合非線性系統(tǒng)首先是在兩層流體體系中導(dǎo)出。他們可以描述許多需要多

10、層流體體系刻畫的物理問題，如氣象科學(xué)，海洋物理學(xué)以及大氣和海洋相互作用等等。 (2)在思想上，提出了一種改進(jìn)直接約化法新思路：我們對(duì)直接法假設(shè)形式進(jìn)行了修正，提出一個(gè)原場(約化前場)可以與兩個(gè)約化場相聯(lián)系，而在原方法中，一個(gè)原場只可以聯(lián)系于一個(gè)約化場。 (3)在方法上，我們對(duì)傳統(tǒng)做法中約束條件進(jìn)行了修改，即不要求約化方程所有項(xiàng)系數(shù)成一定比例關(guān)系，而是要求部分項(xiàng)系數(shù)之間有一定比例關(guān)系，而且不同部分之間比例關(guān)系只是時(shí)空變量函

11、數(shù)而不是群不變量函數(shù)。 (4)用非點(diǎn)李對(duì)稱(勢對(duì)稱)研究非線性方程組對(duì)稱性約化和嚴(yán)格解.用勢對(duì)稱對(duì)單個(gè)方程研究國際上已有不少先例。B1uman等用勢對(duì)稱方法研究了一些C可積模型(如Burgers)，樓森岳等用勢對(duì)稱方法研究了一些S可積模型(如KdV)。本文首次用勢對(duì)稱研究了S可積耦合非線性方程組。 (5)在內(nèi)容上，得到了非線性耦合系統(tǒng)更多的條件相似約化解并給出了群論解釋；另一方面我們得到了強(qiáng)色散DGH方程的一些新的孤立子