1、自從上世紀(jì)七十年代以來，拋物型方程的行波解理論得到了充分的發(fā)展．人們發(fā)現(xiàn)行波解能夠很好的描述自然界中的振蕩現(xiàn)象及有限速度傳播問題，所以它的存在性、唯一性和穩(wěn)定性等被廣泛研究．在自然界中，時(shí)間滯后總是存在的，所以自上世紀(jì)七十年代以來，有大量的工作從動(dòng)力系統(tǒng)和半群的觀點(diǎn)出發(fā)對(duì)偏泛函微分方程(特別是時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程)進(jìn)行了研究．然而，自上世紀(jì)九十年代初以來，人們?cè)谘芯恐邪l(fā)現(xiàn)時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程并不能準(zhǔn)確地描述某些研究對(duì)象的時(shí)空行為．例如對(duì)一個(gè)生物

2、種群來說，它在空間上是走動(dòng)的，所以它的位置隨時(shí)間而變化，這就導(dǎo)致了空間上的非局部交錯(cuò)作用的發(fā)生．受此思想的促動(dòng)，在生物種群、空間生態(tài)和流行病等領(lǐng)域，許多具有空間非局部作用的時(shí)滯擴(kuò)散系統(tǒng)(反應(yīng)擴(kuò)散方程，格微分方程)被建立，試圖更為準(zhǔn)確地描述研究對(duì)象的時(shí)空模式．這類系統(tǒng)一般表現(xiàn)為在非線性項(xiàng)中結(jié)合了對(duì)過去時(shí)間和整個(gè)空間的加權(quán)平均，因此稱此類系統(tǒng)為非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)．盡管這種系統(tǒng)能夠更加準(zhǔn)確地反映所研究的實(shí)際問題，但時(shí)間時(shí)滯和空間非局部性也

3、同時(shí)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)理論研究上的困難，并引起了許多動(dòng)力學(xué)行為上的本質(zhì)改變．例如，時(shí)滯和非局部性可以導(dǎo)致方程不滿足比較原理，使得解半流很難向后延拓．時(shí)滯可以引起平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的改變，導(dǎo)致振動(dòng)發(fā)生，產(chǎn)生混沌等．就行波解來說，時(shí)滯能夠使最小波速降低，失去單調(diào)性，產(chǎn)生振動(dòng)以及周期行波解等．特別，隨著非局部項(xiàng)的出現(xiàn)，解半流通常不再是緊的．因此，對(duì)此類問題的研究既有重要的理論和實(shí)際意義，也在數(shù)學(xué)上具有挑戰(zhàn)意義的困難．本論文繼續(xù)從動(dòng)力系統(tǒng)的角度研究此類方程，

4、力圖對(duì)此類方程發(fā)展一些新的研究方法，建立一些新的抽象結(jié)果，結(jié)合具體模型探討時(shí)滯和空間非局部性特別是空間非局部性對(duì)方程動(dòng)力學(xué)行為的影響，發(fā)現(xiàn)一些實(shí)際問題的未被發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)．本論文主要從行波解和整體解兩個(gè)方面來進(jìn)行研究． 本文首先研究了非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的波前解的存在性．通過引入多種單調(diào)性條件、G-緊性和M-連續(xù)性等概念，對(duì)一類抽象的二階混合型泛函微分方程建立了解的存在性．方法是單調(diào)迭代結(jié)合上下解技術(shù)，并且運(yùn)用非標(biāo)準(zhǔn)序發(fā)展了新的迭

5、代序列．然后運(yùn)用這些結(jié)果到相應(yīng)的行波系統(tǒng)，從而建立了波前解的存在性．這使得關(guān)于波前解的存在性結(jié)果可以應(yīng)用到具有各種核函數(shù)的非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)．作為應(yīng)用，詳細(xì)討論了一類具有非局部時(shí)滯的單物種擴(kuò)散模型的單調(diào)波前解的存在性，并通過選擇幾類不同的核函數(shù)而獲得了一些波前解的存在性準(zhǔn)則． 其次，研究了具有非局部時(shí)滯的擬單調(diào)反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散方程的波前解的存在性、唯一性和漸近穩(wěn)定性．對(duì)非線性項(xiàng)分別考慮了兩種情形，即單穩(wěn)型和雙穩(wěn)型．對(duì)具有單穩(wěn)型非

6、線性項(xiàng)的方程，波前解的存在性是利用前面建立的結(jié)果獲得的，而漸近穩(wěn)定性是利用擠壓技術(shù)結(jié)合比較定理被證明的．進(jìn)一步，證明了波前解在負(fù)無窮遠(yuǎn)處的先驗(yàn)漸近行為，同時(shí)也得到了波前解的不存在性，進(jìn)而由穩(wěn)定性結(jié)果直接得到了唯一性．特別地，我們發(fā)現(xiàn)時(shí)間時(shí)滯能夠降低漸近傳播速度而空間非局部作用能夠加快漸近傳播速度．對(duì)具有雙穩(wěn)型非線性項(xiàng)的方程，構(gòu)造了許多對(duì)不同的上下解并利用比較原理結(jié)合擠壓技術(shù)證明了方程有唯一的波前解(波速也是唯一的)，該波前解是單調(diào)遞增的

7、并且是全局漸近穩(wěn)定的．對(duì)這兩種類型的方程，都考慮了對(duì)流對(duì)傳播速度的影響．當(dāng)應(yīng)用到一些生物種群和傳染病模型中時(shí)，得到了許多有實(shí)際意義的結(jié)果。 最后，利用前面得到的單調(diào)行波解并結(jié)合比較定理，對(duì)具有非局部時(shí)滯的擬單調(diào)反應(yīng)擴(kuò)散方程證明了整體解的存在性．整體解存在性證明的一個(gè)重要思想就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)纳舷陆鈦泶_定整體解在時(shí)間變量趨于負(fù)無窮大時(shí)的漸近行為．對(duì)雙穩(wěn)型方程，進(jìn)一步證明了它的唯一性和Lyapunov穩(wěn)定性．對(duì)單穩(wěn)型方程，通過考慮行波解