1、ModalComputationandValidityofModalExpansionforAcousticWaveguidewithaPMLZengsiChenSupervisor：ProfJianxinZhuDeptMathematicsApril，2013SubmittedintotalfulfilmentoftherequirementsloIrthedegreeofPh。DinComputationalMathematics摘

2、要本文主要討論無(wú)界聲波導(dǎo)中模式的計(jì)算問(wèn)題，以及在該類波導(dǎo)中離散型模式展開方法(ModalExpansionMethod)的有效性問(wèn)題。為了處理無(wú)界波導(dǎo)，本文在深度方向引入了完美匹配層(PML)技術(shù)進(jìn)行截?cái)唷Ｍ瑫r(shí)，為了提高計(jì)算的精確性和計(jì)算的效率，本文采用了切比雪夫(Chebyshev)擬譜方法進(jìn)行算子離散。聲波導(dǎo)是一種引導(dǎo)聲波傳播的物理結(jié)構(gòu)。在海洋聲學(xué)中，海洋是一類以海表面和海底為界限的聲波導(dǎo)，由于這樣定義的波導(dǎo)徑向很深，故計(jì)算時(shí)作為無(wú)

3、界波導(dǎo)來(lái)考慮。在數(shù)學(xué)建模時(shí)，聲波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)可以用亥姆霍茲(Helmholtz)方程來(lái)刻畫。模式展開指的是將在波導(dǎo)中傳播的聲波表示成該波導(dǎo)固有特征模式的線性組合的形式。通常，無(wú)界聲波導(dǎo)的模式是由有限個(gè)傳播模和具有連續(xù)譜的輻射模組成，它們構(gòu)成了一組完備基。然而輻射模由一組連續(xù)譜構(gòu)成，因此模式展開方法涉及無(wú)界區(qū)域上的數(shù)值積分，要得到好的近似是很困難的。此外無(wú)界波導(dǎo)中輻射模的求解也是一‘大難題。本文引入PML將無(wú)界區(qū)域截?cái)?，用有限的范圍?lái)模擬無(wú)界

4、區(qū)域，在有界波導(dǎo)中求解模式。這樣得到的解對(duì)應(yīng)一組離散模式，可以分為傳播模、泄漏模和PML模(也ntlBerenger模)三類。目前，這種采用PML截?cái)酂o(wú)界波導(dǎo)，利用近似有界波導(dǎo)的離散模來(lái)代替原有無(wú)界波導(dǎo)的輻射模做模式展丌的方法雖然被普遍接受，但對(duì)于它的有效性缺乏相應(yīng)的理論依據(jù)，因此，這種展開方式的有效性是一個(gè)亟待考證的問(wèn)題。本文著重討論在這組離散基下模式展開的有效性，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)定量地論證。要研究模式展開的有效性，首先要有模式的精確解

5、，因此本文使用了多種方法來(lái)處理波導(dǎo)模式的計(jì)算問(wèn)題。當(dāng)波導(dǎo)的聲速是分段常數(shù)時(shí)，例如常見的Pekeris波導(dǎo)，通過(guò)前面提到的PML的處理可以得到模式所滿足的非線性方程，也叫色散關(guān)系(引用了光波導(dǎo)中的叫法)。而在海洋聲學(xué)環(huán)境中，波導(dǎo)結(jié)構(gòu)通常是不均勻的，更一般地，對(duì)于連續(xù)變化的聲速，本文采用微分轉(zhuǎn)移矩陣(DTMM)技術(shù)，推導(dǎo)出了類似的非線性方程。在已有色散關(guān)系的條件下，找到一組好的初值，再利用牛頓迭代法，即可得到高精度的解。初值可以通過(guò)離散方法