1、數(shù)值求解偏微分方程（組）已經(jīng)成為研究自然科學(xué)、工程技術(shù)以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域各種實(shí)際問(wèn)題的重要工具.對(duì)偏微分方程（組）的近似解析方法或數(shù)值解法的研究具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.
　　變分迭代方法是構(gòu)造偏微分方程近似解析解的有效方法之一.它是基于La-grange乘子的一種近似解析方法.通過(guò)引入限制變分的定義，可以方便識(shí)別迭代公式中的Lagrange乘子.其優(yōu)點(diǎn)在于求解過(guò)程中不依賴(lài)于小參數(shù)、計(jì)算簡(jiǎn)便、利用該方法得到的近似解可以繼續(xù)進(jìn)行

2、解析運(yùn)算等.
　　間斷Galerkin有限元方法在保持通常有限元方法特點(diǎn)的同時(shí)還具有局部守恒、適用于解有間斷的問(wèn)題、形式上高階精度、容易實(shí)現(xiàn)并行化和自適應(yīng)等特點(diǎn).該方法被廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)中.局部間斷Galerkin有限元方法是Runge-Kutta間斷Galerkin有限元方法的推廣.它既具有間斷Galerkin有限元方法的特點(diǎn)，也具有自己獨(dú)特的一些優(yōu)勢(shì).局部間斷Galerkin有限元方法可以用于求解一些高階偏微分方程.在求

3、解過(guò)程中不但可以得到方程的數(shù)值解，還可以得到引入中間變量（通常為解的導(dǎo)數(shù)）的數(shù)值解.
　　本文工作由三部分內(nèi)容構(gòu)成:第一部分內(nèi)容是首次將變分迭代方法用于討論廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程組和耦合MKdV方程組近似解析解，得到了一些有意義的結(jié)果;第二部分內(nèi)容是構(gòu)造了一維和二維Burgers方程及Burgers方程組基于Hopf-Cole變換的局部間斷Galerkin有限元方法;第三部分內(nèi)容是研究了Lagrange坐標(biāo)

4、系下一維和二維氣動(dòng)方程組的間斷Galerkin有限元方法，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證所構(gòu)造算法的效率和可靠性.
　　全文安排如下:
　　第一章介紹了本文的選題背景及變分迭代方法和間斷有限元方法的發(fā)展歷史及應(yīng)用情況，并對(duì)Lagrange方法的進(jìn)展做了介紹.
　　第二章討論了變分迭代方法在廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程組和耦合MKdV方程組中的應(yīng)用.得到了上述方程組的近似解析解，并通過(guò)數(shù)值算例將得到的結(jié)果與精確解進(jìn)

5、行了比較.
　　第三章討論了基于Hopf-Cole變換的局部間斷Gaterkin有限元方法在Burgers方程及方程組中的應(yīng)用.一維Burgers方程在Hopf-Cole變換下可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性擴(kuò)散方程.對(duì)于一類(lèi)滿(mǎn)足勢(shì)條件的二維Burgers方程組可以通過(guò)二維Hopf-Cole變換將其轉(zhuǎn)化為二維擴(kuò)散方程.而—類(lèi)二維Burgers方程可以寫(xiě)成與之等價(jià)的滿(mǎn)足勢(shì)條件方程組的形式.通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)化后的擴(kuò)散方程利用局部間斷Galerkin方法可以得到

6、擴(kuò)散方程的數(shù)值解及導(dǎo)函數(shù)的數(shù)值解，進(jìn)而可以通過(guò)Hopf-Cole變換得到Burgers方程及方程組的數(shù)值解.利用局部間斷Galerkin方法可以同時(shí)計(jì)算出未知函數(shù)及所引進(jìn)輔助變量的數(shù)值解.不需要通過(guò)重構(gòu)來(lái)得到Hopf-Cole變換中需要的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù).而且利用局部間斷Galerkin方法計(jì)算所得的原始變量和中間變量可以達(dá)到相同的精度，這樣就避免引入額外的誤差.
　　第四章討論了Lagrange坐標(biāo)系下可壓縮流氣動(dòng)方程組的間斷Ga

7、lerkin有限元方法.我們從Lagrange坐標(biāo)系下氣動(dòng)方程組微分形式的守恒律出發(fā)，將在Euler坐標(biāo)系下取得較好數(shù)值模擬結(jié)果的Runge-Kutta間斷Galerkin有限元方法推廣到Lagrange坐標(biāo)系下.一些單介質(zhì)和多介質(zhì)流的數(shù)值算例檢驗(yàn)了該算法的實(shí)用性和效率.該方法將幾何守恒律和物理守恒律統(tǒng)一求解，在計(jì)算過(guò)程中不需要網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的速度信息，也不需要引入交錯(cuò)網(wǎng)格.是一種計(jì)算簡(jiǎn)便，易于實(shí)現(xiàn)的數(shù)值方法.該方法綜合了Lagrange方法