1、Hessian方程是一類形式上只依賴于解的Hessain矩陣的特征值的完全非線性偏微分方程。本文主要研究黎曼流形上橢圓型及拋物型Hessian方程解的先驗(yàn)C2估計(jì)及Hessian方程的一類障礙問題的解的正則性。我們研究黎曼流形上此類方程的興趣來源于它們在一些幾何問題中的應(yīng)用，如Minkowski問題及其推廣、預(yù)設(shè)曲率測度的Alexandrov問題、Weyl問題、k-Yamabe問題等。我們研究此類方程的另一動(dòng)機(jī)來源于最優(yōu)運(yùn)輸問題。一個(gè)最

2、優(yōu)運(yùn)輸問題的勢函數(shù)滿足Monge-Ampère型方程，而Monge-Ampère型方程是我們將要研究的方程的一個(gè)特殊情況。
　　眾所周知，在完全非線性橢圓型和拋物型偏微分方程的研究中，先驗(yàn)C2估計(jì)對于建立解的存在性及正則性都是非常關(guān)鍵的。這些估計(jì)的結(jié)果及其方法同樣具有很多重要的應(yīng)用，如在本文中，我們用這些方法研究了Hessian方程的一類障礙問題解的正則性。
　　首先，在一定條件下，給出了帶邊緊致黎曼流形上一類橢圓型Hess

3、ian方程的Dirichlet問題解的先驗(yàn)C2估計(jì)，然后由Evans-Krylov理論及Schauder理論得到其更高階的估計(jì)，進(jìn)而應(yīng)用連續(xù)性方法和度理論證明了其光滑解的存在性。
　　其次，我們假設(shè)嚴(yán)格下解存在，并用其構(gòu)造一個(gè)閘函數(shù)，進(jìn)而給出了MT=M×(0, T]?M×R上一類拋物型Hessian方程的第一初邊值問題解的先驗(yàn)C2,1x,t估計(jì)，其中M是帶邊緊致黎曼流形。
　　然后，通過引入一個(gè)逼近問題和對光滑凸函數(shù)的水平超