1、微分方程定解問題，是研究由微分方程描述某種物理過程或現(xiàn)象，并根據(jù)系統(tǒng)的定解條件來確定整個系統(tǒng)的狀態(tài)變量的變化規(guī)律，即研究狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達式。
　　微分方程定解問題，就其方程而言，有線性和非線性微分方程之分；就其定解條件而言，有初值問題、邊值問題和初邊值問題；就其問題的未知項，有正問題和反問題。
　　本文探討了用再生核方法數(shù)值求解微分方程定解問題，既有正問題，也有反問題。方程以非線性為主，邊界選擇非局部多點邊值、積分邊界為處理重

2、點。
　　用再生核方法數(shù)值求解微分方程定解問題，是構(gòu)建能夠“吸收”初邊值條件的再生核空間，將微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為等價的算子方程。在再生核空間里，將微分方程的精確解用再生核空間的再生核解析表示，最后，對算子方程使用逼近算法求解。由此可見，構(gòu)造滿足初邊值條件的再生核空間、有效地求出再生核空間的再生核成為能否使用再生核方法的關(guān)鍵。
　　近20多年，再生核方法廣泛地應(yīng)用到微分方程定解領(lǐng)域。1986年，崔明根給出了兩點邊值的再生核

3、的解析表達式，為再生核方法求解微分方程的定解問題奠定了基礎(chǔ)。眾多學(xué)者先后對各類初邊值的線性，非線性問題進行了探索，其中邊界條件涉及到兩點邊值、線性邊界、周期邊界。2008年，林迎珍給出了計算非局部積分邊界條件的再生核，使得再生核方法延伸到邊界為積分條件的微分方程的定解問題。但是，對于非局部多點邊界范疇，再生核方法一直難以涉足。其原因是，多點邊值再生核的計算問題一直困擾著我們，難以解決。
　　本文創(chuàng)建了多點邊值再生核空間，提出了求解

4、多點邊值再生核的方法，成功的給出了多點邊值再生核的解析式，使得用再生核方法求解微分方程多點邊值問題成為可能，拓寬了再生核理論的應(yīng)用范圍。
　　本文還致力于在再生核空間框架下數(shù)值求解若干微分方程定解問題，包括多點邊值問題、反問題和非局部邊值條件的非線性拋物方程。
　　在成功地構(gòu)建多點邊值問題的再生核空間，計算多點邊值再生核的基礎(chǔ)上，開創(chuàng)了用再生核方法求解線性、非線性多點邊值問題。在再生核空間里，給出了線性和非線性多點邊值問題的

5、解析解。對非線性多點邊值問題設(shè)計了迭代法求解，其迭代序列是最佳逼近。
　　而對于反問題，本文首創(chuàng)將再生核方法引入到反問題領(lǐng)域，嘗試了用再生核的方法求解依賴空間或時間變量的主系數(shù)反問題和源參數(shù)反問題。對于主系數(shù)反問題，針對邊值條件構(gòu)建了再生核空間，使用空間分解技術(shù)，求出解的解析表達式，并且構(gòu)造了確定主系數(shù)的方程組。而對于源參數(shù)反問題，通過特殊的變換，使其反問題等價于再生核空間的非線性算子方程。在再生核空間里設(shè)計了迭代算法，其迭代序列

6、是投影算子下的逼近，故是最佳逼近。并且，逼近序列的各階偏導(dǎo)數(shù)亦收斂于解的各階偏導(dǎo)數(shù)。
　　本文還廣泛地應(yīng)用再生核方法于各類非局部邊值條件的非線性拋物方程（組），針對各類非局部邊值條件創(chuàng)建相應(yīng)的再生核空間，融復(fù)雜的非局部邊界于再生核空間中。在再生核空間中給出解的解析表達式，構(gòu)造解的逼近序列。
　　本文創(chuàng)建了多點再生核計算。突破了長期以來計算再生核方法的定式，豐富了再生核理論，在非線性多點邊值問題、積分邊值問題、非線性方程組和系