1、本文主要研究了高階分?jǐn)?shù)微分方程的正解存在性,分?jǐn)?shù)階泛函微分方程的正解存在性,唯一性和解對(duì)初值和階數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性等基本理論。首先,對(duì)于0＜α＜1,利用非線(xiàn)性抉擇定理和奇異核的廣義Gronwall不等式,我們證明了分?jǐn)?shù)階泛函微分方程（公式略）正解的存在性結(jié)果,去掉f的遞增條件,改進(jìn)了文獻(xiàn)[24]中的存在性結(jié)果。其次,我們深入探討了更一般的低階分?jǐn)?shù)泛函微分方程（公式略）。其中L(D)=Dsn-αn-1Dsn-1-…-α1Ds1,0＜s1＜s2

2、＜…＜sn＜1,αj＞0，j=1,2,…，n-1,利用非線(xiàn)性抉擇定理研究其正解的存在性。通過(guò)對(duì)Lipschitz條件的一個(gè)改進(jìn),我們利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明了該方程正解的唯一性結(jié)果,并且我們還證明了:如果去掉條件αj＞0,j=1,2,…,n-1,方程存在唯一的解,但不一定是正解。再次,對(duì)于n-1＜α＜n,n∈N,我們進(jìn)一步研究一般的高階分?jǐn)?shù)微分方程L(D)u=f(t,u),0＜t＜1,正解的存在性問(wèn)題,其初始條件為u(0)=0,[

3、Dα-n+1υ(t)]t=0=bn-1≥0,(Dα-n+jυ(t)]t=0=bn-j≥(公式略),j=2,3,…,n-1,其中L(D)=(Dα-α1Dα-1-αn-1＞[Dα-n+1,j=1,2,…,n-1,Dα-j為標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是一給定的連續(xù)函數(shù)。文獻(xiàn)[43]在f遞增有界的條件下采用上下解方法證明其正解的存在性。這里,我們利用非線(xiàn)性抉擇定理證明正解的存在

4、性,將大大的減弱f的限制條件。此形式的方程經(jīng)常出現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階的動(dòng)力系統(tǒng)和自動(dòng)控制中,很多學(xué)者對(duì)此形式的方程非常感興趣,所以本文研究結(jié)果能為他們將來(lái)深入研究提供寬闊視野和參考價(jià)值。最后,我們利用廣義Gronwall不等式[19]討論了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階泛函微分方程的解關(guān)于它的階數(shù)和初值的連續(xù)依賴(lài)問(wèn)題,并給出一些估計(jì)式,利用這些估計(jì)式可以求得某些分?jǐn)?shù)階泛函微分方程的近似解,通過(guò)廣義Gronwall不等式[19],我們還給出分?jǐn)?shù)階微分方程解的Mitta