1、動(dòng)力系統(tǒng)的分岔理論與方法作為非線性動(dòng)力學(xué)的重要組成部分，在工程技術(shù)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。對(duì)于含參數(shù)系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)變動(dòng)并經(jīng)過(guò)某些臨界值時(shí)，系統(tǒng)的定性性態(tài)會(huì)發(fā)生突然變化——分岔。近年來(lái)，人們提出了多種研究動(dòng)力系統(tǒng)分岔問(wèn)題的方法。在定性分析方面，奇異性理論得到了廣泛的重視和應(yīng)用。奇異性理論是研究約化方程分岔特性的一種有效而全面的方法，它使我們能夠用統(tǒng)一的、明確的方法處理各種復(fù)雜的分岔問(wèn)題。但是迄今為止奇異性理論在分岔問(wèn)題中的應(yīng)用主要集中在單狀

2、態(tài)變量、單分岔參數(shù)的動(dòng)力系統(tǒng)中。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，實(shí)際工程系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題涉及到多參數(shù)、多狀態(tài)變量的復(fù)雜系統(tǒng)，這使得非線性動(dòng)力學(xué)的分岔研究面臨挑戰(zhàn)。
　　本文針對(duì)兩狀態(tài)變量、兩分岔參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了分岔研究，并依之分析了輸電線路的舞動(dòng)機(jī)理及其優(yōu)化控制等工程問(wèn)題，以及一類(lèi)生化反應(yīng)系統(tǒng)的分岔問(wèn)題：
　　1.對(duì)于實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，往往有很多的參數(shù)，究竟選哪個(gè)參數(shù)作為分岔參數(shù)，哪個(gè)參數(shù)會(huì)對(duì)解的結(jié)構(gòu)引起定性的變化，是十分重要的

3、問(wèn)題。本文給出了一種選擇主要分岔參數(shù)的方法。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)受到小擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的解結(jié)構(gòu)可能會(huì)發(fā)生變化，而這一變化可通過(guò)系統(tǒng)的Frechet導(dǎo)數(shù)矩陣的特征值反映出來(lái)。因此將Frechet導(dǎo)數(shù)矩陣的特征值在臨界值附近展開(kāi)后可討論參數(shù)變化對(duì)特征根的影響。對(duì)于特征根為單根和半簡(jiǎn)的情況，該方法尤為簡(jiǎn)單。對(duì)于特征根為虧損的情況，該方法雖略復(fù)雜，但同樣適用。另外該方法還可推廣到具有周期系數(shù)的動(dòng)力系統(tǒng)中。
　　2.對(duì)于多自由度系統(tǒng)，常存在內(nèi)共振。人們通

4、常通過(guò)消元法、比值法、消元法與比值法相結(jié)合等方法將分岔方程約化為單狀態(tài)變量分岔方程。研究發(fā)現(xiàn)，將多狀態(tài)變量方程約化為一個(gè)狀態(tài)變量系統(tǒng)以后會(huì)丟失了一些分岔特性。因此本文將奇異性理論的基本思想推廣到了兩狀態(tài)變量系統(tǒng)的分岔分析之中。而對(duì)于多參數(shù)系統(tǒng)，例如化工系統(tǒng)、電力系統(tǒng)等所含有的實(shí)際物理參數(shù)很多，而且一些參數(shù)具有相同的地位，也就是說(shuō)這些參數(shù)的變化都可能引起系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的定性變化——分岔，因此都可作為分岔參數(shù)。本文將奇異性理論的基本思想推廣

5、到了兩分岔參數(shù)系統(tǒng)的分岔分析之中，并給出了含有兩分岔參數(shù)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集的計(jì)算方法。
　　3.將兩狀態(tài)變量系統(tǒng)的奇異性理論應(yīng)用到了輸電線路舞動(dòng)系統(tǒng)之中。應(yīng)用Hamilton原理建立了輸電線路舞動(dòng)二維模型，其中考慮了變形引起的幾何非線性以及空氣流引起的空氣動(dòng)力非線性。通過(guò)多尺度法得到其分岔方程。應(yīng)用奇異性理論的到其轉(zhuǎn)遷集，可以看到在不同的參數(shù)區(qū)域，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)分岔、滯后等不同的分岔模式。分岔、跳躍等現(xiàn)象都可能會(huì)引起輸電線路的張力的突然變化

6、，這對(duì)輸電線路的強(qiáng)度來(lái)說(shuō)是不利的，極可能造成輸電線路的破壞。另外對(duì)輸電線路舞動(dòng)的一維模型進(jìn)行了研究，得到其起舞的臨界風(fēng)速及振動(dòng)幅值的解析解。還考慮了扭轉(zhuǎn)對(duì)輸電線路舞動(dòng)的影響。為了評(píng)估防舞器的防舞效果，對(duì)加壓重防舞器、動(dòng)力減震器以及失諧擺的舞動(dòng)優(yōu)化控制技術(shù)進(jìn)行了分析。因此本論文為輸電線路設(shè)計(jì)和舞動(dòng)控制奠定了理論基礎(chǔ)。
　　4.分別將單分岔參數(shù)、兩分岔參數(shù)系統(tǒng)的奇異性理論應(yīng)用到了Duffing-van der Pol系統(tǒng)之中。比較發(fā)現(xiàn)