1、分類號密級UDC編號碩士學(xué)位論文若干非線性數(shù)學(xué)物理微分差分方程的解及其性質(zhì)研究學(xué)位申請人：人：劉治國指導(dǎo)教師：師：張金良教授學(xué)科專業(yè)：業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)位類別：別：理學(xué)2012年4月摘要I論文題目：論文題目：若干非線性數(shù)學(xué)物理微分若干非線性數(shù)學(xué)物理微分差分方程的解及其性質(zhì)研究差分方程的解及其性質(zhì)研究專業(yè)：業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究生：生：劉治國劉治國指導(dǎo)教師：指導(dǎo)教師：張金良張金良教授教授摘要隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，非線性科學(xué)的研究有了突飛猛進(jìn)的

2、發(fā)展，非線性科學(xué)已成為近代科學(xué)發(fā)展的一個重要標(biāo)志，它是自然科學(xué)各科學(xué)分支共同關(guān)心的真正的基礎(chǔ)性研究。非線性科學(xué)涉及到自然界諸多復(fù)雜現(xiàn)象，具有廣闊的應(yīng)用前景。非線性科學(xué)發(fā)展中一個重要成就就是孤立子理論的建立。孤立子理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的一個重要組成部分，它包含的內(nèi)容和研究方法非常豐富，國內(nèi)外學(xué)者從不同方面進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究，特別是近十幾年來研究隊伍不斷擴(kuò)大，所取得的成果令人矚目。利用孤立子理論已經(jīng)成功解釋了許多物理、化學(xué)、生物、地球

3、物理學(xué)上長期用經(jīng)典理論未能解答的現(xiàn)象。孤子理論中，對于光孤子的研究一直是數(shù)學(xué)物理工作者研究的熱點。在光學(xué)中，光孤子這個詞用來描述光脈沖包絡(luò)在非線性介質(zhì)中傳播時具有粒子的性質(zhì)，而在數(shù)學(xué)上為非線性波動方程的局域行波解。在非線性光學(xué)、玻色愛因斯坦凝聚（BEC）中光孤子的動力學(xué)行為及穩(wěn)定性分析是現(xiàn)代光孤子通訊、BEC理論及應(yīng)用研究中非常重要的課題，這些問題的研究為超高速、大容量、長距離光孤子通訊提供理論支撐，為非線性光學(xué)及BEC的應(yīng)用和發(fā)展提供

4、理論支持，在數(shù)學(xué)上可豐富和發(fā)展非線性科學(xué)的理論和應(yīng)用。如果所討論的孤子，在傳播過程中是不穩(wěn)定的，那么不論是理論上的研究還是實用化的研究都將失去了它的意義。因此，在孤子的研究過程中，孤子的穩(wěn)定性分析顯得尤為重要。本文將用兩種不同的擴(kuò)展的GG?展開法來研究離散非線性微分差分方程的孤波解，并利用微擾法分析所得孤波解的線性穩(wěn)定性。首先，本文用擴(kuò)展的GG?展開法求解了三次離散非線性Ginzburg–Lau方程，得到了方程的亮孤子解、暗孤子解、三角