1、設(shè)t為N上的自映照，其具體的定義如下：t:N→N,t(n)={1/2nn≡0mod2,1/2(3n+1)n≡1mod2.并規(guī)定t0(n)=n，tm(n)=t(tm-1(n))，n，m∈N. 記M為滿足(A)m∈N，tm(v)≠1的自然數(shù)v的集合。令h(z)=∞∑n=0hnzn，(其中hn={1n∈M0n(∈)M)(*) 1994年L.Berg和G.Meinardus證明了：函數(shù)(*)是方程h(z3)=h(z6)+1/3z

2、2∑v=0λvh(λvz2)(**)在|z|＜1內(nèi)的全純解，而且他們猜測(cè)h(z)=C0+C1z/1-z，其中λ=e2πi/3，C0，C1為常數(shù)。 本文證明了下述的結(jié)果： 定理1設(shè)函數(shù)(*)是方程(**)在C中的亞純解，則h(z)=k∑j=1Aj/z-zj+c,其中zj(j=1，2,…，k)為h(z)于C中的極點(diǎn)，Aj(j=1，2,…，k)為非零常數(shù)，c為常數(shù)。 若能進(jìn)一步證明k=1，并將h(z)沿單位圓周上的點(diǎn)解

3、析延拓到C上，則證明了L.Berg和G.Meinardus的猜測(cè)，進(jìn)一步可解決3n+1問(wèn)題。 另一方面，本文推廣了多項(xiàng)式環(huán)上的abc猜想，得到多項(xiàng)式環(huán)上的abc猜想的初等簡(jiǎn)潔的新證明和其他新證明；并給出了關(guān)于有理函數(shù)的類似結(jié)果；推廣了Davenprot定理，得到如下一些結(jié)果： 定理2設(shè)f，g，h∈C[t]是不為常數(shù)的互素多項(xiàng)式，且滿足f+g=h,則max(degf，degg,degh)≤n0(fgh)-n1其中C[t]為

4、復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)，n0(fgh)為fgh的不同零點(diǎn)個(gè)數(shù)，n1為∞作為f'/f-g'/g,f'/f-h'/h,g'/g-h'/h之零點(diǎn)的重級(jí)的最小值。 定理2推廣了Mason-Stother定理，減小了定理中不等式的上界。由定理2我們得到Mason-Stother定理的初等簡(jiǎn)潔的新證法和有理函數(shù)的類似結(jié)果。 定理3設(shè)f，g，h為有相同的判別的極點(diǎn)個(gè)數(shù)且不全為常數(shù)的有理函數(shù)，且滿足n0(1/fgh)=n0(1/f)+n0(

5、1/g)+n0(1/h)，如果f+g=h，那么max(degf，degg，degh)≤n0(fgh)+n0(1/fgh)-1，其中n0(fgh)為fgh判別零點(diǎn)數(shù)，n0(1/fgh)為fgh判別的有窮極點(diǎn)數(shù)。 定理3給出了有理函數(shù)情形下類似多項(xiàng)式環(huán)上的abc猜想的結(jié)果。若f，g，h為多項(xiàng)式時(shí)，定理3則為Mason-Stother定理。 定理4設(shè)f、g為C[t]中互質(zhì)的非常數(shù)多項(xiàng)式，則deg(f3-g2)≥1/2degf+