1、在有限元超收斂及其應用研究中，有兩個很基本、同時也是很具有挑戰(zhàn)性的問題：其一是如何在任意復雜的區(qū)域上全自動生成高質量的網(wǎng)格，使得有限元解在節(jié)點上具有超收斂性；其二是在任意區(qū)域自動生成具有超收斂重構梯度特性的網(wǎng)格，并將其應用于自適應有限元方法中，且使得自適應網(wǎng)格依舊具有超收斂特性，從而保證整個白適應有限元過程的收斂性。基于以上兩點，本文主要做了如下兩部分工作。
　　 第一部分，由于有限元在正三角形網(wǎng)格上具有強超收斂現(xiàn)象，但在實際問

2、題中不太可能得到正三角形的網(wǎng)格剖分，于是我們利用基于Centroidal Voronoi Tes—sellation(CVT)的網(wǎng)格生成技術，獲得了幾乎等邊三角形的網(wǎng)格剖分，大量的數(shù)值實驗證實：在任意給定的二維區(qū)域，基于CVT的網(wǎng)格剖分上，泊松方程第一邊值問題在線性有限元空間上的解在節(jié)點上具有超收斂的現(xiàn)象，其收斂階達到了O(h2+a)(a≈0.5)，而在其它非CVT結構的網(wǎng)格剖分上不具有這種超收斂的特性，這是首次發(fā)現(xiàn)在幾乎等邊三角形網(wǎng)格

3、剖分節(jié)點上有限元函數(shù)值的超收斂現(xiàn)象。
　　 第二部分，受到CVT網(wǎng)格具有優(yōu)良特性的啟示，將其應用于自適應有限元方法中。首先分析了幾種基于超收斂梯度重構型的后驗誤差估計，接著探討了基于后驗誤差估計的網(wǎng)格快速自適應修正，主要內容有超收斂導數(shù)重構對網(wǎng)格剖分的要求，基于誤差均布原則的網(wǎng)格尺寸修改，和基于規(guī)范邊長度的網(wǎng)格重分，最后進行關鍵的CVT優(yōu)化。在CVT優(yōu)化過程中，采用了局部化思想，摒棄了傳統(tǒng)的全局迭代方式。在算法迭代的過程當中，隨

4、著收斂誤差的越來越小，于是直接采用網(wǎng)格節(jié)點對應的Voronoi區(qū)域的質心代替該節(jié)點，并且進行局部的網(wǎng)格修改來保持網(wǎng)格的Delaunay特征。這種局部化思想避免了新計算出來的Voronoi區(qū)域的質心整體插入，從而很大程度地提高了算法效率，并且產(chǎn)生出高質量的網(wǎng)格剖分。對于任意給定的二維復雜求解域，將上述方法運用到橢圓型第一邊值問題的自適應線性元求解中。由于采用了CVT優(yōu)化技術，使得網(wǎng)格的稀密程度能更好的適應解的性態(tài)，同時由于網(wǎng)格的高質量使得