1、本研究運(yùn)用約束變分法和一些分析技巧研究了Kirchhoff型橢圓方程基態(tài)解的存在性和正解的多重性；變號(hào)解、基態(tài)變號(hào)解的存在性及漸近行為。首先，研究了如下有界區(qū)域上帶臨界指數(shù)的Kirchhoff型問題。其中Ω? R3是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，b＞0,λ＞λ1,λ1是算子-△在Dirichlet邊界條件下的第一特征值.由2*=6為 S o b o l e v臨界指數(shù)可知，非線性項(xiàng)|u|4u達(dá)到臨界增長(zhǎng).利用Nehari流形方法和Bréz

2、is-Lieb引理得到了當(dāng)λ位于λ1的一個(gè)小的右鄰域時(shí)正解的存在性和多重性。其次，研究了如下R3上具有零質(zhì)量且?guī)R界指數(shù)的Kirchhoff型問題。其中b是一個(gè)正常數(shù)，λ＞-λ1,-λ1為特征值問題-△u=λf(x)u, u∈D1-2(R3)的第一特征值，D1-2(R3)={u∈L2*(R3):▽u E L2(R3)}, f為非零非負(fù)函數(shù).利用 Nehari流形方法和集中緊性引理獲得了兩個(gè)正解，其中一個(gè)是基態(tài)解。再次，研究如下R N上帶

3、不定非線性項(xiàng)的Kirchhoff型問題。其中 a＞0, b＞0, N＜3,λ＞ aλ1,λ1為特征值問題-△u+ u=λf(λ)u, u∈ H1(RN)的第一特征值，權(quán)函數(shù)f非負(fù)非零，g變號(hào).利用Weierstrass定理和Nehari流形方法得到b＜ b。及 b＞ bo(bo＞0)兩種情況下，基態(tài)解的存在性及正解的多重性。研究了下面的RN上帶不定非線性項(xiàng)的Kirchhoff型方程。其中a, b均為正常數(shù)，N≤3,1＜ r＜2,4＜ s