1、本文共分四章:第一章為引言,給出了本文要研究的問題,方程模型來源和推導(dǎo),本文要用到的記號(hào)及部分結(jié)論;第二章研究一類具有奇異積分項(xiàng)的波動(dòng)方程的Cauchy問題在一定條件下局部解的存在性和惟一性;第三章通過一些積分估計(jì)證明了第二章所述Cauchy問題整體解的存在性和惟一性;第四章首先證明了一個(gè)推廣的凸性引理,然后通過它討論了第二章所述Cauchy問題的解在一定條件下的有限時(shí)刻blow-up,并給出了解blow-up的一個(gè)充分條件.
　

2、　具體內(nèi)容如下:在第二章中,我們利用壓縮映射原理研究如下一類具有奇異積分項(xiàng)的波動(dòng)方程的Cauchy問題的局部解的存在性和惟一性.
　　其中u(x,t)為未知函數(shù),f(s)為給定的非線性函數(shù),φ(x)和ψ(x)為已知的初始函數(shù),J>0為常數(shù),c2=1+π2J/6;下標(biāo)t,x分別表示對(duì)t,x求偏導(dǎo)數(shù);H為Hilbert算子,其定義為:這里P.V.表示Cauchy主值.為此,我們首先討論了對(duì)應(yīng)線性方程的Cauchy問題的局部解的存在性和

3、惟一性,并由此得到了一些重要估計(jì);然后利用Fourier變換的相關(guān)知識(shí)把Cauchy問題(1.1),(1.2)的解的存在惟一性問題化歸為求一個(gè)積分方程的解,對(duì)此積分方程,我們通過壓縮映射原理得到了其解的存在惟一性,從而可得Cauchy問題(1.1),(1.2)的解的存在惟一性.
　　主要結(jié)果為:定理1假設(shè)S≥1/2,則問題(1.1),(1.2)存在惟一的局部解u(x,t)∈C(0,T0;Hs)∩C1(0,T0;Hs-2),其中T0

4、是解u(x,t)的最大存在時(shí)間.進(jìn)一步,若則T0=∞,即解u(x,t)∈C(0.∞;Hs)∩C1(0,∞;Hs-2)是整體解.
　　第三章首先得到了一個(gè)整體解存在的充要條件并通過能量恒等式得到了一些積分估計(jì),然后證明了Cauchy問題(1.1),(1.2)整體解的存在惟一性.
　　主要結(jié)果如下:定理2設(shè)S≥1/2,并設(shè)T>0是Cauchy問題(1.1),(1.2)的解u(x,t)存在的最大時(shí)間,則T＜∞的充要條件如下所示.<

5、br>　　定理3設(shè)且F(φ)∈L1,則當(dāng)f(u)滿足下列條件之一時(shí),問題(1.1),(1.2)存在惟一的整體解.(1)F(u);(2)f’(u)是下有界的,即存在常數(shù)A0,使得對(duì)任意的u∈R有f’(u)≥A0.在第四章中,首先證明了一個(gè)推廣的凸性引理,并由此得到了問題(1.1),(1.2)的解在有限時(shí)刻blow-up的一個(gè)充分條件.
　　主要結(jié)果如下:定理4假定Φ(t)是一個(gè)正值二次可微函數(shù),當(dāng)t≥0時(shí)滿足不等式其中α＞0,β≥0