1、鞍點(diǎn)線(xiàn)性系統(tǒng)源于許多科學(xué)計(jì)算與工程應(yīng)用領(lǐng)域,如計(jì)算流體力學(xué)、橢圓偏微分方程的有限元和有限差分離散、加權(quán)等式約束最小二乘估計(jì)、圖像處理等.鞍點(diǎn)系統(tǒng)的求解不僅對(duì)整個(gè)問(wèn)題的解決起著至關(guān)重要的作用,而且具有十分重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.如何根據(jù)具體物理背景和鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)矩陣性質(zhì)設(shè)計(jì)出一類(lèi)高效、穩(wěn)健、實(shí)用的數(shù)值解法既是現(xiàn)代科學(xué)與工程計(jì)算的核心,又是當(dāng)前數(shù)值計(jì)算工作者和工程技術(shù)人員的研究熱點(diǎn).本文主要研究了離散化偏微分方程中一類(lèi)鞍點(diǎn)問(wèn)題的數(shù)值解法,

2、并將所得解法應(yīng)用于圖像復(fù)原問(wèn)題中出現(xiàn)的一類(lèi)結(jié)構(gòu)化線(xiàn)性系統(tǒng)的求解.
　　第一章給出了鞍點(diǎn)線(xiàn)性系統(tǒng)研究的背景意義、研究現(xiàn)狀,并概述了本文的主要研究?jī)?nèi)容、特色和創(chuàng)新之處.
　　第二章基于松弛預(yù)處理思想和松弛正定反Hermitian分裂方法,為大型稀疏非Hermitian鞍點(diǎn)問(wèn)題提出了一類(lèi)有效的廣義松弛正定反Hermitian分裂(GRPSS)預(yù)處理方法.理論研究了GRPSS預(yù)處理矩陣的特征值分布和收斂性,并且發(fā)現(xiàn)GRPSS預(yù)處理子

3、在某些范數(shù)意義下比RPSS預(yù)處理子更加接近初始系數(shù)矩陣.最后通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此方法的有效性,并且發(fā)現(xiàn)理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全吻合.
　　第三章對(duì)不可壓縮Navier-Stokes方程中廣義鞍點(diǎn)問(wèn)題提出了一類(lèi)修正松弛分裂(MRS)預(yù)處理解法.詳細(xì)地研究了此預(yù)處理方法所對(duì)應(yīng)預(yù)處理矩陣最小多項(xiàng)式次數(shù)及其預(yù)處理矩陣的特征值分布.與GRS方法相比,在保持計(jì)算量不變的前提下,MRS預(yù)處理子更加接近原始矩陣.實(shí)驗(yàn)證明了MRS方法的可行性和有效性.然

4、而在求解MDS和MRS方法所對(duì)應(yīng)的預(yù)處理子系統(tǒng)時(shí),每步都需要求解兩個(gè)子矩陣的逆.為此提出了一類(lèi)新的塊上下三角分裂(BULT)迭代法,理論分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)結(jié)合Krylov子空間方法求解時(shí),可以很好地避免上述子系統(tǒng)求逆這一困難,從而大大提高了Krylov子空間方法的求解效率.
　　第四章針對(duì)穩(wěn)態(tài)不可壓縮Navier-Stokes方程中的一類(lèi)鞍點(diǎn)問(wèn)題,提出了一類(lèi)修正的SIMPLE(MS)預(yù)處理方法.通過(guò)對(duì)MS預(yù)處理矩陣的譜分析發(fā)現(xiàn),在適當(dāng)?shù)臈l

5、件下,預(yù)處理矩陣的所有特征值將會(huì)緊緊地聚集在(1,0)點(diǎn)附近.從而克服了松弛的HSS方法其余特征值分布很廣的這一缺點(diǎn).最后,從理論和實(shí)驗(yàn)上得到MS預(yù)處理子比已有的一些較好的預(yù)處理子更為有效.
　　第五章研究了兩類(lèi)特殊鞍點(diǎn)系統(tǒng)的數(shù)值解法,即復(fù)線(xiàn)性系統(tǒng)和奇異鞍點(diǎn)線(xiàn)性系統(tǒng).對(duì)復(fù)線(xiàn)性系統(tǒng)提出了一類(lèi)廣義的PMHSS(GPMHSS)方法,理論分析表明在選取適當(dāng)?shù)膮?shù)下,GPMHSS方法的譜半徑比PMHSS方法和ADPMHSS方法的譜半徑都要小

6、.此外,對(duì)奇異鞍點(diǎn)系統(tǒng)提出了一類(lèi)增廣塊三角分裂(ABTS)預(yù)處理方法.此方法對(duì)應(yīng)產(chǎn)生鞍點(diǎn)線(xiàn)性系統(tǒng)的一個(gè)恰當(dāng)分裂且理論分析證明,ABTS預(yù)處理迭代方法會(huì)收斂到奇異鞍點(diǎn)問(wèn)題的廣義逆解.同時(shí)發(fā)現(xiàn),在結(jié)合ABTS預(yù)處理方法和GMRES方法進(jìn)行求解時(shí),也會(huì)收斂到預(yù)處理奇異鞍點(diǎn)系統(tǒng)的廣義逆解.最后給出了ABTS方法的最優(yōu)參數(shù)以及最佳收斂因子表達(dá)式.
　　第六章研究了圖像復(fù)原中得到的鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)線(xiàn)性系統(tǒng)的上下三角(ULT)分裂迭代解法,給出了某些特

7、定條件下的最優(yōu)參數(shù)和最優(yōu)收斂因子.實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,與已有的SHSS和RGHSS方法相比,ULT方法更具競(jìng)爭(zhēng)性和有效性,且可以有效地應(yīng)用于圖像復(fù)原問(wèn)題.
　　第七章首先將廣義的反Hermitian三角分裂(GSTS)迭代方法進(jìn)行推廣并得到一類(lèi)修正的廣義反Hermitian三角分裂(MGSTS)迭代解法.理論上給出了MGSTS方法求解圖像復(fù)原問(wèn)題時(shí)的收斂性和擬最優(yōu)參數(shù).最后通過(guò)數(shù)值比較驗(yàn)證了此方法在在求解圖像復(fù)原問(wèn)題時(shí)的高效性和精確性.