1、文章主要考慮了在上半空間的積分方程組{u(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)υq(y)dy,(0-1)υ(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)μp(y)dy,的解以及解的相關性質(zhì),其中Rn+表示Euclidean空間的上半空間,x*=x1,…,xn-1,-xn)是點x關于平面Rn-1的對稱點,假設υ∈Lq+1(Rn+),u∈Lp+1+(Rn+)并且p和q具有如下關系1/q+1+1/p

2、+1=n-α/n.(0-2)
　　 下面我們主要得到如下定理:
　　 定理3.1假設(u(x),υ(x))是積分方程組(0-1)的一組正解,并且u∈Lp+1(Rn+),υ∈Lq+1(Rn+).那么(u(x),υ(x))在Rn+上是一致有界的,并且(u(x),υ(x))是連續(xù)的.
　　 定理3.2對于積分方程組方程(0-1)的每一組正解(u(x),υ(x))都是關于Rn+中某一平行于xn軸的平面徑向?qū)ΨQ且單調(diào)遞減,

3、其中p,q＞1.
　　 定理3.3設(u(x),υ(x))是積分方程組{u(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)υq(y)dy,υ(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)up(y)dy.的一組光滑正解,那么(u(x),υ(x))滿足{(-△)α/2u(x)=υq(x),(A)x∈Rn+,(-△)α/2υ(x)=uq(x),(A)x∈Rn+,(-△)ku(x)=0,(A)x∈(e)

4、Rn+,(-△)kυ(x)=0,(A)x∈(e)Rn+,k=0,1，α/2-1.
　　 設Rn+是n維Euclidean空間,并且0＜α＜n的實數(shù).考慮積分方程組{u(x)=∫Rn1/｜x-y｜n-αυq(y)dy,(0-3)υ(x)=∫Rn1/｜x-y｜n-αuq(y)dy,其中1/q+1+1/p+1=n-α/n.當p=q,u(x)=υ(x)時,(0-3)就變成以下的積分方程u(x)=∫Rn1/｜x-y｜n-αu(7)(y)d

5、y.(0-4)(0-4)來源于—個在緊空間上的Euler-Lagrange方程(見[17]).在文[17]中,Lieb把函數(shù)的極大值進行了分類,因此我們可以得到Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的最佳常數(shù).他也分類了函數(shù)的所有臨界點,因此解決積分方程(0-4)就成為了公開問題.
　　 在文[11]中,Chen,Li,以及Ou利用移動平面法解決了Lieb的公開問題.他們證明了如下引理:
　　 引理對于(

6、0-4)的每個具有正則性的正解都是關于某個點x0徑向?qū)ΨQ且單調(diào)遞減的,因此我們可以假設這個解具有如下形式c(t/t2+｜x-x0｜2)(n-α)/2,(0-5)其中c和t表示某個正的常數(shù).
　　 他們也建立了這個積分方程和下面的半線性微分方程的等價性(-△)α/2u=u(n+α)/(n-α),x∈Rn.(0-6)在特殊情形α=2時,我們有一系列關于這個解的分類的結(jié)果(見[2],[5],[16],以及[18]).最近,Wei和Xu

7、[29]已經(jīng)得到了α是0到n之間的任意偶數(shù)時的結(jié)果.
　　 我們能夠證明積分方程組(0-3)于以下的微分方程是等價的{(-△)α/2u(x)=υq(x),(A)x∈Rn,(-△)α/2υ(x)=up(x),(A)x∈Rn.在特殊情形α=2時,它變?yōu)楸娝苤腖ane-Emden問題.
　　 在上半Euclidian空間Rn+={x=(x1,x2，xn)∈Rn+｜xn＞0},會出現(xiàn)帶有Navier邊界條件的同樣方程.特殊情