1、Dirichlet除數(shù)問題是數(shù)論中的經(jīng)典問題.令d(n)表示Dirichlet除數(shù)函數(shù),則我們有D(x):=∑d(n)=x(logx+2γ-1)+△(x).Dirichlet首先證明了△(x)=O(x1/2).這里的指數(shù)1/2后來被許多的數(shù)學(xué)家所改進(jìn).目前最好的結(jié)果是Huxley中證明的△(x)≤x131/416(logx)26947/8320.董光昌證明了(公式0.2略)。Ivic在文[3]中證明了估計(jì)(公式0.3略).對(duì)A0=35/

2、4成立.由上述兩個(gè)結(jié)果自然猜測△(x)=O(x1/4+ε)，這個(gè)猜測非常困難,目前還證明不了.Heath-Brown指出(0.3)對(duì)A0=28/3成立.如果把Huxley的結(jié)果(0.1)代入Ivic的證明過程中,我們得到估計(jì)(0.3)對(duì)A0=267/27成立.
　　Tsang(曾啟文)首先研究了△(x)的三次和四次積分均值,證明了漸近公式成立,這里δ3=1/14,δ4=1/23.Heath-Brown對(duì)k=3,4,5,6,7,8,

3、9,證明了極限存在,但他的方法不能給出此極限的顯式表達(dá)式.
　　在文[6]中翟文廣證明了漸近公式(0.5)對(duì)63=1/4成立.Ivic和Sargos證明了漸進(jìn)公式(0.5)對(duì)δ3=7/20成立.實(shí)際上在上個(gè)世紀(jì)九十年代,曾啟文教授就已證明了這一結(jié)果,只是一直未發(fā)表.
　　利用曾的方法,在文[6]中翟證明了漸近公式(0.6)對(duì)δ4=2/41成立.這一方法用到了指數(shù)和估計(jì).特別當(dāng)指數(shù)對(duì)假設(shè)成立,即若(ε,1/2+ε)是一個(gè)指數(shù)對(duì)

4、,則漸近公式(0.6)對(duì)δ4=1/14成立.在文[7]中,Ivic和Sargos用另外的方法證明了漸進(jìn)公式(0.6)對(duì)δ4=1/12成立.最近翟在文[8]中結(jié)合了文[7]和[9]的方法,證明了漸近公式(0.6)對(duì)δ4=3/28成立.
　　在文[10]中翟文廣證明了下述結(jié)果：(公式0.7略).A0＞9是一固定實(shí)數(shù)使得估計(jì)(0.3)成立.則對(duì)任意正整數(shù)3≤k＜A0,漸近公式成立,這里Ck和0＜δk＜1+k/4是可以用顯示表達(dá)的常數(shù).漸