1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　有理多項式曲線逼近的新方法</p><p>　　一、選題的背景與意義</p><p>　　CAGD（計算機輔助幾何設(shè)計）是一門迅速發(fā)展的新興學科，它的核心問題是要解決工業(yè)產(chǎn)

2、品幾何形狀的數(shù)學描述。它的出現(xiàn)和發(fā)展既是現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的要求，又對現(xiàn)在工業(yè)的發(fā)展起到了巨大的促進作用。它使幾何學從傳統(tǒng)時代進入數(shù)字化定義的信息時代，煥發(fā)出勃勃生機。有理函數(shù)（有理曲線、有理曲面）在CAGD（計算機輔助幾何設(shè)計）學科中占有重要的地位，有廣泛和重要的應(yīng)用，它廣為人們接受，為CAGD的進一步發(fā)展奠定了堅實基礎(chǔ)。</p><p>　　由于有理曲線在幾何造型設(shè)計中有著廣泛和重要的應(yīng)用，但是相比較多項式曲線的形

3、式較復(fù)雜，尤其是微分和積分的形式。因此用多項式逼近有理曲線的問題具有重要的理論和實際意義，并已得到廣泛的研究。</p><p>　　Bézie曲線是參數(shù)多項式曲線，由于它采用一組獨特的多項式基函數(shù)，使得它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在諸多形式的參數(shù)多項式曲線中獨樹一幟，一經(jīng)問世，就受到工業(yè)界和CAGD學術(shù)界的廣泛重視，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人們對它情有獨鐘。Bézier方法在實踐中表現(xiàn)出

4、強大的生命力。</p><p>　　國內(nèi)外研究文獻中已有許多多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的方法，例如：用混合多項式逼近有理函數(shù)、研究混合曲線控制點的移動范圍、利用多項式逼近有理函數(shù)和有理曲線的收斂條件，研究區(qū)間有理Bézier曲線的邊界、基于有理函數(shù)的混合表達式用Hermite 多項式逼近有理Bézier曲線，研究多項式逼近有理曲線的收斂條件、用Hermi

5、te 多項式逼近有理Bézier曲線的遞歸方法，以及通過用低階的多項式曲線來插值有理參數(shù)曲線等。</p><p>　　此外，由于Bézier曲線可以不斷升階，從而得到一個控制多邊形序列，它們都定義同一條Bézier曲線。這個多邊形序列將收斂都一個極限，就是所定義的Bézier曲線。因此可以通過升階的方法使Bézier曲線一致收斂到有理多項式Bézier曲

6、線。例如：參考文獻[7]中提到的方法：對一個任意給定連續(xù)升階的有理Bézier曲線，用它的控制點構(gòu)造Bézier曲線的控制點，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導(dǎo)數(shù)將一致收斂到對應(yīng)的原有理Bézier曲線的r階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　這些方法各有特點，各有自己的適用場合，但是關(guān)于這一問題顯然還有值得完善和改進的地方。我將在已有研究方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個新的B&

7、#233;zier曲線，實現(xiàn)用新構(gòu)造的多項式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線，與現(xiàn)有的研究方法相比，更具幾何直觀性，方法更簡潔直接，并且將盡可能提高逼近精度，便于計算機操作與應(yīng)用的實現(xiàn)。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　1.調(diào)研用多項式參數(shù)曲線逼近有理曲線的背景及意義，綜述已有方法的優(yōu)缺點；2.提出用多項式參數(shù)曲

8、線逼近有理曲線的一種新方法，并給出具體計算實例。</p><p>　　構(gòu)造新的Bézier曲線來逼近有理Bézier曲線。根據(jù)參考文獻[7]，對一個任意給定連續(xù)升階的有理Bézier曲線，用它的控制點構(gòu)造Bézier曲線的控制點，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導(dǎo)數(shù)將一致收斂到對應(yīng)的原有理Bézier曲線的r階導(dǎo)數(shù),記升階后的有理Bé

9、;zier曲線的控制點為{}，根據(jù)參考文獻[7]中的引理1：(See Farin, 1999.) 當 有理Bézier曲線不斷升階，它的控制點一致收斂到，用 {}和的線性組合構(gòu)造新的控制點，用這些線性變化的控制點作為多項式Bézier曲線的控制點，以此實現(xiàn)課題研究的目的，用構(gòu)造的多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線。</p><p>　　研究的方法與技術(shù)路線<

10、;/p><p>　　1、嘗試給出新控制頂點的解析表達式。使用直觀的幾何方法，通過升階的方法，改變原有理Bézier </p><p>　　曲線的控制點和權(quán)值，以參考文獻[7]作為理論依據(jù)，構(gòu)造新的多項式Bézier曲線的控制點。實</p><p>　　現(xiàn)用多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線。</p>&l

11、t;p>　　2、提高逼近精度。在Bézier曲線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，移動Bézier曲線的控制點，來逼近有理Bézier 曲線，使得逼近誤差盡可能小。</p><p>　　3、給出適當?shù)乃憷齺碚f明我們所給出方法的可行性與可操作性。</p><p>　　選4階、5階、6階的Bézier曲線逼近同階的有理Bézier曲線，以此說明用構(gòu)造的新的多

12、項式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線的有效性和可行性。</p><p>　　4、整理用代表性算例計算的算法和結(jié)果，針對算例中出現(xiàn)的問題，提高逼近精度。</p><p>　?、?、在Bézier曲線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，移動Bézier曲線的控制點，調(diào)整逼近的方法。</p><p>　?、?、修正逼近的精度的算法。 </p

13、><p>　　四、研究的總體安排與進度</p><p>　　1. 2010-2011年第一學期第13周：選題、開題論證會。第14 周：對文獻綜述和開題報告進行修改。第15-19周：收集資料，提交論文研究框架。2. 2010-2011年第二學期第1-7周：提交畢業(yè)論文初稿給指導(dǎo)教師審閱，修改論文。第8周：畢業(yè)論文定稿，完成相關(guān)材料的填寫，裝訂成冊。第9-11周：畢業(yè)論文上交教務(wù)辦。

14、第12周：參加畢業(yè)論文答辯。</p><p><b>　　五、主要參考文獻</b></p><p>　　[1] 王國謹,汪國昭,鄭建明,計算機輔助幾何設(shè)計.北京市:高等教育出版社,2001.36-46.</p><p>　　[2] 陳效群,陳發(fā)來,陳長松.有理曲線的多項式逼近[J].高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯（中文版）,1998,(S1).<

15、/p><p>　　[3] 壽華好,王國瑾.區(qū)間Bezier曲線的邊界[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯（中文版）,1998,(S1).</p><p>　　[4] 陳效群,婁文平.有理曲線的區(qū)間Bezier曲線的逼近[J].中國科學技術(shù)大學學報,2001,(04).</p><p>　　[5] 孟祥國,王仁宏.有理曲面的區(qū)間Bezier曲面的逼近[J].數(shù)值計算與計算應(yīng)用，

16、2003,(04).</p><p>　　[6] Thomas W. Sederberg ,Masanori Kakimoto, Approximating rational curves using polynomial curves, in NURBS for Curve and Surface Design, G. Farin, ed., SIAM, Philadelphia, 1991, pp. 149-

17、-158.</p><p>　　[7] Huang Youdu ,Su Huaming ,Lin Hongwei, A simple method for approximating rational curves using Bezier curves, Computer Aided Geometric Design, Volume 25, Issue 8, November 2008, Pages 697-6

18、99.</p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　有理多項式曲線逼近的新方法</p><p>　　CAGD（計算機輔助幾何設(shè)計）是一門迅速發(fā)展的新興學科，它的核心問題是要解決工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的數(shù)學描述。它的出現(xiàn)和發(fā)展

19、既是現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的要求，又對現(xiàn)在工業(yè)的發(fā)展起到了巨大的促進作用。它使幾何學從傳統(tǒng)時代進入數(shù)字化定義的信息時代，煥發(fā)出勃勃生機。有理函數(shù)（有理曲線、有理曲面）在CAGD（計算機輔助幾何設(shè)計）學科中占有重要的地位，有廣泛和重要的應(yīng)用，它廣為人們接受，為CAGD的進一步發(fā)展奠定了堅實基礎(chǔ)。</p><p>　　由于有理曲線在幾何造型設(shè)計中有著廣泛和重要的應(yīng)用，但是相比較多項式曲線的形式較復(fù)雜，尤其是微分和積分的形式。因

20、此用多項式逼近有理曲線的問題具有重要的理論和實際意義，并已得到廣泛的研究。</p><p>　　Bézie曲線是參數(shù)多項式曲線，由于它采用一組獨特的多項式基函數(shù)，使得它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在諸多形式的參數(shù)多項式曲線中獨樹一幟，一經(jīng)問世，就受到工業(yè)界和CAGD學術(shù)界的廣泛重視，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人們對它情有獨鐘。Bézier方法在實踐中表現(xiàn)出強大的生命力。</p>

21、<p>　　國內(nèi)外研究文獻中已有許多多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的方法，例如：用混合多項式逼近有理函數(shù)、研究混合曲線控制點的移動范圍、利用多項式逼近有理函數(shù)和有理曲線的收斂條件，研究區(qū)間有理Bézier曲線的邊界、基于有理函數(shù)的混合表達式用Hermite 多項式逼近有理Bézier曲線，研究多項式逼近有理曲線的收斂條件、用Hermite 多項式逼近有理Béz

22、ier曲線的遞歸方法，以及通過用低階的多項式曲線來插值有理參數(shù)曲線等。</p><p>　　此外，由于Bézier曲線可以不斷升階，從而得到一個控制多邊形序列，它們都定義同一條Bézier曲線。這個多邊形序列將收斂都一個極限，就是所定義的Bézier曲線。因此可以通過升階的方法使Bézier曲線一致收斂到有理多項式Bézier曲線。例如：參考文獻[7]中提到的方法

23、：對一個任意給定連續(xù)升階的有理Bézier曲線，用它的控制點構(gòu)造Bézier曲線的控制點，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導(dǎo)數(shù)將一致收斂到對應(yīng)的原有理Bézier曲線的r階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　這些方法各有特點，各有自己的適用場合，但是關(guān)于這一問題顯然還有值得完善和改進的地方。我將在已有研究方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個新的Bézier曲線，實現(xiàn)用新構(gòu)造

24、的多項式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線，與現(xiàn)有的研究方法相比，更具幾何直觀性，方法更簡潔直接，并且將盡可能提高逼近精度，便于計算機操作與應(yīng)用的實現(xiàn)。</p><p>　　研究的主要內(nèi)容有以下幾點：</p><p>　　構(gòu)造新的多項式Bézier曲線的解析表達式。</p><p>　　根據(jù)參考文獻[7]，對一個任意給定連續(xù)升階

25、的有理Bézier曲線，用它的控制點構(gòu)造Bézier曲線的控制點，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導(dǎo)數(shù)將一致收斂到對應(yīng)的原有理Bézier曲線的r階導(dǎo)數(shù),記升階后的有理Bézier曲線的控制點為{}，根據(jù)參考文獻[7]中的引理1：(See Farin, 1999.) 當 有理Bézier曲線不斷升階，它的控制點一致收斂到，用 {}和的線性組合構(gòu)造新的控制點，用這些線

26、性變化的控制點作為多項式Bézier曲線的控制點，以此實現(xiàn)課題研究的目的，用構(gòu)造的多項式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線。</p><p>　　2、根據(jù)研究方案，找到線性變化的控制點，具體計算幾個有代表性的算例，這里選4階、5階、6階的Bézier曲線逼近同階的有理Bézier曲線，以此說明用構(gòu)造的新的多項式Bézier曲線逼近原有理B

27、3;zier曲線的有效性和可行性。</p><p>　　3、整理用代表性算例計算的算法和結(jié)果，針對算例中出現(xiàn)的問題，提高逼近精度。</p><p>　　①、在Bézier曲線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，移動Bézier曲線的控制點，調(diào)整逼近的方法。</p><p>　?、?、修正逼近的精度的算法。</p><p><b>　　參

28、考文獻：</b></p><p>　　[1] 王國謹,汪國昭,鄭建明,計算機輔助幾何設(shè)計.北京市:高等教育出版社,2001.36-46.</p><p>　　[2] 陳效群,陳發(fā)來,陳長松.有理曲線的多項式逼近[J].高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯（中文版）,1998,(S1).</p><p>　　[3] 壽華好,王國瑾.區(qū)間Bezier曲線的邊界[J]. 高校

29、應(yīng)用數(shù)學學報A輯（中文版）,1998,(S1).</p><p>　　[4] 陳效群,婁文平.有理曲線的區(qū)間Bezier曲線的逼近[J].中國科學技術(shù)大學學報,2001,(04).</p><p>　　[5] 孟祥國,王仁宏.有理曲面的區(qū)間Bezier曲面的逼近[J].數(shù)值計算與計算應(yīng)用，2003,(04).</p><p>　　[6] Thomas W. Sede

30、rberg ,Masanori Kakimoto, Approximating rational curves using polynomial curves, in NURBS for Curve and Surface Design, G. Farin, ed., SIAM, Philadelphia, 1991, pp. 149--158.</p><p>　　[7] Huang Youdu ,Su Hua

31、ming ,Lin Hongwei, A simple method for approximating rational curves using Bezier curves, Computer Aided Geometric Design, Volume 25, Issue 8, November 2008, Pages 697-699.</p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計</b>

32、</p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　有理曲線多項式逼近的新方法</p><p><b>　　摘　要</b></p><p>　　【摘要】本文首先對Bézier曲線和有理Bézier曲線的發(fā)展、基本概念及性質(zhì)做了比較簡短的概括性介紹。在分析已有

33、研究方法的基礎(chǔ)上提出了一種構(gòu)造多項式Bézier曲線的方法，用構(gòu)造的多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線。連續(xù)升階的有理Bézier曲線的控制點一致收斂到有理Bézier曲線等距點上的函數(shù)值，用升階后的有理Bézier曲線的控制頂點和有理Bézier曲線等距點上的函數(shù)值構(gòu)造一個線性組合，將這個線性組合作為Bézier曲線的控制點。用構(gòu)造的多項式B&

34、#233;zier曲線逼近有理Bézier曲線，通過適當?shù)膶嵗f明了這種構(gòu)造方法的可行性與可操作性，針對算例中出現(xiàn)的問題，通過兩種方式提高逼近精度。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】有理Bézier曲線；多項式逼近；升階；一致收斂。</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】

35、Firstly,this paper introduces a brief concepts and the development of the Bézier curves and the rational Bézier curves. In the analysis of the existing research, a method is proposed to construct Bézier cu

36、rve,which approximates rational Bézier curves. As the rational Bézier curve being elevated,its control points converge to rational Bézier curve equidistant function values uniformly, using a linear combina

37、tion of elevated control points and rational Bézier curve equidistant function v</p><p>　　【KEYWORDS】Rational Bézier curve；Approximation with polynomial；Degree elevation；Uniform convergence。</p&g

38、t;<p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要8</b></p><p>　　Abstract8</p><p><b>　　目　錄9</b></p><p><b>　　1緒論10</b></p&

39、gt;<p>　　1.1研究背景及意義10</p><p>　　1.2研究現(xiàn)狀及相關(guān)工作11</p><p><b>　　2逼近方法12</b></p><p>　　2.1基礎(chǔ)知識12</p><p>　　2.2研究方法15</p><p><b>　　

40、3計算實例16</b></p><p>　　3.1算例一（控制頂點為凸型）16</p><p>　　3.1.1構(gòu)造的Bézier曲線（目標曲線）16</p><p>　　3.1.2修正最優(yōu)化過程中逼近精度的方法18</p><p>　　3.2算例二（控制頂點為彎曲型）20</p><

41、;p>　　3.2.1構(gòu)造的Bézier曲線（目標曲線）20</p><p>　　3.2.2修正最優(yōu)化過程中逼近精度的方法22</p><p><b>　　4總結(jié)24</b></p><p><b>　　參考文獻26</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。&

42、lt;/p><p>　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　緒論</b></p><p>　　本章首先介紹Bézier曲線和有理Bézier曲線的歷史背景，指出有理Bézier曲線的形式比較復(fù)雜，尤其實微分和積分的形式，而Bézier曲線不僅克服了這些不足，形式簡單，微分和積分也很容易求解，

43、而且增強了曲線、曲面設(shè)計和表示的靈活性。因此用Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的問題具有重要的理論和實際意義，并已得到廣泛地研究。</p><p><b>　　研究背景及意義</b></p><p>　　CAGD（計算機輔助幾何設(shè)計）是一門迅速發(fā)展的新興學科，它的核心問題是要解決工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的數(shù)學描述。它的出現(xiàn)和發(fā)展既是現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的要

44、求，又對現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展起到了巨大的促進作用。它使幾何學從傳統(tǒng)時代進入數(shù)字化定義的信息時代，煥發(fā)出勃勃生機。有理函數(shù)（有理曲線、有理曲面）在CAGD學科中占有重要的地位，有廣泛和重要的應(yīng)用，它廣為人們接受，為CAGD的進一步發(fā)展奠定了堅實基礎(chǔ)。</p><p>　　由于有理函數(shù)（有理曲線，有理曲面）在幾何造型設(shè)計中有著廣泛和重要的應(yīng)用，但是相比較有理曲線的形式較復(fù)雜，尤其是微分和積分的形式。因此用多項式曲線逼近有理

45、曲線的問題具有重要的理論和實際意義。</p><p>　　Bézier曲線是參數(shù)多項式曲線，也是應(yīng)用于圖形應(yīng)用程序的數(shù)學曲線。曲線的定義有四個點：起始點、終止點（也稱錨點）以及兩個相互分離的中間點。由于它采用一組獨特的多項式基函數(shù)，使得它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，滑動兩個中間點，Bézier曲線的形狀會發(fā)生變化，在諸多形式的參數(shù)多項式曲線中獨樹一幟。十九世紀六十年代晚期，Pierre Bé

46、zier應(yīng)用數(shù)學方法為雷諾公司的汽車制造業(yè)描繪出了Bézier曲線。Bézier曲線就是這樣的一條曲線，它是依據(jù)四個位置任意的點坐標繪制出的一條光滑曲線。在歷史上，研究Bézier曲線的人最初是按照已知曲線參數(shù)方程來確定四個點的思路設(shè)計出這種矢量曲線繪制法。Bézier曲線的有趣之處更在于它的“皮筋效應(yīng)”，也就是說，隨著點有規(guī)律地移動，曲線將產(chǎn)生皮筋伸引一樣的變換，帶來視覺上的沖擊。因此B

47、3;zier曲線一經(jīng)問世，就受到工業(yè)界和CAGD學術(shù)界的廣泛重視，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人們對它情有獨鐘。Bézier方法在實踐中表現(xiàn)出強大的生命力。</p><p>　　Bézier曲線具有很多優(yōu)良性質(zhì)，克服了有理Bézier曲線形式復(fù)雜的不足，它的形式簡單，微分和積分也很容易求解，同時Bézier曲線也增強了曲線、曲面設(shè)計和表示的靈活性。因此用Bé

48、;zier曲線逼近有理Bézier曲線的問題具有重要的理論和實際意義，并已得到廣泛地研究。</p><p><b>　　研究現(xiàn)狀及相關(guān)工作</b></p><p>　　由于有理曲線的形式較復(fù)雜，尤其是微分和積分的形式，因此用多項式曲線逼近有理曲線的問題具有重要的理論和實際意義，并已得到廣泛的研究。作為CAGD系統(tǒng)中重要的一個概念，Bézier曲線和

49、有理Bézier曲線理論的發(fā)展與不斷完善是國內(nèi)外無數(shù)科研工作者幾十年努力的結(jié)果。特別是有理Bézier曲線，他通過增加了若干個權(quán)值而大大增強了曲線的靈活性，因而倍受人們的關(guān)注。國內(nèi)外研究文獻中已有許多多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的方法，例如：Sederberg 和 Kakimoto (1991)提出用混合多項式逼近有理函數(shù)， Wang 和Seder-berg (1994) 研究了

50、區(qū)間有理Bézier曲線的邊界?；谟欣砗瘮?shù)的混合表達式，Wang et al. (1997) 提出用Hermite多項式逼近有理Bézier曲線，研究多項式逼近有理曲線和有理函數(shù)的收斂條件。Wang 和 Zheng (1997) 研究了混合曲線控制點移動的邊界。Liu 和 Wang (2000)提出用Hermite多項式逼近有理Bézier曲線的遞歸公式。Floater (2006)利用Hermite的

51、方法，證</p><p>　　此外，由于Bézier曲線可以不斷升階，從而得到一個控制多邊形序列，它們都定義同一條Bézier曲線。這個多邊形序列將收斂到一個極限，就是所定義的Bézier曲線。因此可以通過升階的方法使Bézier曲線一致收斂到有理Bézier曲線。Huang Youdu ,Su Huaming ,Lin Hongwei提出用Bézier

52、曲線序列逼近有理Bézier曲線，對任意一個給定階數(shù)的有理Bézier曲線連續(xù)升階，用連續(xù)升階的有理Bézier曲線的控制點構(gòu)造Bézier曲線序列的控制點，通過引用兩個基本引理，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導(dǎo)數(shù)將一致收斂到對應(yīng)的原有理Bézier曲線的r階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　這些方法各有特點，各有自己的適用場合，但是關(guān)于這一問題

53、顯然還有值得完善和改進的地方。在已有研究成果的基礎(chǔ)上，通過研究分析提出一種新的逼近方法，構(gòu)造一個用線性組合為控制點的Bézier曲線，實現(xiàn)用構(gòu)造的多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線。</p><p>　　這種新的逼近方法以已有研究成果為理論指導(dǎo)，綜合了已有成果，從而確保了逼近方法的可行性。借助強大的數(shù)學軟件Maple，通過兩個代表性實例進行具體的實踐操作，保證了逼近方法的

54、可操作性。與現(xiàn)有的研究方法相比，更具幾何直觀性，方法更簡潔直接。針對實例中出現(xiàn)的問題，提出可行的兩種解決方法，盡可能的提高了逼近精度，便于計算機操作與應(yīng)用的實現(xiàn)。</p><p><b>　　逼近方法</b></p><p>　　本章著重介紹了Bézier曲線和有理Bézier曲線的定義和一些基本性質(zhì)，在已有研究成果的基礎(chǔ)上，通過研究分析提出一種新

55、的逼近方法，構(gòu)造一個線性組合作為Bézier曲線的控制點，得到逼近有理Bézier曲線的Bézier曲線，用兩個代表性的實例，說明逼近方法的可操作性。針對兩個典型實例中出現(xiàn)的問題，采用兩種解決方法，提高逼近精度。</p><p><b>　　基礎(chǔ)知識</b></p><p>　?、臖ernstein基函數(shù) </p><

56、p><b>　　，</b></p><p>　?、艬ézier曲線的定義</p><p>　　在空間給定n+1個點，稱下面的多項式參數(shù)曲線為n次Bézier曲線，其中為Bernstein基函數(shù)。稱折線為的控制多邊形，稱各點為的控制頂點。控制多邊形是對Bézier曲線的大致勾畫，是對控制多邊形的逼近。如圖1是n次Bézier

57、曲線和它的控制多邊形。</p><p>　　圖 圖2：n次Bézier曲線和它的控制多邊形</p><p>　　⑶有理Bézier曲線的定義及性質(zhì)</p><p><b>　　稱下面的參數(shù)曲線</b></p&g

58、t;<p>　　為以為控制多邊形，以為權(quán)值的n次有理Bézier曲線。為使分母不為0，一般要求權(quán)值>0。易知具有以下性質(zhì)：</p><p>　?、倭?，所有的等于相同的非零值w,則任何多項式Bézier曲線都能表示一個有理Bézier曲線。</p><p><b>　?、谛螤铎`活</b></p><

59、p>　　Bézier曲線的形狀由控制多邊形唯一決定，而有理Bézier曲線則不同。控制多邊形確定后，還可以通過調(diào)整權(quán)值，改變曲線的形狀，因而顯得更靈活。③良好的端點性質(zhì)</p><p>　　與Bézier曲線一樣，有理Bézier曲線也以為端點與邊相切等。即</p><p><b>　　，</b></p>

60、<p><b>　　④良好的幾何性質(zhì)</b></p><p>　　有理Bézier曲線與Bézier曲線一樣具有凸包性、保凸性、變差減縮性、幾何不變性、仿射不變性和良好的交互能力等性質(zhì)。</p><p><b>　　⑤對稱性</b></p><p>　　將有理Bézier曲線與B&#

61、233;zier曲線多邊形順序取反，定義同一條有理Bézier曲線與Bézier曲線，只是曲線的方向相反。</p><p>　?、抟苿觧次有理Bézier曲線與Bézier曲線的第i個控制頂點，將對曲線上參數(shù)為那點的函數(shù)值發(fā)生最大的影響。這是因為相應(yīng)的Bernstein基函數(shù)在處達到最大值。</p><p>　　⑷有理Bézier曲線的升階

62、</p><p>　　令則{}, {}, {}有遞歸的公式</p><p>　　則有理Bézier曲線升階后的參數(shù)形式為</p><p>　　⑸有理Bézier曲線等距點的函數(shù)值作為控制頂點的Bézier曲線</p><p>　　令，將t代入有理Bézier曲線中，得到以有理Bézier曲線等

63、距點的函數(shù)值，以這些函數(shù)值作為控制頂點，得到一條Bézier曲線。</p><p><b>　　研究方法</b></p><p>　　本文提出用Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的另一種方法，這種方法能夠很容易地推廣到一系列一般的有理函數(shù)、有理曲線、有理曲面。也就是對一個給定的連續(xù)升階的有理Bézier曲線，由于連續(xù)升階的

64、有理Bézier曲線的控制點一致收斂到，用連續(xù)升階的有理Bézier曲線的控制點{}和的線性組合作為Bézier曲線的控制點，用構(gòu)造的多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線。</p><p>　　Bernstein基函數(shù)有很多優(yōu)良的性質(zhì)，像引理2【10】：令則對于任意給定的非負r， (n→∞,?t ∈[0, 1]). 表示一致收斂。而Bézie

65、r曲線和有理Bézier曲線（為控制點，為權(quán)值）中都采用Bernstein基函數(shù)多項式，這使得Bézier曲線和有理Bézier曲線也有很多優(yōu)良的性質(zhì)，便于形狀設(shè)計。</p><p>　　引理1【10】：(See Farin, 1999.) 當 不斷升階，一致收斂到， ? or (n→∞; i = 0, 1,...,n).， 表示一致收斂。 基于此引理可以將任意給定階數(shù)的有理B&

66、#233;zier曲線連續(xù)升階。</p><p>　　根據(jù)升階公式，升階后的有理Bézier曲線的控制頂點在原有理Bézier曲線控制頂點的基礎(chǔ)上不斷增加，這些升階后的控制頂點形成一個位于有理Bézier曲線圖像上方的一個控制多邊形。若以有理Bézier曲線等距點上的函數(shù)值為控制頂點，這些控制頂點也將形成一個位于有理Bézier曲線圖像下方的控制多邊形。也就是說在

67、有理Bézier曲線的上方有一條升階的有理Bézier曲線，下方有一條以有理Bézier曲線等距點上的函數(shù)值為控制點的Bézier曲線。如果用升階的有理Bézier曲線的控制點和有理Bézier曲線等距點上的函數(shù)值構(gòu)成一個線性組合，將這個線性組合作為Bézier曲線的控制頂點，用這個構(gòu)造的Bézier曲線逼近有理Bézier曲線。由于的變化可以調(diào)節(jié)

68、Bézier曲線的控制頂點，通過最優(yōu)化，得到最適合的即得到多項式Bézier曲線最佳的控制頂點，這個最適的控制頂點得到的Bézier曲線使得逼近有理Bézier曲線的效果最好。 </p><p>　　這種構(gòu)造方法是在已有方法的基礎(chǔ)上，通過一個線性組合，將已有的方法進行綜合，實現(xiàn)用多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線。很明顯，理論上這種構(gòu)造方法是

69、非常簡單可行的。而且，可以通過兩個代表性的算例說明構(gòu)造Bézier曲線方法的可行性與可操作性。同時針對兩個實例中出現(xiàn)的精度問題，采用兩種方法不斷升級和增加取點的方式提高逼近精度，使逼近誤差盡可能小。</p><p><b>　　計算實例</b></p><p>　　本章主要通過兩個實例說明所用構(gòu)造的Bézier曲線逼近有理Bézier曲線

70、方法的可行性與可操作性。由于Bézier曲線是應(yīng)用于圖形應(yīng)用程序的數(shù)學曲線，而Maple又作為世界上最通用的數(shù)學和工程計算軟件，在數(shù)學和科學領(lǐng)域享有盛譽。Maple不僅提供編程工具，更主要的是在它的運行環(huán)境下，從簡單的數(shù)字計算到高度復(fù)雜的非線性問題，它都可以幫助快速、高效地解決問題。因此借助于數(shù)學軟件Maple的運行環(huán)境，通過編寫程序，論文中實例的各種表達式都很容易求解，每條曲線的圖像可以輕而易舉的畫出并加以區(qū)別。</p

71、><p>　　算例一（控制頂點為凸型）</p><p>　　構(gòu)造的Bézier曲線（目標曲線）</p><p>　　選4階的Bézier曲線作為算例，控制頂點:=[[0,0],[1,1.5],[3,2],[5,1.5],[6,0.5] ];</p><p>　　權(quán)值:=[1,1,2,1.5,1]; </p>&l

72、t;p>　　⑴有理Bézier曲線的參數(shù)表達式</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p>　?、粕A后的有理Bézier曲線</p><p><b>　　按升階公式：</b></p>

73、<p>　　升階后的權(quán)值:=[1,1,1.6 ,1.8,1.4,1]；</p><p>　　升階后的控制頂點:=[[0,0],[0.8,1.2],[2.5,1.875],[3.667,1.833],[5.142,1.357],[6,0.5]];</p><p>　　升階后的有理Bézier曲線的參數(shù)表達式</p><p>　　⑶以有理Bé

74、;zier曲線等距點的函數(shù)值作為控制頂點的Bézier曲線</p><p>　　控制頂點:=[[0,0],[1.314,1.104],[2.619,1.588],[3.686,1.617],[4.768,1.31],[6,0.5]];</p><p><b>　　曲線的參數(shù)表達式為</b></p><p>　?、葮?gòu)造的Béz

75、ier曲線（即目標曲線）</p><p>　　目標曲線的控制頂點按公式 計算，則控制頂點:=[[0,0],[0.8+0.514,1.2-0.096],[2.5+0.119,1.875-0.287],[3.667+0.02,1.833-0.216</p><p>　　],[5.143-0.375,1.375-0.047],[6,0.5]]；</p><p>　　構(gòu)造的

76、Bézier曲線（即目標曲線）的參數(shù)表達式</p><p><b>　?、勺顑?yōu)化</b></p><p>　　使用積分函數(shù)求最優(yōu)化值，具體方法：均勻的取4個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造的Bézier曲線距離的平方最小，使用Maple軟件里最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果：</p><p><b&g

77、t;　　最優(yōu)化結(jié)果： </b></p><p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到控制頂點為：</p><p>　　:=[[0,0],[1.619,1.046],[2.375,2.177],[3.645,2.032],[4.814,1.316],[6,0.5]];</p><p>　　目標曲線的參數(shù)表達式：</p><p><

78、;b>　　逼近精度：</b></p><p>　　圖 3：粉色為控制多邊形，藍色為升階的有理Bézier曲線（有理Bézier曲線），棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p>　　修正最優(yōu)化過程中逼近精度的方法</p><p>　?、湃↑c多少對精度的影響</p><p>

79、　　均勻的取9個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造的Bézier曲線距離的平方最小，使用Maple軟件的最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果：</p><p><b>　　最優(yōu)化結(jié)果：</b></p><p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到逼近精度：</p><p>　　由于，因此取點越多逼近效果會越好</p&g

80、t;<p>　　圖 4：粉色為控制多邊形，藍色為升階的有理Bézier曲線（有理Bézier曲線）</p><p>　　棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p>　?、七B續(xù)升階對精度的影響</p><p>　?、偕浑A即5階：權(quán)值和控制頂點都按升階公式升階</p><p>　　

81、均勻的取4個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造的Bézier曲線距離的平方最小，使用Maple軟件的最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果：</p><p><b>　　最優(yōu)化結(jié)果：</b></p><p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到逼近精度：</p><p>　　由于，因此升階可以提高逼近精度</p>

82、<p>　　圖5：粉色為控制多邊形，藍色為升階的有理Bézier曲線（有理Bézier曲線）</p><p>　　棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p>　　②再升一階即6階：在升5階的基礎(chǔ)上，權(quán)值和控制頂點都按升階公式升階</p><p>　　均勻的取4個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造的

83、Bézier曲線距離的平方最小，使用Maple軟件的最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果：</p><p>　　最優(yōu)化結(jié)果： </p><p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到逼近精度： </p><p>　　由于，因此升階可以提高逼近精度。</p><

84、;p>　　圖6：粉色為控制多邊形，藍色為升階的有理Bézier曲線（有理Bézier曲線）棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p>　　算例二（控制頂點為彎曲型）</p><p>　　構(gòu)造的Bézier曲線（目標曲線）</p><p>　　選4階的Bézier曲線作為算例，控制頂點:=[

85、[1,3],[2,2],[3,1],[4,4],[5,2 ];權(quán)值:=[1,1,2,1.5,1]; </p><p>　?、庞欣鞡ézier曲線的參數(shù)表達式</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p>　?、粕A后的有理Bézi

86、er曲線</p><p>　　升階后的權(quán)值:=[1,1,1.6 ,1.8,1.4,1];</p><p>　　升階后的控制頂點:=[[1,3],[1.8,2.2],[2.75,1.25],[3.33,2],[4.14,3.71],[5,2]];</p><p>　　升階后的有理Bézier曲線的參數(shù)表達式</p><p>　?、且杂?/p>

87、理Bézier曲線等距點的函數(shù)值作為控制頂點的Bézier曲線</p><p>　　控制頂點:=[[1,3],[1.982,2.154,[2.773,1.929],[3.377,2.244],[4.034,2.68],[5,2]];</p><p><b>　　曲線的參數(shù)表達式</b></p><p>　?、葮?gòu)造的B

88、3;zier曲線（即目標曲線）</p><p>　　目標曲線的控制頂點按公式 計算，則控制頂點:=[[1,3],[1.8+0.18,2.2-0.046],[2.75+0.02,1.25+0.68],</p><p>　　[3.33+0.044,2+0.24],[4.143-0.109,3.71-1.03],[5,2]；</p><p>　　目標曲線的參數(shù)表達式<

89、;/p><p><b>　　⑸最優(yōu)化</b></p><p>　　使用積分函數(shù)求最優(yōu)化值。具體方法：均勻的取4個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造的Bézier曲線距離的平方最小，使用Maple軟件的最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果：</p><p><b>　　最優(yōu)化結(jié)果： </b></p&g

90、t;<p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到控制頂點為：</p><p>　　:=[[1,3],[2.23,2.09],[2.75,1.148],[3.31,1.84],[4.15,3.82,[5,2]];</p><p>　　目標曲線的參數(shù)表達式：</p><p>　　逼近精度： </p><p>　　圖7: 紅點

91、為控制頂點，紅色為有理Bézier曲線，藍色為升階的有理Bézier曲線。</p><p>　　棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p>　　修正最優(yōu)化過程中逼近精度的方法</p><p>　　⑴取點多少對精度的影響</p><p>　　均勻的取9個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造

92、的Bézier曲線距離的平方最小，使用Maple軟件的最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果：</p><p><b>　　最優(yōu)化結(jié)果：</b></p><p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到逼近精度：</p><p>　　由于，因此取點越多逼近效果會越好</p><p>　　圖8: 紅點為控制頂點，藍色

93、為升階的有理Bézier曲線（有理Bézier曲線）</p><p>　　棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p>　?、七B續(xù)升階對精度的影響</p><p>　　①升一階即5階：權(quán)值和控制頂點都按升階公式升階</p><p>　　均勻的取4個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造的B&

94、#233;zier曲線距離的平方最小，使用Maple軟件的最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果： </p><p><b>　　最優(yōu)化結(jié)果：</b></p><p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到逼近精度：</p><p>　　由于，因此升階可以提高逼近精度</p><p>　　圖9: 紅點為控制頂點，藍色

95、為升階的有理Bézier曲線（有理Bézier曲線）</p><p>　　棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p>　?、谠偕浑A即6階：在升5階的基礎(chǔ)上，權(quán)值和控制頂點都按升階公式升階</p><p>　　均勻的取4個點，使有理Bézier曲線和構(gòu)造的Bézier曲線距離的平方最小，使用Map

96、le軟件的最優(yōu)化函數(shù)Minimize計算最優(yōu)化結(jié)果：</p><p>　　最優(yōu)化結(jié)果： </p><p>　　將最優(yōu)化結(jié)果代入目標曲線，得到逼近精度： </p><p>　　由于，因此升階可以提高逼近精度。</p><p>　　圖10: 紅點為控制頂點，藍色為升階的有理Bézier曲線

97、（有理Bézier曲線）</p><p>　　棕色為等距點的Bézier曲線，綠色為目標曲線</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　本文首先介紹了Bézier曲線和有理Bézier曲線的歷史背景，指出有理Bézier曲線的不足，它的形式比較復(fù)雜，尤其實微分和積分的形式，而

98、Bézier曲線不僅克服了這些不足，形式簡單，微分和積分也很容易求解，而且增強了曲線、曲面設(shè)計和表示的靈活性。因此用Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的問題具有重要的理論和實際意義，并已得到廣泛地研究。</p><p>　　在已有研究成果的基礎(chǔ)上，通過研究分析提出一種新的逼近方法，構(gòu)造一個線性組合作為Bézier曲線的控制點，這個線性組合采用有理Bézier

99、曲線升階后的控制頂點和有理Bézier曲線等距點上的函數(shù)值構(gòu)造。由于一個在有理Bézier曲線的上方，一個在有理Bézier曲線的下方，通過線性組合可以很好的實現(xiàn)逼近。在具體的操作過程中，用兩個具有代表性的實例，說明這種逼近方法的可行性與可操作性。同時針對兩個實例中出現(xiàn)的逼近精度不理想的問題，采用兩種不同的解決方法，盡可能的提高了逼近精度。根據(jù)這兩種解決辦法，得到結(jié)論：取點多少和升階次數(shù)高低都對逼近精度產(chǎn)生

100、影響，而且取點越多，升階次數(shù)越高可以提高逼近精度，減少逼近誤差。但是逼近效果的進一步改善，需要我們更進一步的探討，可以利用升階或別的方法，使逼近誤差盡可能小。</p><p>　　這種逼近方法具有一定的可行性，能夠推廣到一系列一般的有理函數(shù)，包括一系列的有理B樣條，而且也包括一系列有理曲面。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><

101、p>　　王國謹，汪國昭，鄭建明.計算機輔助幾何設(shè)計，北京市：高等教育出版社，2001，36-46.</p><p>　　陳效群，陳發(fā)來，陳長松.有理曲線的多項式逼近[J].高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯（中文版）， 1998(S1) .</p><p>　　壽華好，王國瑾.區(qū)間Bezier曲線的邊界[J] . 高校應(yīng)用數(shù)學學報A輯（中文版），1998(S1) .</p><

102、;p>　　陳效群，婁文平.有理曲線的區(qū)間Bezier曲線的逼近[J].中國科學技術(shù)大學學報，2001(4) .</p><p>　　孟祥國，王仁宏.有理曲面的區(qū)間Bezier曲面的逼近[J].數(shù)值計算與計算應(yīng)用，2003(4) .</p><p>　　王仁宏,李崇君，朱春鋼.計算幾何教程[M].北京：科學出版社，2008，102-153，222，233.</p><

103、;p>　　施法中. 計算機輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條[M]. 北京市：高等教育出版社，2001，114-163.</p><p>　　成敏，王國謹.有理Bezier曲線的多項式逼近新方法[J].浙江大學學報（工學版），2009(6).</p><p>　　Thomas W. Sederberg ,Masanori Kakimoto Approximating rational c

104、urves using polynomial curves, in NURBS for Curve and Surface Design, G. Farin, ed., SIAM, Philadelphia, 1991, pp. 149--158.</p><p>　　Huang Youdu ,Su Huaming ,Lin Hongwei, A simple method for approximating r