1、1,8 均勻設計法,8.1 均勻設計原理與均勻設計表 8.2 實驗安排 ８.3 實驗結果分析,2,8 均勻設計法,我們知道，正交表具有“均衡分散性”和“整齊可比性”，因而，利用正交表進行正交實驗設計，可以通過較少的實驗，獲得全面實驗的信息，是一種優(yōu)異的實驗設計方法。為了保證整齊可比的特點，簡化數(shù)據(jù)處理，實驗點不能在實驗條件范圍內(nèi)充分地均衡分散，因此實驗點不能過少。顯然，在正交實驗中，均勻性受到一定的限制，使實驗點的代表性

2、還不夠強。由于這一原因， 當需考察的因子數(shù)較多，特別是因子水平數(shù)較多時， 由正交實驗設計安排的實驗次數(shù)仍然較多 。 如果不考慮實驗數(shù)據(jù)的整齊可比性，而,3,充分體現(xiàn)其均衡性，即讓實驗點在實驗范圍內(nèi)充分地均勻分散，則可從全面實驗中挑選比正交實驗設計更少的實驗點作為代表進行實驗。這種著眼于實驗點充分地均勻分散的實驗設計方法，稱為均勻?qū)嶒炘O計法。 均勻設計法已在我國飛航式導彈的設計中取得了有效的應用，使試驗、設計周期大大縮短，并節(jié)省了

3、大量的費用。,4,8.1 均勻設計原理與均勻設計表,在多維數(shù)值積分中，目前最好的是數(shù)論方法，其出發(fā)點是讓點子在積分范圍內(nèi)散布得十分均勻，使布的點離被積函數(shù)的各種值充分地近，因而用的點不多卻能使積分值得到很好的近似。我國數(shù)學家方開泰先生將這一思想應用于實驗設計，開發(fā)出均勻?qū)嶒炘O計的方法，并構造出如附表8所示的一套均勻設計表，表8.1是其中之一。,5,表8.1 U５(54)均勻設計表及使用表,6,類似于正交表，均勻設計表也有一個代號

4、 ,其各符號的意義是,7,從附表8可看出，每一張均勻設計表后都附有一張該表的使用表（如表8.1右表所示），與之配合使用；每一張表安排的實驗次數(shù)與因子水平數(shù)相等，且因子水平數(shù)皆為奇數(shù)。當水平數(shù)為偶數(shù)時，則可用水平數(shù)比多它1的奇數(shù)均勻設計表劃去最后一行來安排偶數(shù)水平數(shù)的實驗。例如，因子水平數(shù)為4時，可利用 表安排實驗，僅劃去 表中最后一行，即實驗5。當然，劃去最后一行后，相應的實驗次數(shù)也少一次， 表就變?yōu)?

5、 均勻設計表了，而使用表不變。與正交實驗相似，因子數(shù)較少時，也可用因子數(shù)較多的均勻設計表安排實驗。如以2因子11水平的實驗為例，可選用表來安排實驗，其實驗的布點情況見圖8.1中黑點所示。,8,圖8.1 2因子11水平實驗的實驗點分布,9,從實驗點的分布可以看到，實驗點是均勻 地分散在整個區(qū)域內(nèi)。若是多因子時，實驗點同樣是在實驗范圍構成的多維空間中均衡分布的。 與正交實驗設計相比，均勻?qū)嶒炘O計具有下述特點：

6、 (1) 每個因子的每一水平只做一次實驗，因而實驗工作量少，這是均勻?qū)嶒炘O計的一個突出的優(yōu)點。例如，要考察5因子對實驗指標的影響，每個因子取5水平，用正交表安排實驗至少要進行25次實驗；而用均勻設計表來安排這一實驗，只需進行5次實驗。雖然后一方法實驗點減少了很多，但其實驗結果仍能反映實驗體系的主要特征。,10,11,安排在第1與第7列。圖8.1也正是由此而作出的。 (3)

7、由于均勻?qū)嶒炘O計的特點，實驗數(shù)據(jù)失去了整齊可比性，因此，不能象正交實驗設計那樣，用方差分析法來處理數(shù)據(jù)，而要用回歸分析法處理實驗數(shù)據(jù)。 (4) 用均勻設計安排實驗，實驗次數(shù)較少，為了提高實驗精度和可靠性，可采用實驗次數(shù)較多的均勻設計表來重復安排因子各水平的實驗。例如考察5個因子的影響，每個因子取6個水平，可選用 表安排實驗。根據(jù)該均勻設計表的使用表（參見附表8），將因,12,子 A , B , C , D , E分別

8、安排在均勻設計表相應的列（1,6,8,9,10列）內(nèi)，再將該表第13號實驗劃去，并將各因子6個水平的每一水平在均勻設計表中重復安排一次，如將因子A的水平1安排為第1與2號實驗，水平2安排為第3與4號實驗，水平3安排為第5與6號實驗，水平4安排為第7與第8號實驗，水平5安排為第9與第10號實驗，水平6安排為第11與12號實驗。其它幾個因子也作同樣安排，則得如表8.2所示的具體實驗安排。,13,表8.2 重復水平實驗的具體安排表,14,由

9、于均勻?qū)嶒炘O計只要進行少數(shù)實驗即可找到基本上適用的分析條件，因此它在零星樣品的快速分析，確定待考察因子的實驗范圍，實驗條件的初選方面都大有好處。,8.2 實驗安排,當研究個因子對實驗指標值 的影響時，在不考慮因子高次項與因子之間交互作用的條件下，只需選用實驗次數(shù)等于因子數(shù)的均勻設計表來安排實驗就可以的。而當要考慮因子高次項與因子之間的交互作用時，需用多項式回歸來描述指標函數(shù)。若研究的因子數(shù)因子數(shù)為 ，在回歸方程中，一次項與二次項

10、各,15,,,,,有 項,交互效應項有 項，共有( )項，因此至少要選用有( )次實驗的均勻設計表來安排實驗。例如要研究3因子的影響，如果因子與指標函數(shù)之間的關系為線性，選用 表安排實驗；當各因子與指標值之間的關系為二次多項式，而又要考慮因子之間的交互作用時，則回歸方程的一次項與二次項各有3項，因子之間的交互作用項有 項，除常數(shù)項不計之外，在回歸方程中至少有9個待定系數(shù)，因此至少

11、應選用表 來安排實驗。,16,在安排實驗之前,應根據(jù)專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗來判斷與選擇在回歸方程式中的交互作用項與高次項,對于那些對指標值 y沒有顯著影響或影響較少的交互作用項與高次項應盡量不要安排在實驗中,以減少實驗工作量和對實驗數(shù)據(jù)的回歸分析的工作量。,17,８.3 實驗結果分析,８.3.1 直觀分析 由于均勻設計允許的因子水平數(shù)較多，水平間隔較小，研究因子的范圍寬，實驗點在整個實驗區(qū)域內(nèi)分布均勻，實驗結果具有較好

12、的代表性，因此，指標值最佳的實驗點所對應的實驗條件，即使不是全面實驗中最優(yōu)的條件，但相對來說，也是接近于全面實驗中的最優(yōu)條件的，因此，可以直接采用它作為相對較優(yōu)的實驗條件來使用。這個分析方法看起來粗糙，但在正交實驗中當有混雜時常采用此法，大量實驗證明這種方法是有效的。,18,８.3.2 回歸分析 (1) 回歸方程的建立,19,,,,,20,21,,,22,,,,23,,24,對需在回歸方程中引入多因子交互作用項與高次項時，可在

13、式（8-1)中再加入相應項，按照上述原理，求出非線性回歸方程。當然，其回歸分析過程就更復雜了。如前所述，應在安排實驗前，根據(jù)經(jīng)驗判斷，將那些對實驗指標影響不大的交互作用項和高次項，盡量不要安排在實驗中，以減少實驗和回歸分析工作量。 為了確定所建立的回歸方程是否有意義，需進行顯著性檢驗。前面已指出，的總偏差平方和可分解為回歸平方和與剩余平方和，且,（2）回歸方程的顯著性檢驗,25,,26,27,（3）標準回歸系數(shù),28,,

14、,,29,,如果回歸方程較復雜，可采用優(yōu)化算法或數(shù)論方法求 的極大值。方開泰和王元還提出了序貫算法SNTO，可以方便地求得 的極大值。在回歸方程不太復雜的情況下，用簡單的微積分亦可求出 的極大值，即對形如式（8―1）所示的回歸方程,30,,（8―16),解出式（8―16），即可得出其實驗的最優(yōu)條件。,求 對 偏導，且在 為極大值時，應有,31,,32,,,,33,,34,表8.3 實驗安排及實驗結果,35,36

15、,FT —— F檢驗值。其程序中如下： !EXAMPLE PROG 8.1 DIM X(1,1),Y(1),A(1,1),AX(1),B(0 TO 1),XX(1,1) DIM SX(1),D(1),C(0 TO 1, 0 TO 1),XXT(1,1),LY(1) DIM F(0 TO 1),P(0 TO 1),X1(1,1) INPUT PROMPT“N，M1=”：N，M1 MAT R

16、EDIM X1(N，M1)，Y（N） FOR I=1 TO M1 FOR J=1 TO N READ X1（J，I） NEXT J NEXT I,37,,FOR J=1 TO N READ Y(J)NEXT J！LET M =2*M1+M1*（M1-1）/（（M1-1）*（M1-2））MAT REDIM A(M+1,M+1)，AX(M)，B(0 TO M)，X(N,M

17、)， XX(N,M+1),LY(M)MAT REDIM XX(N,M+1），SX(M),D(M),C(0 TO M,0 TO M),XXT(M+1,N)！FOR J=1 TO N FOR I=1 TO M1 LET X(J,I）=X1(J,I） NEXT INEXT J,38,FOR J=1 TO N FOR I=M1+1 TO 2*M1 LET X(J,I）=X1(

18、J,I-M1)^2 NEXT I NEXT J FOR J=1 TO N LET X(J,7)=X1(J,1)*X1(J,2) LET X(J,8)=X1(J,1)*X1(J,3) LET X(J,9)=X1(J,2)*X1(J,3) NEXT J ！ FOR J=1 TO M LET SX(J)=0,39,,FOR I=1 T

19、O N LET SX(J)=SX(J)+X(I,J) NEXT I NEXT J ! LET SY,LYY=0 FOR I=1 TO N LET SY=SY+Y(I) NEXT I ! FOR I=1 TO M LET AX(I)=SX(I)/N NEXT I,40,,LET AY=SY/N FOR I=

20、1 TO N LET LYY=LYY+(Y(I)-AY)^2 NEXT I ! FOR I=1TO N LET XX(I,1)=1 FOR J=2 TO M+1 LET XX(I,J)=X(I,J-1) NEXT J NEXT I !,41,,MAT XXT=TRN(XX) MAT D=XXT*Y MAT A

21、=XXT*XX MAT C=INV(A) MAT B=C*D ! FOR I=1 TO M LET LY(I)=0 FOR K=1 TO N LET LY(I)=LY(I)+(X(K,I)-AX(I))*(Y(K)-AY) NEXT K LET U=U+B(I)*LY(I) NEXT I,42,,LET Q=LY

22、Y-ULET R=SQR(U/LYY)LET FT=(U/M1)/(Q/(N-M1-1))!OPEN#3:PRINTERPRINT#3:＂OUTPUT DATA:＂PRINT#3:＂R=＂;R, ＂FT=＂;FTPRINT#3:FOR I=0 TO M PRINT#3:＂B(＂;I;＂)=＂;B(I)NEXT IDATA 0.8,1.0,1.2,1.4,0.8,1.0,1.2,1.4,0.8,1.0,1.2,1

23、.4DATA 3,6,3,6,2,5,2,5,1,3,1,3,43,,DATA 6,4,8,5,3,7,4,8,6,3,7,5,DATA .523,.612,.705,.689,.413,.670DATA .576,.720,.307,.451,.375,.625ENDOUTPUT DATA: R= .959444 FT= 30.89 B(0)= .708663 B(1)=-.838678