1、設G是n階簡單連通圖，D和A分別為圖G的度對角矩陣和鄰接矩陣，L(G)=D-A稱為圖G的拉普拉斯(laplacian)矩陣。研究圖的拉普拉斯矩陣的特征值有著重要的圖論意義和實際意義，因為它與圖的許多不變量有著密切的聯(lián)系。在許多應用中，往往需要知道圖的拉普拉斯矩陣的最大特征值μ1(G)的上界和次小特征值μn-1(G)的上下界。本文針對μ1(G)的上界和μn-1(G)的上下界的估計問題做了以下幾個方面的工作： 1.綜述了近年來有關μ

2、1(G)的上界估計的主要結果，并作了全面的比較分析。 2.利用非負矩陣行和與它的譜半徑之間的關系以及Perron-Frobenius定理等方法并結合圖論性質獲得了圖的拉普拉斯譜半徑的一些上界，并附帶得到了關于有向圖的譜半徑估計的一些上下界。同時，對其中的一些估計式，用例子說明了其準確性和易于(編程)實現(xiàn)性。 3.利用矩陣理論和樹的一些性質，研究了Bethe樹的拉普拉斯譜半徑的估計問題，得到了其具體特征多項式和它的譜集。