1、雙曲幾何和Klein群在低維拓撲，動力系統(tǒng)，黎曼幾何等學科中有著重要的應用.Poincaré，F(xiàn)ricke和Klein對Klein群理論的發(fā)展始于十九世紀末.1960后，隨著擬共形理論的成熟，L.V.Ahlfors和L.Bers使得Klein群理論成為復分析中Teichmüller理論分支中一個活躍的領域.然后，在1980前后，W.P.Thurston革命性地發(fā)展了雙曲幾何和Klein群理論，使得雙曲流形和Klein群理論吸引了眾多拓撲

2、學家的注意.現(xiàn)在，Klein群已經(jīng)獲得了巨大的發(fā)展.例如，L.V.Ahlfors提出了有限生成Klein群的零測度猜想；G.D.Mostow建立了高維有限體積雙曲流形的剛性定理；D.P.Sullivan研究了Klein群作用在雙曲空間邊界上的動力行為；W.P.Thurston討論了三維流形的分類及曲面葉狀結構的分類. 在Poincaré等人發(fā)展Fuchs群和Klein群理論的同時，Picard也對復雙曲Klein群進行了研究.盡

3、管在Picard之后，又有G.Giraud和E.Cartan等人作了一些很重要的工作，但是復雙曲幾何的理論并沒有像實雙曲幾何理論那樣得到快速的發(fā)展.在S.Chen，L.Greenberg關于對稱空間和G.D.Mostow關于復雙曲空間的非算術格的構造的工作之后，復雙曲離散子群的興趣才被重新激發(fā)起來.許多著名數(shù)學家開始進行復雙曲幾何的研究，其中W.M.Goldman，R.Schwartz，J.R.Parker，E.Falbel等都在復Kl

4、ein群方面做了許多非常重要的工作. 本文的主要目的是討論復雙曲空間和實雙曲空間上等距離散子群的性質(zhì)和復雙曲空間及其邊界上四點對的?？臻g，其中三個點在復雙曲空間的邊界上而另一點在復雙曲空間空間中.我們主要得到了如下結果： 1.我們討論了一個生成元為正則橢圓的二元生成復雙曲群是離散群的必要條件，建立了相應的Jorgensen不等式，當正則橢圓元素固定Lagrangian平面且具有實跡時，我們用此正則橢圓元素的跡及不動點刻畫

5、了Jorgensen不等式. 2.利用Klein-Maskist組合定理和橢圓元素所固定的復線或點之間的距離，我們得到了兩個橢圓元素生成離散自由群的充分條件.類似的，我們也得到了兩個拋物元素生成離散自由群的充分條件. 3.我們討論了復雙曲等距群n維子群的離散準則，利用恒等元素位于PU(1，n)中分別由斜駛元素和正則橢圓元素所構成的兩個開集的邊緣的事實及PU(1，n)中的n-維子群在PU(1，n)中要么離散，要么稠密的性質(zhì)

6、.我們得到了三個關于PU(1，n)中n-維子群的離散準則. 4.上個世紀九十年代，J.W.Anderson提出了兩個具有相同軸集合的有限生成的n維Klein群是否共約的公開問題.我們構造了一個反例說明了此問題的回答一般是否定的，并給出了具有相同軸集合的n維Klein群共約的充分條件. 5.我們研究了一點位于復雙曲空間內(nèi)部，三點位于復雙曲空間邊界上四點對的?？臻g，其中這四點是不同的點.利用Cantan角不變量和復交比我們構