1、本篇論文由兩個(gè)主題組成：濾波器組設(shè)計(jì)和細(xì)分算法。 M進(jìn)制小波己被廣泛地用于語(yǔ)音編碼、圖像分析、圖像壓縮等領(lǐng)域。特別是在子帶編碼中，小波的對(duì)稱性以及高階消失矩特性起著非常重要的作用。小波的對(duì)稱性可以消除相位失真，減小重構(gòu)誤差。小波的高階消失矩特性可以有效的去除像素之間的相關(guān)性。多進(jìn)制小波的應(yīng)用是通過(guò)它所擁有的多帶濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其中余弦調(diào)制小波濾波器組是一類重要濾波器組，它的分析和綜合濾波器是由兩個(gè)低通原型濾波器經(jīng)過(guò)余弦調(diào)制得到

2、的，因此余弦調(diào)制濾波器組具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和設(shè)計(jì)可行等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)由于余弦調(diào)制濾波器組有很高的實(shí)現(xiàn)效率和很低的資源消耗，因此它得到了廣泛應(yīng)用。小波分析的另外一個(gè)用處就是應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，而曲面造型的多分辨率分析思想與小波的多分辨率思想不謀而合。因此小波分析在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。特別地細(xì)分曲面、曲線造型中的細(xì)分算法和小波中的細(xì)分方程中Cascade算法是一致的。近年來(lái)，細(xì)分方法在高質(zhì)量圖形生成方面成為重要的工具，是計(jì)算

3、機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)研究的熱點(diǎn)之一。細(xì)分方法的基本思想是從粗糙的初始多邊形網(wǎng)格出發(fā)，通過(guò)添加新的頂點(diǎn)，并與原頂點(diǎn)形成新的邊和面，這樣遞歸地平滑細(xì)分，直到最終獲得光滑曲面。細(xì)分方法具有三維網(wǎng)格的多分辨率分析有效的算法和簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)，它能控制任意拓?fù)渚W(wǎng)格，在保持曲面整體光滑性的同時(shí)保留了一些局部特征。細(xì)分方法已成為曲面的連續(xù)模型與離散表示之間的橋梁。 整篇文章按如下方式組織。 第一章介紹多抽樣率濾波器組基本理論和基本概念同

4、時(shí)也介紹多進(jìn)制小波分析基本理論，最后指出了小波分析中的細(xì)分方程和細(xì)分造型的聯(lián)系以及細(xì)分算法的一些特點(diǎn)。 第二章推導(dǎo)了最小延遲任意長(zhǎng)度M帶余弦調(diào)制小波濾波器組的完全重構(gòu)條件。選擇低通原型濾波器最大阻帶衰減為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，通常的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)選用最小平方逼近的方法，本文提出了使用最佳一致逼近的方法。最后用黃金分割和牛頓迭代方法解決非線性約束優(yōu)化極值問(wèn)題，得到滿足幾乎完全重構(gòu)和小波正則性條件的低通原型濾波器。(此章主要結(jié)果發(fā)表于《信號(hào)

5、處理》雜志) 第三章首先給出了一種M進(jìn)制雙正交對(duì)稱小波的設(shè)計(jì)方法。具體地講就是首先假定分析尺度濾波器，然后用頻率優(yōu)化的方法把線性相位重構(gòu)尺度濾波器的設(shè)計(jì)歸結(jié)為帶有線性約束的二次規(guī)劃問(wèn)題，最后由Lagrange乘子法求解。在得到了重構(gòu)尺度濾波器后，用同樣的方法可以計(jì)算分析小波濾波器。特別是在計(jì)算最后一個(gè)小波濾波器時(shí)，需要加進(jìn)變換矩陣可逆的線性約束條件。接著給出了一種M帶正交小波濾波器組的設(shè)計(jì)方法。對(duì)尺度濾波器，采用其對(duì)理想低通濾波

6、器的最小平方逼近作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，并把完全重構(gòu)條件作為約束條件，這樣求解尺度濾波器問(wèn)題最終歸結(jié)為求解非線性約束優(yōu)化極值問(wèn)題。非線性約束優(yōu)化極值問(wèn)題可采用牛頓迭代法求解。求得了尺度濾波器，然后通過(guò)多相位分解和Lattice方法求解小波濾波器。(此章部分內(nèi)容發(fā)表于《高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》英文版) 第四章給出了一種三進(jìn)制雙正交對(duì)稱插值小波的設(shè)計(jì)方法。在給定插值緊支撐對(duì)稱尺度函數(shù)的情況下，指出了如果與對(duì)偶尺度函數(shù)同為緊支撐插值和對(duì)稱的，則它

7、們同為1-型對(duì)稱。并且給出了對(duì)偶尺度函數(shù)為緊支撐插值和非插值情況下的通解公式。同時(shí)也提出了頻率優(yōu)化方法設(shè)計(jì)對(duì)偶尺度函數(shù)和小波函數(shù)，把雙正交條件歸結(jié)為線性約束的二次規(guī)劃問(wèn)題，最后通過(guò)線性方程組來(lái)求解，對(duì)于小波函數(shù)本文也給出了一組特解公式。(本章主要結(jié)果已被《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》錄用) 第五章給出三進(jìn)制細(xì)分算法的一般概念，并把二進(jìn)制細(xì)分算法的一些結(jié)果拓廣到三進(jìn)制情況。得到了三進(jìn)制細(xì)分算法的收斂性和光滑性分析，并且指出三進(jìn)制三點(diǎn)插制細(xì)分算法可達(dá)

8、到C1連續(xù)性(二進(jìn)制不存在三點(diǎn)插值細(xì)分算法)，三進(jìn)制四點(diǎn)插值細(xì)分算法可到達(dá)C2連續(xù)性(二進(jìn)制四點(diǎn)插值細(xì)分僅能達(dá)到C1連續(xù)性)。本章還討論了三進(jìn)制曲面細(xì)分算法，把三角形網(wǎng)格的二進(jìn)制Loop細(xì)分算法推廣到三進(jìn)制情況，得到了三進(jìn)制Loop細(xì)分算法，把四邊形網(wǎng)格的二進(jìn)制Catmull-Clark細(xì)分算法推廣到三進(jìn)制情形，得到了三進(jìn)制Catmull-Clark細(xì)分算法。 第六章首先給出了一種新的四邊形網(wǎng)格細(xì)分方法，每細(xì)分一次四邊形網(wǎng)格數(shù)目

9、增加為原來(lái)的兩倍，兩次細(xì)分結(jié)果相當(dāng)于一次二分細(xì)分和一個(gè)旋轉(zhuǎn)。細(xì)分算法采用三次B樣條張量積的形式，因此其生成曲面在規(guī)則點(diǎn)具有C2連續(xù)性，在非規(guī)則點(diǎn)具有C1連續(xù)性。而且由于這種細(xì)分方法對(duì)網(wǎng)格幾何操作簡(jiǎn)單，所得網(wǎng)格數(shù)據(jù)量增長(zhǎng)相對(duì)緩慢，適合3D圖象重構(gòu)及網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)葢?yīng)用領(lǐng)域。接著介紹了一種四邊形網(wǎng)格的削角細(xì)分方法，每細(xì)分一次四邊形網(wǎng)格數(shù)目增加為原來(lái)的兩倍，兩次細(xì)分結(jié)果相當(dāng)于一次二分對(duì)偶細(xì)分和一個(gè)旋轉(zhuǎn)。細(xì)分算法采用線性細(xì)分加平滑的形式，具體地講平滑

10、是采用兩次重復(fù)平均的方法，因此其生成曲面具有C1連續(xù)性。最后給出了一種四邊形網(wǎng)格插值細(xì)分方法。每次細(xì)分只增加新面點(diǎn)，然后由新面點(diǎn)和老點(diǎn)形成新的四邊形，這樣每細(xì)分一次四邊形網(wǎng)格數(shù)目增加為原來(lái)的兩倍，兩次細(xì)分結(jié)果相當(dāng)于一次二分插值細(xì)分和一個(gè)旋轉(zhuǎn)，因此稱其為插值√2細(xì)分。對(duì)規(guī)則面點(diǎn)細(xì)分算法采用四點(diǎn)插值細(xì)分張量積的形式，因此其生成曲面在規(guī)則點(diǎn)具有C1連續(xù)性。對(duì)非規(guī)則面點(diǎn)，細(xì)分算法采用蝶形平均的形式(若此面至少包含兩個(gè)非規(guī)則點(diǎn))或本文推導(dǎo)的特殊細(xì)