1、非良基集合論是在標(biāo)準(zhǔn)集合論ZFC中用非良基公理替換良基公理FA得到的公理化集合論系統(tǒng)。由于非良基公理具有擴(kuò)大集論全域的作用，非良基集合論突破了FA將集合論域限制到良基集合的局限，具有更豐富的全域，它既包含良基集合，又包含具有無(wú)窮∈降鏈性質(zhì)或循環(huán)性質(zhì)的非良基集合。因此，借助于非良基集合，非良基集合論揭示了現(xiàn)代科學(xué)中的眾多循環(huán)現(xiàn)象，展示了廣闊的應(yīng)用前景。而且，非良基集合論給出了一套完備的工具能夠?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界中各種各樣的循環(huán)問(wèn)題構(gòu)建集合理論上的

2、模型。
　　隨著數(shù)學(xué)研究成果的日益豐富，現(xiàn)代邏輯向更加抽象化的方向發(fā)展成為必然。范疇論是結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)理論，并且系統(tǒng)化和統(tǒng)一了許多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在代數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、理論計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在范疇論的意義下，借助于代數(shù)的和共代數(shù)的方法，良基公理FA和非良基公理AFA所刻畫(huà)的集合全域中的對(duì)象具有某種“泛性質(zhì)”，并且在結(jié)構(gòu)上能夠彼此互相關(guān)聯(lián)。實(shí)際上，范疇論是作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論的替代物。因此，對(duì)基于范疇的非良基理論的研

3、究具有重要的理論意義和實(shí)踐意義。
　　本文研究基于范疇的非良基理論及其應(yīng)用，將非良基集合論和范疇論聯(lián)系起來(lái)，探究非良基公理AFA和同一公理家族AFA～在范疇論意義下的特定性質(zhì)，并且討論了AFA的一些有趣的應(yīng)用。
　　概括說(shuō)來(lái)，本文的主要工作包括以下五個(gè)方面:
　　第一，從集合的精確圖出發(fā)，介紹非良基集合上的外延性，描述同一公理家族AFA、SAFA、FAFA確定的非良基集合全域。并且梳理非良基理論應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的研

4、究成果。
　　第二，以理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中典型的循環(huán)現(xiàn)象，諸如，流、無(wú)窮樹(shù)、標(biāo)號(hào)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)為例，闡明為什么要在ZFC中用非良基公理替換良基公理，以及使用非良基公理可以解決什么樣的問(wèn)題。
　　第三，借助于共代數(shù)方法，研究范疇論意義下的非良基公理。探討在一適當(dāng)?shù)姆懂犗拢?、圖和共代數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是，根據(jù)集合的圖，能夠定義一個(gè)非良基集合和一個(gè)共代數(shù)的一一對(duì)應(yīng)。繼而根據(jù)共代數(shù)的終結(jié)性，給出同一公理家族AFA～的范疇論意義下的描述

5、，即AFA～具有終結(jié)性。
　　第四，研究非良基公理的應(yīng)用，討論在適當(dāng)?shù)姆懂犗碌亩c(diǎn)理論?；趭W采爾(Peter Aczel)的工作，引入類(lèi)范疇上的集連續(xù)算子，進(jìn)而推廣至標(biāo)準(zhǔn)函子，描述標(biāo)準(zhǔn)函子的最小定點(diǎn)(初始代數(shù))和最大定點(diǎn)(終結(jié)共代數(shù))，最后詳細(xì)論證符合一定條件的函子的終結(jié)共代數(shù)存在的終結(jié)共代數(shù)定理。
　　第五，以AFA的應(yīng)用為理論基礎(chǔ)，探討程序語(yǔ)言語(yǔ)義的一種數(shù)學(xué)方法，即計(jì)算程序進(jìn)程的終結(jié)共代數(shù)語(yǔ)義。引入米勒(Robin M

6、ilner)構(gòu)造的通信系統(tǒng)CCS和SCCS的語(yǔ)法和語(yǔ)義，通過(guò)使用終結(jié)共代數(shù)定理給出SCCS進(jìn)程代數(shù)的終結(jié)語(yǔ)義。而且詳細(xì)闡述了CCS進(jìn)程的語(yǔ)義的終結(jié)域方法。
　　國(guó)外對(duì)非良基集合及其理論的研究起步較早，涉及領(lǐng)域廣泛，已經(jīng)取得了較為豐富的成果。目前，我國(guó)對(duì)非良基集合論及其應(yīng)用的研究尚處于初步階段。本文將國(guó)外關(guān)于非良基集合論研究所取得的最新成果梳理并介紹到國(guó)內(nèi)，并且利用范疇論的原理和技術(shù)手段重新研究了非良基公理，探討了非良基理論在進(jìn)程代