1、<p><b>　　聊城大學(xué)</b></p><p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目: 淺談對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 </p><p>　　專業(yè)代碼: 070101 </p><p>　　作者姓名: 李艷

2、杰 </p><p>　　2010 年 5 月 20 日</p><p><b>　　原創(chuàng)性聲明</b></p><p>　　本人鄭重聲明: 所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下, 獨(dú)立進(jìn)行研究取得的成果. 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外, 論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果, 也不包含為獲得聊城大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證

3、書(shū)而使用過(guò)的材料. 對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體, 均已在文中以明確方式標(biāo)明. 本人承擔(dān)本聲明的相應(yīng)責(zé)任. </p><p>　　學(xué)位論文作者簽名: 　　　 　日期　　 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師 簽 名: 　　　　　　 日期　　 </p><p><b>　　目 錄</b></p>

4、<p>　　第一章 引言…………………………………………………………………………1</p><p>　　第二章研究對(duì)稱性的意義………………………………………………1</p><p>　　第三章對(duì)稱性在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用……………………………………………2</p><p>　　3.1 對(duì)稱性在幾何中的應(yīng)用…………………………………………………………2

5、</p><p>　　3.2 對(duì)稱性在方程中的應(yīng)用………………………………………………………3</p><p>　　3.3 對(duì)稱性在三角中的應(yīng)用…………………………………………………………4</p><p>　　第四章對(duì)稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用………………………………………………6</p><p>　　4.1 對(duì)稱性在求導(dǎo)中的應(yīng)用………………

6、…………………………………………6</p><p>　　4.2 對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用……………………………………………………7</p><p>　　第五章結(jié)束語(yǔ)………………………………………………………………………16</p><p>　　參考文獻(xiàn) ……………………………………………………………………………17</p><p>　　致 謝

7、 ……………………………………………………………………………18</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　對(duì)稱性在數(shù)學(xué)解題中有廣泛應(yīng)用, 在解題過(guò)程中, 充分考慮到對(duì)稱性的因素可以起到事半功倍的效果. 在幾何、方程、微分、積分中, 許多問(wèn)題的求解都采用了對(duì)稱性原理, 對(duì)于一元函數(shù)而言對(duì)稱通常表現(xiàn)為奇、偶函數(shù), 其圖象關(guān)于原點(diǎn)、x、y 軸對(duì)稱等

8、. 在求解高等數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題時(shí), 利用對(duì)稱性往往能簡(jiǎn)化解題過(guò)程. 通過(guò)對(duì)初、高等數(shù)學(xué)的研究, 給出了利用對(duì)稱性求解初等數(shù)學(xué)中的幾何、方程等問(wèn)題以及高等數(shù)學(xué)中的微分、積分問(wèn)題的基本思路與方法. </p><p>　　關(guān)鍵詞 對(duì)稱性； 函數(shù)； 積分； 應(yīng)用</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Symmetry

9、 in solving mathematical problems are widely used in problem-solving process, fully taking into account the factors the symmetry of the multiplier effect. In geometry, differential and integral equations, in the solution

10、 of the problem, many are symmetry principle, for a unary function, symmetric are usually in the form of a strange, even function, its image on the origin, x, y axis symmetry, etc. In solving some of the problems of high

11、er mathematics, using symmetry tend to simplify the </p><p>　　Key words Symmetry; function; application; integration</p><p>　　淺談對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p><b>　　第一章 引 言</b></

12、p><p>　　作為人類認(rèn)知世界的結(jié)晶, 對(duì)稱性與人類的文明歷史一樣久遠(yuǎn), 它普適于人類生活的各個(gè)方面. 我們的先人首先從認(rèn)識(shí)自然界的形象對(duì)稱開(kāi)始, 如樹(shù)葉的左右對(duì)稱、月圓時(shí)的中軸對(duì)稱等, 并把這種對(duì)稱外化為人工自然當(dāng)中. 如此, 對(duì)稱性的觸角自古代開(kāi)始就向自然科學(xué)中延伸. 著名的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在其《幾何原本》中就研究幾何圖形的對(duì)稱性. 近代的數(shù)學(xué)還進(jìn)一步創(chuàng)立了關(guān)于對(duì)稱性的數(shù)學(xué)理論——群論. 對(duì)稱是數(shù)學(xué)美的一種

13、重要表現(xiàn)形式, 它不僅給我們以美感, 更重要的它是一種思想方法, 它既是思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn), 又是探索解題思路的精良武器, 在簡(jiǎn)化解題過(guò)程、進(jìn)行數(shù)學(xué)命題推廣等方面也具有獨(dú)特的作用, 用對(duì)稱性學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí), 可起到事半功倍的效果. 本文主要介紹了利用對(duì)稱性求解初等數(shù)學(xué)中的幾何、方程等問(wèn)題以及利用對(duì)稱性求解高等數(shù)學(xué)中的各種積分問(wèn)題的基本解題思路與方法, 重點(diǎn)研究了對(duì)稱性在重積分中的應(yīng)用. </p><p>　　第二

14、章 研究對(duì)稱性的意義</p><p>　　對(duì)稱, 在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中解釋為圖形或物體對(duì)某個(gè)點(diǎn)、直線或平面而言, 在大小、形狀和排列上具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.數(shù)學(xué)中的對(duì)稱主要有幾何對(duì)稱和代數(shù)對(duì)稱.幾何對(duì)稱是一種位置對(duì)稱, 從變換的角度而言, 平面圖形有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱和平移對(duì)稱三種對(duì)稱形式, 代數(shù)對(duì)稱通常有二元對(duì)稱和多元輪換對(duì)稱共扼、對(duì)偶、配對(duì)也可看作是一種廣義的對(duì)稱對(duì)偶是一種深層次的對(duì)稱, 其對(duì)稱性不表現(xiàn)在形狀上, 而表

15、現(xiàn)在某種關(guān)系上. </p><p>　　對(duì)稱的概念在數(shù)學(xué)中有廣泛而重要的應(yīng)用. 對(duì)于一元函數(shù)而言對(duì)稱通常表現(xiàn)為奇、偶函數(shù), 其圖象關(guān)于原點(diǎn)、、軸對(duì)稱等. 幾何中的對(duì)稱主要是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱. 軸對(duì)稱: 任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分； 中心對(duì)稱: 任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段過(guò)對(duì)稱中心, 且被中心平分, 幾何中的對(duì)稱性是極為普遍的, 并有相對(duì)的固定規(guī)律. 在求解高等數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題時(shí), 利用對(duì)稱性往往能簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

16、 如果能在分析問(wèn)題、處理問(wèn)題時(shí)有意識(shí)地利用事物的對(duì)稱性, 并使人們的思維過(guò)程與之相適應(yīng), 不但可以更好的把握事物的本質(zhì), 還可以使思維和推理過(guò)程更簡(jiǎn)潔, 更快地打開(kāi)思路, 并能快捷地解決問(wèn)題. </p><p>　　第三章 對(duì)稱性在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　對(duì)稱性在初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用, 在中學(xué)數(shù)學(xué)中常有對(duì)稱現(xiàn)象, 既有幾何中的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等空間對(duì)稱, 又有代數(shù)中的周期

17、節(jié)奏和旋律的時(shí)間對(duì)稱. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中, 挖掘出數(shù)學(xué)問(wèn)題中的關(guān)系結(jié)構(gòu)的和諧性與對(duì)稱性, 能簡(jiǎn)化運(yùn)算, 優(yōu)化思路. 下面談?wù)剬?duì)稱在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用. </p><p>　　3.1 對(duì)稱性在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　在幾何方面, 對(duì)稱性較為直觀, 通過(guò)畫(huà)出幾何圖形就能容易地發(fā)現(xiàn)具有對(duì)稱性的對(duì)象. 球、圓、雙曲線、拋物線等的對(duì)稱性是很直觀的, 利用它們的對(duì)稱性可以解決許多幾何問(wèn)題. &

18、lt;/p><p>　　例1 如圖, 一個(gè)圓柱被一個(gè)平面所截, 截面橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5, 短軸長(zhǎng)為4, 被截后的幾何體最短母線長(zhǎng)為2, 求這個(gè)幾何體的體積. </p><p>　　分析 該幾何體既不是圓柱，也不是圓臺(tái), 更不是圓錐, 我們直接計(jì)算其體積是不行的. 利用對(duì)稱原理, 在其上面補(bǔ)一個(gè)完全相同的幾何體, 成為一個(gè)完整的圓柱. </p><p>　　解 由條件, 圓

19、柱的底面直徑為截面橢圓的短軸長(zhǎng)4, 又長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5, . </p><p>　　所以. 補(bǔ)成圓柱的母線長(zhǎng)為7. </p><p><b>　　所求幾何體的體積為</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　在幾何方面對(duì)稱性較為直觀, 因此就更能理解與留意, 而在代數(shù)方面就不那

20、么直觀, 而是較為抽象, 相對(duì)也就更不關(guān)心代數(shù)式的對(duì)稱性, 其實(shí)對(duì)稱性在代數(shù)上的應(yīng)用也非常廣泛, 往往能夠化繁為簡(jiǎn), 化難為易. </p><p>　　3.2 對(duì)稱性在方程中的應(yīng)用</p><p>　　在解方程時(shí), 有時(shí)若按常規(guī)方法去解, 則顯得較為復(fù)雜, 這時(shí)可考慮添加因式, 用對(duì)稱思想去求解. </p><p>　　例2 已知是方程的兩根, 求的值. </

21、p><p>　　分析 因?yàn)椴皇顷P(guān)于的對(duì)稱式, 無(wú)法直接使用韋達(dá)定理, 但我們只需添加因式, 則</p><p><b>　　； </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　兩式都是關(guān)于的對(duì)稱式, 由此可得. </p><p>　　3.3 對(duì)稱性在三角中

22、的應(yīng)用</p><p>　　例3 已知, 求證. </p><p>　　分析 觀察題目的條件和結(jié)論, 可以看出他們之間結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性： 與對(duì)稱, 與對(duì)稱, 有這種對(duì)稱性的啟發(fā), 我們猜想, . 為此, 我們?cè)O(shè), 原式變?yōu)椋?</p><p>　　. （1）</p><p><b>　　有：化簡(jiǎn)

23、得： . </b></p><p>　　把（1）式中的與互換得： , 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例4 在銳角△ABC中, 求證： </p><p><b>　　.</b></p><p>　　分析 左、右兩邊均是關(guān)于的完全對(duì)稱

24、式, 只需比較和. </p><p><b>　　證 因?yàn)? </b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　且根據(jù)條件有. </b></p><p>　　若,

25、 則. 那么矛盾. 所以. 從而, </p><p><b>　　. </b></p><p>　　又因?yàn)? 所以. 從而, </p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　同理</b></p><p><b>　　,

26、</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　三式分別相加并除2, 即可得到要證的不等式. </p><p>　　以上介紹了對(duì)稱性在求解幾何、方程、三角中的應(yīng)用. 對(duì)稱是初等數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)現(xiàn)象, 學(xué)習(xí)過(guò)程中, 抓住對(duì)稱關(guān)系可優(yōu)化問(wèn)題結(jié)構(gòu), 通過(guò)自己的不斷摸索與實(shí)踐, 逐步掌握對(duì)稱的方法, 以便熟練運(yùn)用對(duì)稱去解決

27、各類問(wèn)題. </p><p>　　第四章 對(duì)稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　對(duì)稱性在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域有相當(dāng)重要的作用, 我們可以根據(jù)所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象本身的對(duì)稱性解決問(wèn)題, 就微積分部分, 許多問(wèn)題用“正規(guī)”的方法解決十分麻煩, 但根據(jù)函數(shù)奇偶性、積分區(qū)域、函數(shù)圖象的對(duì)稱性便可以簡(jiǎn)化運(yùn)算. </p><p>　　4.1 對(duì)稱性在求導(dǎo)中的應(yīng)用</p>

28、<p>　　定義1 若中任意兩個(gè)變?cè)獙?duì)換而函數(shù)不變, 則稱是對(duì)稱函數(shù). </p><p>　　定理1 若是偏導(dǎo)數(shù)存在的對(duì)稱函數(shù), 則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　定理1可以推廣到高階偏導(dǎo)數(shù)的情況.</p><p>　　定理2 若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在, 且, 則. </p&

29、gt;<p>　　定義2 如果函數(shù)在輪換：換, 換, 換下不變, 則稱為三元輪換對(duì)稱函數(shù). </p><p>　　定理3 若是一個(gè)三元輪換對(duì)稱函數(shù), 則它對(duì)任意變?cè)玫碾A偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果都可以經(jīng)輪換直接轉(zhuǎn)換為其他變?cè)膎階偏導(dǎo)數(shù). </p><p><b>　　例5 設(shè), 求. </b></p><p>　　解 由于函數(shù)對(duì)于具有對(duì)稱

30、性, 且</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　有些函數(shù)在對(duì)換變量后與原來(lái)函數(shù)差別很?。ㄈ鐑H差一個(gè)負(fù)號(hào)）, 我們稱之為“潛在對(duì)稱”性函數(shù). “潛在對(duì)稱”性函數(shù)的求導(dǎo), 對(duì)具備“潛在對(duì)稱”性的函數(shù), 視具體情況簡(jiǎn)化求導(dǎo). </p><p>

31、;<b>　　例6 設(shè), 求. </b></p><p>　　分析 因?yàn)? 所以不具有對(duì)稱性. 但考慮到僅差一個(gè)負(fù)號(hào), 于是當(dāng)存在時(shí), </p><p><b>　　. </b></p><p>　　可見(jiàn), 將中互換后添一負(fù)號(hào)可得到. 也可用類似方法得到二階導(dǎo)數(shù). </p><p>　　4.2 對(duì)

32、稱性在積分中的應(yīng)用</p><p>　　4.2.1 對(duì)稱性在定積分中的應(yīng)用</p><p>　　定理4 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 則</p><p>　　如果我們放寬條件, 只要求積分區(qū)間對(duì)稱, 則可將定理4推廣到： </p><p>　　定理5 設(shè)在上連續(xù)， 則</p><p>　　定理6 若存在, 則</p>

33、<p><b>　　定理7 設(shè), 則</b></p><p><b>　　例7 求積分. </b></p><p><b>　　解 . </b></p><p><b>　　因?yàn)? 從而, </b></p><p><b>　　. &

34、lt;/b></p><p><b>　　令, 則</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　例8 計(jì)算. </b></p><p><b>　　解 </b></p><p><b&g

35、t;　　. </b></p><p><b>　　例9 求. </b></p><p><b>　　解 令, 則 </b></p><p><b>　　原式</b></p><p><b>　　. </b></p><p&g

36、t;<b>　　例10 計(jì)算. </b></p><p>　　解 因積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 可用公式, 于是, 原式</p><p><b>　　. </b></p><p>　　4.2.2 對(duì)稱性在重積分中的應(yīng)用</p><p>　　關(guān)于對(duì)稱性在重積分中有如下定理： </p><

37、;p>　　定理8 設(shè)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), </p><p>　?。?）若D關(guān)于軸對(duì)稱, 對(duì)于任意, 則</p><p><b>　　其中. </b></p><p>　?。?）若D關(guān)于軸對(duì)稱, 對(duì)于任意, 則</p><p><b>　　其中. </b></p><p&g

38、t;<b>　　例11 計(jì)算. </b></p><p>　　解 是關(guān)于的偶函數(shù), 積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱, 由對(duì)稱性得到</p><p><b>　　. </b></p><p>　　例12 計(jì)算, 其中D為矩形. </p><p>　　解 容易看出積分中對(duì)稱, 有</p><

39、p><b>　　. </b></p><p><b>　　例13 計(jì)算. </b></p><p>　　解 積分中對(duì)稱, 由對(duì)稱性可知</p><p><b>　　. </b></p><p>　　例14 證明不等式. 其中是正方形域： . </p><

40、;p>　　證 因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于直線對(duì)稱, 所以, 從而有</p><p>　　因?yàn)? 所以. 從而</p><p><b>　　. </b></p><p>　　又的面積為1, 所以. </p><p>　　在進(jìn)行二重積分計(jì)算時(shí), 善于觀察被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn), 注意兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性,

41、恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)稱性方法解題, 可以避免繁瑣計(jì)算, 使二重積分問(wèn)題的解答大大簡(jiǎn)化. </p><p>　　定理9 設(shè)在有界閉區(qū)域Q上連續(xù), </p><p>　　（1）若Q關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱, 對(duì)于任意, 則</p><p><b>　　其中 . </b></p><p>　?。?）若Q關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱, 對(duì)于任意, 則</

42、p><p><b>　　其中 . </b></p><p>　?。?）若Q關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱, 對(duì)于任意, 則</p><p><b>　　其中 . </b></p><p>　　例15 計(jì)算三重積分, 其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體. </p><p>　　解 積分區(qū)域關(guān)于

43、面對(duì)稱, 被積函數(shù)是z的奇函數(shù), 所以</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　例16 計(jì)算. </b></p><p>　　其中是由球面所圍成的空間閉區(qū)域. </p><p>　　解 因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱, 故有, 所以</p><p>&

44、lt;b>　　.</b></p><p>　　因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱且函數(shù)是相應(yīng)于的奇函數(shù), 又也關(guān)于平面對(duì)稱且函數(shù)是相應(yīng)于的奇函數(shù), 于是有. </p><p><b>　　例17 算, 其中</b></p><p>　　解 因?yàn)殛P(guān)于坐標(biāo)面, 坐標(biāo)面對(duì)稱, 由定理9得</p><p>　　重積分的積分區(qū)

45、域比較復(fù)雜, 在運(yùn)用對(duì)稱性時(shí), 必須兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面. </p><p>　　4.2.3 對(duì)稱性在曲線積分中的應(yīng)用</p><p>　　曲線積分是定積分的推廣, 它與在對(duì)稱區(qū)間上的奇偶函數(shù)定積分有類似的性質(zhì). </p><p>　　定理10 設(shè)在光滑有界曲線弧上連續(xù), </p><p>　?。?）若關(guān)于軸對(duì)稱, 則</p&

46、gt;<p><b>　　其中. </b></p><p>　?。?）若關(guān)于軸對(duì)稱, 則</p><p><b>　　其中. </b></p><p>　　用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義容易證明. </p><p>　　例18 計(jì)算, 其中為折線段所圍成區(qū)域的整個(gè)邊界. </p>

47、<p>　　解 由于曲線關(guān)于軸對(duì)稱, 而是關(guān)于的奇函數(shù), 故</p><p><b>　　. </b></p><p>　　又關(guān)于軸對(duì)稱, 而是關(guān)于的奇函數(shù), 故</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　從而. </b></p&g

48、t;<p>　　在曲線積分中, 常用輪換對(duì)稱性化簡(jiǎn)曲線積分. 所謂輪換對(duì)稱性, 即積分曲線方程中的變量輪換位置, 方程不變. </p><p>　　例19 計(jì)算, 其中為. </p><p>　　解 由于積分曲線方程中的變量具有輪換對(duì)稱性, 即三個(gè)變量輪換位置, 方程不變, 而且對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與積分曲線的方向無(wú)關(guān), 故有</p><p>　　4.2.

49、4 對(duì)稱性在曲面積分中的應(yīng)用</p><p>　　下述結(jié)論以一種情形為例, 其它類型可以類推</p><p>　　（1）設(shè)分片光滑曲面關(guān)于平面對(duì)稱, 而是上的連續(xù)函數(shù), 則</p><p>　　(其中為在平面上側(cè)的部分).</p><p>　　例20 求, 其中為半球面位于閉區(qū)域內(nèi)的部分. </p><p>　　解 關(guān)

50、于坐標(biāo)面和對(duì)稱, 而是關(guān)于變量, 也是關(guān)于變量的奇函數(shù), 所以</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　從而,原式==</b></p><p>　?。?）設(shè)分片光滑的閉曲面關(guān)于平面對(duì)稱, 法方向取外側(cè), 而是上的連續(xù)函數(shù), 則</p><p>　　(其中為在平面上側(cè)的部

51、分).</p><p><b>　　例21 求, </b></p><p>　　其中為錐面為的朝下的單位法向量. </p><p><b>　　解 原式. </b></p><p>　　由于既關(guān)于平面對(duì)稱, 也關(guān)于平面對(duì)稱, 而為的偶函數(shù), 為的偶函數(shù), 所以</p><p>

52、;<b>　　. </b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　以上介紹了對(duì)稱性在微分、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分中的應(yīng)用, 在應(yīng)用對(duì)稱性求積分時(shí)應(yīng)該注意：必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面, 只有當(dāng)兩個(gè)方面的對(duì)稱性相匹配時(shí)才能利用； 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲面積分, 在利用對(duì)稱性時(shí), 尚需考慮積分路線的方向和曲面的

53、側(cè), 需慎重； 有些問(wèn)題用輪換對(duì)稱性也可得到簡(jiǎn)便的解答. </p><p><b>　　第五章 結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　對(duì)稱思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想, 利用對(duì)稱關(guān)系解題也是常用的一種解題技巧. 用對(duì)稱性解題, 不僅可以提高解題的速度, 增大正確率、更重要的是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣, 反映數(shù)學(xué)的內(nèi)在美, 提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì), 意義重大. 開(kāi)發(fā)問(wèn)題中的對(duì)稱關(guān)系,

54、 往往能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答. 本文初步討論對(duì)稱性及其在幾何、方程、三角、微積分中的應(yīng)用, 給出了各部分關(guān)于對(duì)稱性的定理, 并應(yīng)用定理解題. 由于對(duì)稱性普遍存在于數(shù)學(xué)各領(lǐng)域中且具有非常豐富的內(nèi)容, 因此, 對(duì)稱在數(shù)學(xué)研究中的重要作用, 還有待于進(jìn)一步的挖掘、開(kāi)發(fā)、推廣、利用, 從以上內(nèi)容可以看出, 在求解多元函數(shù)的積分問(wèn)題中, 對(duì)稱性的利用是極為有用的, 自覺(jué)地注意到問(wèn)題的對(duì)稱性并巧妙地用它去解答問(wèn)題, 對(duì)于學(xué)好多元函數(shù)的積分學(xué), 從而

55、更進(jìn)一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè)). 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 武漢： 華中師范大學(xué)出版社. 2000.</p><p>　　[2]高中數(shù)學(xué)（必修4）. 北京： 人民教育出版社. 2008.</p><p>　　[3]張開(kāi)瑜.

56、對(duì)稱美在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué). 1999, 6.</p><p>　　[4]藺守臣, 蔡恒錄. 對(duì)稱思想及解題. 天水師專學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版）. 2000(20).</p><p>　　[5]朱根林, 孟慶麟. 對(duì)稱性原則在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 宿州學(xué)院學(xué)報(bào). 2009, 4.</p><p>　　[6]郭環(huán). 對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用. 山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào). 20

57、01, 6.</p><p>　　[7]孔令華. 對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào). 2002(6).</p><p>　　[8]胡曉明. 對(duì)稱性在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 中國(guó)校外教育. 2009, 8.</p><p>　　[9]于頻. 對(duì)稱性在微積分應(yīng)用中的教學(xué)歸納. 重慶工學(xué)院學(xué)報(bào). 2003, 10.</p><p>　　[10]

58、王偉平. 對(duì)稱在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 濟(jì)南交通高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào). 2001, 3.</p><p>　　[11]張振強(qiáng). 對(duì)稱性在二重積分計(jì)算中的應(yīng)用. 南寧師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào). 2002. </p><p>　　[12]梁應(yīng)仙, 辛蘭芬. 對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用. 沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào). 2003, 12.</p><p>　　[13]文武. 對(duì)稱性在重積分中的

59、應(yīng)用. 川東學(xué)刊（自然科學(xué)版）. 1997, 4.</p><p>　　[14]劉維龍, 邵益新. 曲線積分計(jì)算中奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用. 無(wú)錫教育學(xué)院學(xué)報(bào). 1998.</p><p>　　[15]于信, 李秀珍. 對(duì)稱性在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用. 山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào). 2004, 12.</p><p><b>　　致 謝</b><

60、;/p><p>　　首先我非常感謝劉利英老師在我的論文創(chuàng)作期間, 對(duì)我的耐心指導(dǎo)并幫我及時(shí)糾正了論文的一些不足之處, 給我提出了寶貴的意見(jiàn), 使我在寫(xiě)本文的過(guò)程中不斷的改進(jìn), 為論文的成功完成奠定了基礎(chǔ). 對(duì)于本論題的完成, 老師花費(fèi)了不少心血, 她豐富的授課內(nèi)容拓寬了我的視野, 嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣, 她循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無(wú)盡的啟迪, 讓我順利的完成這篇文章. 此外,