1、<p>　　小波變換及其在圖像處理中的應(yīng)用研究</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1緒論1</b></p><p>

2、<b>　　1.1概述1</b></p><p>　　1.2小波分析與多辨分析的歷史1</p><p>　　1.3本課題研究的意義和目的3</p><p>　　2 小波分析的基本理論4</p><p>　　2.1 從傅立葉變換到小波變換4</p><p>　　2.1.1 傅里葉變換4&

3、lt;/p><p>　　2.1.2 短時傅里葉變換5</p><p>　　2.1.3 小波變換5</p><p>　　2.2 連續(xù)小波變換5</p><p>　　2.2.1一維連續(xù)小波變換5</p><p>　　2.2.2 高維連續(xù)小波變換7</p><p>　　2.3 離散小波變換7&

4、lt;/p><p>　　2.4 小波包分析8</p><p>　　2.4.1 小波包的定義9</p><p>　　2.4.2 小波包的性質(zhì)10</p><p>　　2.4.3 小波包的空間分解10</p><p>　　2.4.4 小波包算法11</p><p>　　3 幾種常用的小波12

5、</p><p>　　4 小波變換在圖像處理中的應(yīng)用14</p><p>　　4.1 小波分析用于圖像壓縮14</p><p>　　4.1.1 基于小波變換的圖像局部壓縮14</p><p>　　4.1.2 小波變換用于圖像壓縮的一般方法15</p><p>　　4.1.2.1 利用二維小波分析進行圖像壓縮1

6、5</p><p>　　4.1.2.2 二維信號壓縮中的閾值的確定與作用命令16</p><p>　　4.1.3 基于小波包變換的圖像壓縮17</p><p>　　4.2 小波分析用于圖像去噪19</p><p>　　4.3 小波分析用于圖像增強20</p><p>　　4.3.1 圖像增強問題描述20<

7、;/p><p>　　4.3.2 圖像鈍化21</p><p>　　4.3.3 圖像銳化22</p><p>　　4.4 小波分析用于圖像融合23</p><p>　　4.5 小波分析用于圖像分解23</p><p><b>　　5 全文總結(jié)25</b></p><p>

8、;<b>　　致 謝26</b></p><p><b>　　參考文獻27</b></p><p><b>　　附錄28</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去

9、噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強等。小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。除了連續(xù)小波(CWT)、離散小波(DWT)，還有小波包(Wavelet Packet)和多維小波。二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點。基于小波分析的圖像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹壓縮、小波變換矢量量化壓縮等。小波變換用的不是時間-頻率域，而是時間-尺度域。因此，尋找具有唯一對偶小波的合適

10、小波也就成為小波分析中最基本的問題。小波分析之所以在信號處理中有著強大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時候更為靈活。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 小波分析 圖像壓縮 圖像去噪 圖像增強</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Wavelet analyz

11、e is very important in digital image processing, including the image compression, the image goes chirp , image fusion, image dissection, image enhancement etc.. Wavelet analyze is development and the analytic continuatio

12、n of the Fourier . Besides Continuously Wavelet (CWT ) , dispersed wavelet (DWT ) , Wavelet Packet and wavelet of multidimension. Two-dimentional wavelet analyze , used in image compression is a important aspect of wavel

13、et analysis application. Wavelet analyze is ve</p><p>　　Keywords： Wavelet analyze Image compression Image fusion Image enhancement　Two-dimentional Wavelet</p><p><b>　　1緒論</b></

14、p><p><b>　　1.1概述</b></p><p>　　小波分析是近15年來發(fā)展起來的一種新的時頻分析方法。其典型應(yīng)用包括齒輪變速控制，起重機的非正常噪聲，自動目標所頂，物理中的間斷現(xiàn)象等。而頻域分析的著眼點在于區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及定量分析其能量，典型應(yīng)用包括細胞膜的識別，金屬表面的探傷，金融學中快變量的檢測，INTERNET的流量控制等。</p>

15、;<p>　　從以上的信號分析的典型應(yīng)用可以看出，時頻分析應(yīng)用非常廣泛，涵蓋了物理學，工程技術(shù)，生物科學，經(jīng)濟學等眾多領(lǐng)域，而且在很多情況下單單分析其時域或頻域的性質(zhì)是不夠的，比如在電力監(jiān)測系統(tǒng)中，即要監(jiān)控穩(wěn)定信號的成分，又要準確定位故障信號。這就需要引入新的時頻分析方法，小波分析正是由于這類需求發(fā)展起來的。</p><p>　　在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何時頻的信息，這

16、對于某些應(yīng)用來說是很恰當?shù)?，因為信號的頻率的信息對其是非常重要的。但其丟棄的時域信息可能對某些應(yīng)用同樣非常重要，所以人們對傅立葉分析進行了推廣，提出了很多能表征時域和頻域信息的信號分析方法，如短時傅立葉變換，Gabor變換，時頻分析，小波變換等。其中短時傅立葉變換是在傅立葉分析基礎(chǔ)上引入時域信息的最初嘗試，其基本假定在于在一定的時間窗內(nèi)信號是平穩(wěn)的，那么通過分割時間窗，在每個時間窗內(nèi)把信號展開到頻域就可以獲得局部的頻域信息，但是它的時域

17、區(qū)分度只能依賴于大小不變的時間窗，對某些瞬態(tài)信號來說還是粒度太大。換言之，短時傅立葉分析只能在一個分辨率上進行。所以對很多應(yīng)用來說不夠精確，存在很大的缺陷。</p><p>　　而小波分析則克服了短時傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分(信號較平穩(wěn))可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率

18、的分辨率，在高頻情況下(頻率變化不大)可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。因為這些特定，小波分析可以探測正常信號中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱為數(shù)學顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個時頻分析領(lǐng)域。 </p><p>　　全文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包括緊支集長度、濾波器長度、對稱性、消失矩等，都做了簡要的說明。在不同的應(yīng)用場合，各個小波函數(shù)各有利弊。</p&g

19、t;<p>　　小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強等。文中給出了詳細的程序范例，用MATLAB實現(xiàn)了基于小波變換的圖像處理。</p><p>　　1.2小波分析與多辨分析的歷史</p><p>　　小波理論包括連續(xù)小波和二進小波變換，在映射到計算域的時候存在很多問題 ，因為兩者都存在信息冗余，在對信號采樣以后，需要計算的

20、信息量還是相當?shù)拇?，尤其是連續(xù)小波變換，因為要對精度內(nèi)所有的尺度和位移都做計算，所以計算量相當?shù)拇?。而二進小波變換雖然在離散的尺度上進行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個分量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。</p><p>　　真正使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是Meyer在1986年提出的一組小波，其二進制伸縮和平移構(gòu)成的標準化正交基。在此結(jié)果基礎(chǔ)上，1988年S.Mallat在構(gòu)造正交小波時

21、提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了正交小波的數(shù)學解釋，在空間的概念上形象的說明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法，并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，并類似傅立葉分析中的快速傅立葉算法，給出了小波變換的快速算法——Mallat算法。這樣，在計算上變得可行以后，小波變換在各個領(lǐng)域才發(fā)揮它獨特的優(yōu)勢，解決了各類問題，為人們提供了更多的關(guān)于時域分析的信息。</p><p>　　形象一點

22、說，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近。在每個空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成該空間的標準化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成的標準化正交基，那么，如果對信號在這類空間上進行分解，就可以得到相互正交的時頻特性。而且由于空間數(shù)目是無限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心的信號的某些特性。</p><p>　　下面我們簡要介紹一下多分辨分析的數(shù)學理論。</p

23、><p>　　定義：空間中的多分辨分析是指滿足如下性質(zhì)的一個空間序列：</p><p>　　(1)調(diào)一致性：，對任意</p><p>　　(2)漸進完全性：，</p><p><b>　　(3)伸縮完全性：</b></p><p><b>　　(4)平移不變性：</b></

24、p><p>　　(5)Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Risez基。關(guān)于Riesz的具體說明如下：</p><p>　　若是的Risez基，則存在常數(shù)A，B，且，使得：</p><p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　對所有雙無限可平方和序列，即</p><p><b&g

25、t;　　(1.2)</b></p><p><b>　　成立。</b></p><p>　　滿足上述個條件的函數(shù)空間集合成為一個多分辨分析，如果生成一個多分辨分析，那么稱為一個尺度函數(shù)。</p><p>　　可以用數(shù)學方法證明，若是的Riesz基，那么存在一種方法可以把轉(zhuǎn)化為的標準化正交基。這樣，我們只要能找到構(gòu)成多分辨分析的尺度函

26、數(shù)，就可以構(gòu)造出一組正交小波。</p><p>　　多分辨分析構(gòu)造了一組函數(shù)空間，這組空間是相互嵌套的，即</p><p>　　那么相鄰的兩個函數(shù)空間的差就定義了一個由小波函數(shù)構(gòu)成的空間，即</p><p>　　并且在數(shù)學上可以證明且，，為了說明這些性質(zhì)，我們首先來介紹一下雙尺度差分方程，由于對，所以對，都有，也就是說可以展開成上的標準化正交基，由于，那么就可以展開

27、成</p><p><b>　　(1.3)</b></p><p>　　這就是著名的雙尺度差分方程，雙尺度差分方程奠定了正交小波變換的理論基礎(chǔ)，從數(shù)學上可證明，對于任何尺度的，它在j+1尺度正交基上的展開系數(shù)是一定的，這就為我們提供了一個很好的構(gòu)造多分辨分析的方法。</p><p>　　在頻域中，雙尺度差分方程的表現(xiàn)形式為：</p>

28、<p><b>　　(1.4)</b></p><p>　　如果在=0連續(xù)的話，則有</p><p><b>　　(1.5)</b></p><p>　　說明的性質(zhì)完全由決定。</p><p>　　1.3本課題研究的意義和目的</p><p>　　小波分析克服了

29、短時傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分(信號較平穩(wěn))可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率的分辨率，在高頻情況下(頻率變化不大)可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。因為這些特定，小波分析可以探測正常信號中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱為數(shù)學顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個時頻分析領(lǐng)域。</p>&

30、lt;p>　　小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起的?，F(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中的一個重要領(lǐng)域，圖像和信號處理又是電子信息技術(shù)領(lǐng)域的重要方面?，F(xiàn)今，信號處理已經(jīng)成為當代科學技術(shù)工作的重要組成部分?，F(xiàn)在，對性質(zhì)隨時間穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但在實際應(yīng)用中，絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，小波分析正是適用于非穩(wěn)定信號的處理工具。圖像處理是針對性很強的技術(shù)

31、，根據(jù)不同應(yīng)用、不同要求需要采用不同的處理方法。采用的方法是綜合各學科較先進的成果而成的，如數(shù)學、物理學、心理學、信號分析學、計算機學、和系統(tǒng)工程等。計算機圖像處理主要采用兩大類方法：一類是空域中的處理，即在圖像空間中對圖像進行各種處理；另一類是把空間與圖像經(jīng)過變換，如傅立葉變換，變到頻率域，在頻率域中進行各種處理，然后在變回到圖像的空間域，形成處理后的圖像。圖像處理是“信息處理”的一個方面，這一觀點現(xiàn)在已經(jīng)為人所熟知。它可以進一步細分

32、為多個研究方向：圖片處理、圖像處理、模式識別、景物分析、圖像理解、光學處理等等。小波分析用在圖像處理方面，主要是用來進行圖像壓縮、圖像去噪、</p><p>　　2 小波分析的基本理論</p><p>　　2.1 從傅立葉變換到小波變換</p><p>　　小波分析屬于時頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)上的，由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，

33、要么完全在時域，要么完全在頻域，因此無法表述信號的時頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對傅立葉分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了一系列新的信號分析理論：短時傅立葉變換、Gabor變換、時頻分析、小波變換、分數(shù)階傅立葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論和調(diào)幅-調(diào)頻信號分析等。其中，短時傅立葉變換和小波變換也是應(yīng)傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號處理的要求而產(chǎn)生的。短時傅立葉變

34、換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)g(t)的一個短時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)(偽平穩(wěn))的，并移動分析窗函數(shù)，使在不同的有限時間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時傅立葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法，因為它使用一個固定的短時窗函數(shù)。因而短時傅立葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。</p><p>　　小波變換是一種信號的時間—尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特點，而

35、且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不邊但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽為分析信號的顯微鏡，利用連續(xù)小波變換進行動態(tài)系統(tǒng)故障檢測與診斷具有良好的效果。</p><p>　　2.1.1 傅里葉變換</p>

36、<p>　　在信號處理中重要方法之一是傅立葉變換，它架起了時間域和頻率域之間的橋梁。</p><p>　　對很多信號來說，傅立葉分析非常有用。因為它能給出信號里包含的各種頻率成分。但是,傅立葉變換有著嚴重的缺點：變換之后使信號失去了時間信息，它不能告訴人們在某段時間里發(fā)生了什么變化。而很多信號都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)(或者瞬變)特性，如漂移、趨勢項、突然變化以及信號的開始或結(jié)束。這些特性是信號的最重

37、要部分。因此傅里葉變換不適于分析處理這類信號。</p><p>　　雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但卻不能把二者有機地結(jié)合起來。這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息。而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時候產(chǎn)生

38、的。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。</p><p>　　在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。如柴油機缸蓋表面的震動信號就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號，僅從時域或頻域上來分析是不夠的。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r域和頻域結(jié)合起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號的時頻譜。這就是所謂的時頻分析法，也稱為時頻局部化方法

39、。</p><p>　　2.1.2 短時傅里葉變換</p><p>　　由于標準傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在這種能力，Dennis Gabor于1946年引入了短時傅立葉變換。短時傅立葉變換的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。其表達式為</p><p><b>

40、　　(2.1)</b></p><p>　　其中*表示復(fù)共軛， f(t)是進入分析的信號。在這個變換中，起著頻限的作用，g(t)起著時限的作用。隨著時間的變化，g(t)所確定的“時間窗”在t軸上移動，是f(t)“逐漸”進行分析。因此，g(t)往往被稱之為窗口函數(shù)， 大致反映了f(t)在時刻時、頻率為的“信號成分”的相對含量。這樣信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在、這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口

41、，和分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然，希望和都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但和是互相制約的，兩者不可能同時都任意小(事實上，，且僅當為高斯函數(shù)時，等號成立) 。 </p><p>　　由此可見，短時傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標準傅立葉不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，，只能改變窗

42、口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。可以說短時傅立葉變換實質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。因此，短時傅立葉變換用來分析平穩(wěn)信號猶可，但對非平穩(wěn)信號，在信號波形變化劇烈的時刻，主頻是高頻，要求有較高的時間分辨率(即要小)，而波形變化比較平緩的時刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率(即要小)。而短時傅立葉變換不能兼顧兩者。</p><p>　　2.1.3 小波變換&

43、lt;/p><p>　　小波變換提出了變化的時間窗，當需要精確的低頻信息時，采用長的時間窗，當需要精確的高頻信息時，采用短的時間窗。小波變換用的不是時間-頻率域，而是時間-尺度域。尺度越大，采用越大的時間窗，尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻率成反比。</p><p>　　2.2 連續(xù)小波變換</p><p>　　2.2.1一維連續(xù)小波變換</p>&

44、lt;p>　　定義：設(shè)，其傅立葉變換為，當滿足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件)</p><p>　　< (2.2)</p><p>　　時，我們稱為一個基本小波或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得</p><p><b>　　(2.3)</b></p>&l

45、t;p>　　稱其為一個小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　其重構(gòu)公式(逆變換)為</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　由于基小波生成的小波在小波變換中對被分

46、析的信號起著觀測窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件</p><p>　　〈 (2.6)</p><p>　　故是一個連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式，在原點必須等于0，即</p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　為了使信號重

47、構(gòu)的實現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，處理完全重構(gòu)條件外，還要求小波的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件：</p><p><b>　　(2.8)</b></p><p><b>　　式中0〈AB〈</b></p><p>　　從穩(wěn)定性條件(2.8)可以引出一個重要的概念。</p><p>　　定義(對偶小波)

48、若小波滿足穩(wěn)定性條件(2.8)式，則定義一個對偶小波，其傅立葉變換由下式給出：</p><p><b>　　(2.9)</b></p><p>　　注意，穩(wěn)定性條件(2.8)式實際上是對(2.9)式分母的約束條件，它的作用是保證對偶小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。值得指出的是，一個小波的對偶小波一般不是唯一的，然而，在實際應(yīng)用中，我們又總是希望它們是唯一對應(yīng)的。因此，尋

49、找具有唯一對偶小波的合適小波也就成為小波分析中最基本的問題。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：</p><p>　　(1)線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。</p><p>　　(2)平移不變性：若f(t)的小波變換為，則的小波變換為。</p><p>　　(3)伸縮共變性：若f(t)的小波變換為，則f(ct)的小波變換為。</p>

50、<p>　　(4)自相似性：對應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的。</p><p>　　(5)冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。</p><p>　　小波變換的冗余性事實上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：</p><p>　　(1)由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號f(t)

51、的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應(yīng)的。</p><p>　　(2)小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。</p><p>　　小波變換在不同的(a，b)之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一

52、。</p><p>　　2.2.2 高維連續(xù)小波變換</p><p><b>　　對，公式</b></p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　存在幾種擴展的可能性，一種可能性是選擇小波使其為球?qū)ΨQ，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ，</p><p><

53、;b>　　(2.11)</b></p><p>　　并且其相容性條件變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(2.12)</b></p><p><b>　　對所有的。</b></p><p><b>　　(2.13)</b></p><p>

54、;　　這里，=〈〉，，其中且，公式(2.6)也可以寫為</p><p><b>　　(2.14)</b></p><p>　　如果選擇的小波不是球?qū)ΨQ的，但可以用旋轉(zhuǎn)進行同樣的擴展與平移。例如，在二維時，可定義</p><p><b>　　(2.15)</b></p><p>　　這里，，，相容條件

55、變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(2.16)</b></p><p>　　該等式對應(yīng)的重構(gòu)公式為</p><p><b>　　(2.17)</b></p><p>　　對于高于二維的情況，可以給出類似的結(jié)論。</p><p>　　2.3 離散小波變換</p>

56、<p>　　在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量t的。這一點與我們以前習慣的時間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)：</p><p>　　這里，，且，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?lt;/p><

57、;p><b>　　(2.18)</b></p><p>　　通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散公式分別取作，這里，擴展步長是固定值，為方便起見，總是假定(由于m可取正也可取負，所以這個假定無關(guān)緊要)。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作</p><p><b>　　(2.19)</b></p><p>　　

58、而離散化小波變換系數(shù)則可表示為</p><p><b>　　(2.20)</b></p><p><b>　　其重構(gòu)公式為</b></p><p><b>　　(2.21)</b></p><p>　　C是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。然而，怎樣選擇和，才能夠保證重構(gòu)信號的精度呢？顯然

59、，網(wǎng)格點應(yīng)盡可能密(即和盡可能小)，因為如果網(wǎng)格點越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。</p><p>　　實際計算中不可能對全部尺度因子值和位移參數(shù)值計算CWTa,b值，加之實際的觀測信號都是離散的，所以信號處理中都是用離散小波變換(DWT)。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按2的冪次進行離散。最有效的計算方法是s．Mallat于1988年發(fā)展的快小波算法(又稱塔式算法)。

60、對任一信號，離散小波變換第一步運算是將信號分為低頻部分（稱為近似部分）和離散部分(稱為細節(jié)部分)。近似部分代表了信號的主要特征。第二步對低頻部分再進行相似運算。不過這時尺度因子已經(jīng)改變。依次進行到所需要的尺度。除了連續(xù)小波(CWT)、離散小波(DWT)，還有小波包(Wavelet Packet)和多維小波。</p><p><b>　　2.4 小波包分析</b></p><

61、;p>　　短時傅立葉變換對信號的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨分析可以對信號進行有效的時頻分解，但由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進行指數(shù)等間隔劃分(具有等Q結(jié)構(gòu))。小波包分析能夠為信號提供一種更精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分辨率分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了

62、時-頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應(yīng)用價值。關(guān)于小波包分析的理解，這里以一個三層的分解進行說明，其小波包分解樹如圖2.1。</p><p>　　圖2.1 小波包分解樹</p><p>　　圖2.1中，A表示低頻，D表示高頻，末尾的序號數(shù)表示小波分解的層樹(也即尺度數(shù))。分解具有關(guān)系：</p><p>　　S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD

63、3+ADD3+DDD3。</p><p>　　2.4.1 小波包的定義</p><p>　　在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilbert空間分解為所有子空間的正交和的。其中， 為小波函數(shù)的閉包(小波子空間)?，F(xiàn)在，對小波子空間按照二進制分式進行頻率的細分，以達到提高頻率分辨率的目的。</p><p>　　一種自然的做法是將尺度空間和小波子

64、空間用一個新的子空間統(tǒng)一起來表征，若令</p><p>　　則Hilbert空間的正交分解即可用的分解統(tǒng)一為</p><p><b>　　(2.22)</b></p><p>　　定義子空間是函數(shù)是函數(shù)的閉包空間，而是函數(shù)的閉包空間，并令滿足下面的雙尺度方程：</p><p><b>　　(2.23)</

65、b></p><p>　　式中，，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當n=0時，以上兩式直接給出</p><p><b>　　(2.24)</b></p><p>　　與在多分辨分析中，滿足雙尺度方程：</p><p><b>　　(2.25)</b></p><p>　　相比較

66、，和分別退化為尺度函數(shù)和小波基函數(shù)。式(2.24)是式(2.22)的等價表示。把這種等價表示推廣到(非負整數(shù))的情況，即得到(2.23)的等價表示為</p><p>　?。?(2.26)</p><p>　　定義(小波包) 由式(2.23)構(gòu)造的序列(其中)稱為由基函數(shù)=確定的正交小波包。當n=0時，即為(2.24)式的情況。</p><p

67、>　　由于由唯一確定，所以又稱為關(guān)于序列的正交小波包。</p><p>　　2.4.2 小波包的性質(zhì)</p><p>　　定理1 設(shè)非負整數(shù)n的二進制表示為 ,=0或1。則小波包的傅立葉變換由下式給出：</p><p><b>　　(2.27)</b></p><p><b>　　式中</b>

68、</p><p>　　定理2 設(shè)是正交尺度函數(shù)的正交小波包，則，即構(gòu)成的規(guī)范正交基。</p><p>　　2.4.3 小波包的空間分解</p><p>　　令是關(guān)于的小波包族，考慮用下列方式生成子空間族?，F(xiàn)在令n=1，2，…；j=1，2，…，并對(2.22)式作迭代分解，則有</p><p>　　因此，我們很容易得到小波子空間的各種分解如下

69、：</p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　…</b></p><p>　　空間分解的子空間序列可寫作，m=0，1，…，-1

70、；l=1，2，…。子空間序列的標準正交基為。容易看出，當l=0和m=0時，子空間序列簡化為=，相應(yīng)的正交基簡化為，它恰好是標準正交小波族。</p><p>　　若n是一個倍頻程細劃的參數(shù)，即令n=+m，則我們有小波包的簡略記號，其中，。我們把稱為既有尺度指標j、位置指標k和頻率指標n的小波包。將它與前面的小波作一比較知，小波只有離散尺度j和離散平移k兩個參數(shù)，而小波包除了這兩個離散參數(shù)外，還增加了一個頻率參數(shù)n=

71、+m。正是這個頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時間分辨率高時頻率分辨率低的缺陷，于是，參數(shù)n表示函數(shù)的零交叉數(shù)目，也就是其波形的震蕩次數(shù)。</p><p>　　定義(小波庫) 由生成的函數(shù)族(其中；j，)稱為由尺度函數(shù)構(gòu)造的小波庫。</p><p>　　推論1.1 對于每個j=0，1，2，…</p><p>　　=…… (2.2

72、8)</p><p><b>　　這時，族</b></p><p>　　{|j=…，-1，0；n=2，3，…且} (2.29)</p><p><b>　　是的一個正交基。</b></p><p>　　隨著尺度j的增大，相應(yīng)正交小波基函數(shù)的空間分辨率越高，而其頻率分辨率越低，這正

73、是正交小波基的一大缺陷。而小波包卻具有將隨j增大而變寬的頻譜窗口進一步分割變細的優(yōu)良性質(zhì)，從而克服了正交小波變換的不足。</p><p>　　小波包可以對進一步分解，從而提高頻率分辨率，是一種比多分辨分析更加精細的分解方法，具有更好的時頻特性。</p><p>　　2.4.4 小波包算法</p><p>　　下面給出小波包的分解算法和重構(gòu)算法。設(shè)，則可表示為<

74、/p><p><b>　　(2.30)</b></p><p>　　小波包分解算法：由求與</p><p><b>　　(2.31)</b></p><p>　　小波包重構(gòu)算法：由{}與求</p><p><b>　　3 幾種常用的小波</b></p&

75、gt;<p>　　同傅立葉分析不同，小波分析的基（小波函數(shù)）不是唯一存在的，所有滿足小波條件的函數(shù)都可以作為小波函數(shù)，那么小波函數(shù)的選取就成了十分重要的問題。</p><p><b>　　1)Haar小波</b></p><p>　　A.Haar于1990年提出一種正交函數(shù)系,定義如下：</p><p><b>　　(3

76、.1)</b></p><p>　　這是一種最簡單的正交小波，即</p><p>　　… (3.2)</p><p>　　2)Daubechies(dbN)小波系</p><p>　　該小波是Daubechies從兩尺度方程系數(shù)出發(fā)設(shè)計出來的離散正交小波。一般簡寫為dbN，N是小波的階數(shù)。小波和尺

77、度函數(shù)吁中的支撐區(qū)為2N-1。的消失矩為N。除N＝1外(Haar小波)，dbN不具對稱性〔即非線性相位〕；dbN沒有顯式表達式(除N＝1外)。但的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達式。假設(shè)，其中，為二項式的系數(shù)，則有</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p><b>　　其中 </b></p><p>　

78、　3)Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系</p><p>　　Biorthogonal函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行重構(gòu)。Biorthogonal函數(shù)系通常表示為biorNr.Nd的形式：</p><p>　　Nr=1 Nd=1，3，5</p><p&

79、gt;　　Nr=2 Nd=2，4，6，8</p><p>　　Nr=3 Nd=1，3，5，7，9</p><p>　　Nr=4 Nd=4</p><p>　　Nr=5 Nd=5</p><p>　　Nr=6 Nd=8</p><p>　　其中，r表示重構(gòu)，d表示分解。</p>

80、<p>　　4)Coiflet(coifN)小波系</p><p>　　coiflet函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有coifN(N=1，2，3，4，5)這一系列，coiflet具有比dbN更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩數(shù)目。</p><

81、;p>　　5)SymletsA(symN)小波系</p><p>　　Symlets函數(shù)系是由Daubechies提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對db函數(shù)的一種改進。Symlets函數(shù)系通常表示為symN(N=2，3，…，8)的形式。</p><p>　　6)Morlet(morl)小波</p><p>　　Morlet函數(shù)定義為，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有

82、正交性。</p><p>　　7)Mexican Hat(mexh)小波</p><p>　　Mexican Hat函數(shù)為</p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　它是Gauss函數(shù)的二階導數(shù)，因為它像墨西哥帽的截面，所以有時稱這個函數(shù)為墨西哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時間域與頻率域都有很好的局部

83、化，并且滿足</p><p><b>　　(3.5)</b></p><p>　　由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。</p><p><b>　　8)Meyer函數(shù)</b></p><p>　　Meyer小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進行定義的，是具有緊支撐的正交小波。</p>

84、<p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　其中，為構(gòu)造Meyer小波的輔助函數(shù)，且有</p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　4 小波變換在圖像處理中的應(yīng)用</p><p>　　4.1 小波分析用于圖像壓縮</p><p

85、>　　4.1.1 基于小波變換的圖像局部壓縮</p><p>　　基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π盘栠M行分解，去除信號點之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次要系數(shù)，以達到壓縮的效果，但該方法在處理過程中并不能提供時域的信息，在我們比較關(guān)心時域特性的時候顯得無能為力。</p><p>　　但是這種應(yīng)用的需求是很廣泛的，比如遙感測控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比的

86、同時，對熱點部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對某個局部的細節(jié)部分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達到這個要求，雖然可以通過對圖像進行分塊分解，然后對每塊作用不同的閾值或掩碼來達到這個要求，但分塊大小相對固定，有失靈活。</p><p>　　在這個方面，小波分析的就優(yōu)越的多，由于小波分析固有的時頻特性，我們可以在時頻兩個方向?qū)ο禂?shù)進行處理，這樣就可以對我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。&

87、lt;/p><p>　　下面這個局部壓縮的例子利用了小波變化的時頻局部化特性，通過這個例子可以看出小波變換在應(yīng)用這類問題上的優(yōu)越性。具體程序見附錄⑴ 。運行結(jié)果如圖4.1。</p><p>　　圖4.1 利用小波變換的局部壓縮圖像</p><p>　　從圖4.1可以看出，小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關(guān)的信息表述方式，我們可以通

88、過對局部細節(jié)系數(shù)處理來達到局部壓縮的效果。</p><p>　　在本例中，把圖像中部的細節(jié)系數(shù)都置零，從壓縮圖像中可以很明顯地看出只有中間部分變得模糊(比如在原圖中很清晰的圍巾的條紋不能分辨)，而其他部分的細節(jié)信息仍然可以分辨的很清楚。</p><p>　　本例只是為了演示小波分析應(yīng)用在圖像局部壓縮的方法，在實際的應(yīng)用中，可能不會只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會是將局部細節(jié)系數(shù)全

89、部清除，更一般的情況是在N層變換中通過選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值，實現(xiàn)分片的局部壓縮。而且，作用的閾值可以是方向相關(guān)的，即在三個不同方向的細節(jié)系數(shù)上作用不同的閾值。</p><p>　　4.1.2 小波變換用于圖像壓縮的一般方法</p><p>　　二維小波分析用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，且在傳遞

90、過程中可以抗干擾。小波分析用于圖像壓縮具有明顯的優(yōu)點。</p><p>　　4.1.2.1 利用二維小波分析進行圖像壓縮</p><p>　　基于小波分析的圖像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹壓縮、小波變換矢量量化壓縮等。</p><p>　　下面是一個圖像信號(即一個二維信號，文件名為wbarb.mat)，利用二維小波分析對圖像進行壓縮。一個圖像作小

91、波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不相同的。高分辨率(即高頻)子圖像上大部分點的數(shù)值都接近于0，越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對一個圖像來說，表現(xiàn)一個圖像最主要的部分是低頻部分，所以一個最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。圖像壓縮可按附錄⑵ 中的程序進行處理。</p><p>　　圖像對比如圖4.2所示。可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解

92、第一層的低頻信息，此時壓縮效果較好，壓縮比較小(約為1/3)；第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分)，其壓縮比較大(約為1/12)，壓縮效果在視覺上也基本過的去。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng)過其他處理即可獲得較好的壓縮效果。在上面的例子中，我們還可以只提取小波分解第3、4、…層的低頻信息。從理論上說，可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像。</p><p>　

93、　原始圖像 分解后低頻和高頻信息</p><p>　　第一次壓縮圖像 第二次壓縮圖像</p><p>　　圖4.2 利用二維小波分析進行圖像壓縮</p><p>　　下面再給出用wdenemp函數(shù)對一個圖像(文件名tire.mat)進行壓縮的程序。具體程序清單見附錄⑶ 。圖像對比如圖4.3所示：&

94、lt;/p><p>　　原始圖像 壓縮圖像</p><p>　　圖4.3 利用二維小波分析對圖像進行壓縮</p><p>　　利用二維小波變換進行圖像壓縮時，小波變換將圖像從空間域變換到時間域，它的作用與以前在圖像壓縮中所用到的離散余弦(DCT)、傅立葉變換(FFT)等的作用類似。但是要很好的進行圖像的壓縮，需要綜合的利用多種其他技

95、術(shù)，特別是數(shù)據(jù)的編碼與解碼算法等，所以利用小波分析進行圖像壓縮通常需要利用小波分析和許多其他相關(guān)技術(shù)共同完成。</p><p>　　4.1.2.2 二維信號壓縮中的閾值的確定與作用命令</p><p>　　由于閾值處理只關(guān)心系數(shù)的絕對值，并不關(guān)心系數(shù)的位置，所以二維小波變換系數(shù)的閾值化方法同一維情況大同小異，為了方便用戶使用小波工具箱對某些閾值化方法提供了專門的二維處理命令。</p&

96、gt;<p>　　下面這個例子可以說明二維信號的小波壓縮的一般方法，在這個例子中同時采用了求缺省閾值的ddencmp命令和基于經(jīng)驗公式的wdcbm2命令對圖像進行壓縮，并對壓縮效果進行比較。具體程序見附錄⑷ 。顯示結(jié)果如圖4.4所示。</p><p>　　圖4.4 detfingr圖像的全局閾值化壓縮和分層閾值化壓縮</p><p>　　可見分層閾值化壓縮方法同全局閾值化方法

97、相比，在能量損失不是很大的情況下可以獲得最高的壓縮比，這主要是因為層數(shù)和方向相關(guān)的閾值化方法能利用更精細的細節(jié)信息進行閾值化處理。</p><p>　　4.1.3 基于小波包變換的圖像壓縮</p><p>　　小波分析之所以在信號處理中有著強大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時候更為靈活。全局閾值化方法作用的信息密度太大，不夠精細，所

98、以很難同時獲得高的壓縮比和能量保留成分，在作用的分層閾值以后，性能明顯提高，因為分層閾值更能體現(xiàn)信號固有的時頻局部特性。</p><p>　　但是小波分解仍然不夠靈活，分解出來的小波樹只有一種模式，不能完全地體現(xiàn)時頻局部化信息。而壓縮的核心思想既是盡可能去除各小波域系數(shù)之間的信息關(guān)聯(lián)，最大限度體現(xiàn)時頻局部化的信息，因此，實際的壓縮算法多采用小波包算法，而小波樹的確定則是根據(jù)不同的信息論準則，以達到分解系數(shù)表達的信

99、息密度最高。</p><p>　　下面這個例子說明了小波包分析在圖像壓縮中的應(yīng)用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進行比較。具體程序見附錄⑸ 。得到的壓縮結(jié)果如圖4.5所示。</p><p>　　圖4.5 基于小波包分析的圖像壓縮</p><p>　　壓縮過程中使用的最優(yōu)小波數(shù)如圖4.6所示</p><p>　　圖4.6 最優(yōu)小波樹&

100、lt;/p><p>　　這兩個命令是Matlab小波工具箱提供的自動獲取閾值和自動使用小波包壓縮的命令，后者將分解閾值化和重建綜合起來。在將小波包用于信號壓縮的過程中，ddencmp命令返回的最優(yōu)小波樹標準都是閾值化標準。根據(jù)這個標準確定的最優(yōu)小波樹可以使得壓縮過程的零系數(shù)成分最高，并且自動降低計算量。</p><p>　　對高頻成分很多的圖像，小波包的分解細節(jié)信息的特點尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢。正因

101、為這點，F(xiàn)BI的指紋庫就是采用的基于小波包的壓縮算法WSQ。</p><p>　　圖像壓縮是應(yīng)用非常廣泛的一類問題，所以其機器實現(xiàn)效率是至關(guān)重要的，在實際的應(yīng)用中，如JPEG2000，一般不采用通常的mallat算法做小波分解，而是應(yīng)用特定的雙正交小波，利用其濾波器分布規(guī)則的特性，用移位操作來實現(xiàn)濾波操作。</p><p>　　4.2 小波分析用于圖像去噪</p><p

102、>　　噪聲可以理解為妨礙人的視覺器官或系統(tǒng)傳感器對所接收圖像源進行理解或分析的各種因素。一般噪聲是不可預(yù)測的隨機信號，它只能用概率統(tǒng)計的方法去認識。噪聲對圖像處理十分重要，它影響圖像處理的輸入、采集、處理的各個環(huán)節(jié)以及輸出結(jié)果的全過程。特別是圖像的輸入、采集的噪聲是個十分關(guān)鍵的問題，若輸入伴有較大噪聲，必然影響處理全過程及輸出結(jié)果。因此一個良好的圖像處理系統(tǒng)，不論是模擬處理還是計算機處理無不把減少最前一級的噪聲作為主攻目標。去噪已

103、成為圖像處理中極其重要的步驟。</p><p>　　對二維圖像信號的去噪方法同樣適用于一維信號，尤其是對于幾何圖像更適合。二維模型可以表述為</p><p>　　s(i,j)=f( i,j)+δ·e(i,j) i,j=0,1,…，m-1 (4.1)</p><p>　　其中，e是標準偏差不變的高斯白噪聲。二維信號用二維小波分析的

104、去噪步驟有3步：</p><p>　　(1)二維信號的小波分解。選擇一個小波和小波分解的層次N，然后計算信號s到第N層的分解。</p><p>　　(2)對高頻系數(shù)進行閾值量化。對于從1到N的每一層，選擇一個閾值，并對這一層的高頻系數(shù)進行軟閾值量化處理。</p><p>　　(3)二維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過修改的從第一層到第N層的各層高頻系

105、數(shù)計算二維信號的小波重構(gòu)。</p><p>　　在這3個步驟中，重點是如何選取閾值和閾值的量化。</p><p>　　下面給出一個二維信號(文件名為detfingr.mat)，并利用小波分析對信號進行去噪處理。Matlab的去噪函數(shù)有ddencmp，wdencmp等，其去噪過程可以按照附錄⑹中的程序進行。輸出結(jié)果從圖4.7中3個圖像的比較可以看出，Matlab中的ddencmp和wdenc

106、mp函數(shù)可以有效地進行去噪處理。</p><p>　　原始圖像 含噪聲的圖像 去噪后的圖像</p><p><b>　　圖4.7 去噪例一</b></p><p>　　再給定一個wmandril.mat圖像?？梢酝ㄟ^全部濾掉圖像中的高頻部分實現(xiàn)圖像的去噪。具體去噪過程可按照附錄⑺中的程序進行。輸出結(jié)果如圖4

107、.8：</p><p>　　原始圖像 含噪聲圖像</p><p>　　第一次去噪圖像 第二次去噪圖像</p><p><b>　　圖4.8 去噪例二</b></p><p>　　從上面的輸出結(jié)果可以看出，第一次去噪已經(jīng)濾去了大部分的高頻噪聲，但從去噪圖像與原始圖

108、像相比可以看出，第一次去噪后的圖像中還是含有不少的高頻噪聲；第二次去噪是在第一次去噪的基礎(chǔ)上，再次濾去其中的高頻噪聲。從去噪的結(jié)果可以看出，它具有較好的去噪效果。</p><p>　　下面再給出另一個含有較少噪聲的facets.mat圖像。由于原始圖像中只含有較少的高頻噪聲，如果按照上一個例子把高頻噪聲全部濾掉的方法將損壞圖像中固有的高頻有用信號。因此這幅圖像適合采用小波分解系數(shù)閾值量化方法進行去噪處理。程序清單

109、見附錄⑻。輸出結(jié)果如圖4.9。</p><p>　　原始圖像 含噪聲圖像 去噪后圖像</p><p><b>　　圖4.9 去噪例三</b></p><p>　　二維信號在應(yīng)用中一般表現(xiàn)為圖像信號，二維信號在小波域中的降噪方法的基本思想與一維情況一樣，在閾值選擇上，可以使用統(tǒng)一的全局閾值，有可以分

110、作三個方向，分別是水平方向、豎直方向和對角方向，這樣就可以把在所有方向的噪聲分離出來，通過作用閾值抑制其成分。</p><p>　　4.3 小波分析用于圖像增強</p><p>　　4.3.1 圖像增強問題描述</p><p>　　小波分析在二維信號(圖像)處理方面的優(yōu)點主要體現(xiàn)在其時頻分析特性，前面介紹了一些基于這種特性的一些應(yīng)用的實例，但對二維信號小波系數(shù)的處理

111、方法只介紹了閾值化方法一種，下面介紹一下以前在一維信號中用到的抑制系數(shù)的方法，這種方法在圖像處理領(lǐng)域主要應(yīng)用于圖像增強。</p><p>　　圖像增強問題的基本目標是對圖像進行一定的處理，使其結(jié)果比原圖更適用于特定的應(yīng)用領(lǐng)域，這里“特定”這個詞非常重要，因為幾乎所有的圖像增強問題都是與問題背景密切相關(guān)的，脫離了問題本身的知識，圖像的處理結(jié)果可能并不一定適用，比如某種方法可能非常適用于處理X射線圖像，但同樣的方法可

112、能不一定也適用于火星探測圖像。</p><p>　　在圖像處理領(lǐng)域，圖像增強問題主要通過時域(沿用信號處理的說法，空域可能對圖像更適合)和頻域處理兩種方法來解決。時域方法通過直接在圖像點上作用算子或掩碼來解決，頻域方法通過修改傅立葉變換系數(shù)來解決。這兩種方法的優(yōu)劣很明顯，時域方法方便快速但會丟失很多點之間的相關(guān)信息，頻域方法可以很詳細地分離出點之間的相關(guān)，但需要做兩次數(shù)量級為nlogn的傅立葉變換和逆變換的操作，

113、計算量大得多。</p><p>　　小波分析是以上兩種方法的權(quán)衡結(jié)果，建立在如下的認識基礎(chǔ)上，傅立葉分析的在所有點的分辨率都是原始圖像的尺度，但對于問題本身的要求，我們可能不需要這么大的分辨率，而單純的時域分析又顯得太粗糙，小波分析的多尺度分析特性為用戶提供了更靈活的處理方法?？梢赃x擇任意的分解層數(shù)，用盡可能少的計算量得到我們滿意的結(jié)果。</p><p>　　小波變換將一幅圖像分解為大小、

114、位置和方向都不同的分量。在做逆變換之前可以改變小波變換域中某些系數(shù)的大小，這樣就能夠有選擇地放大所感興趣的分量而減小不需要的分量。下面是一個圖像增強的實例。</p><p>　　給定一個wmandril.mat圖像信號。由于圖像經(jīng)二維小波分解后，圖像的輪廓主要體現(xiàn)在低頻部分，細節(jié)部分體現(xiàn)在高頻部分，因此可以通過對低頻分解系數(shù)進行增強處理，對高頻分解系數(shù)進行衰減處理，從而達到圖像增強的效果。具體程序清單見附錄⑼。輸