1、<p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p><b>　　2009 屆</b></p><p>　　題 目 導數(shù)在解題中應用</p><p>　　學 院 數(shù)學計算機學院

2、 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學</p><p>　　年 級 2006級 </p><p>　　學生學號 </p><p>　　學生姓名 </p><

3、p>　　指導教師 </p><p>　　2009年 5月 8日</p><p><b>　　導數(shù)在解題中的應用</b></p><p>　　數(shù)學計算機學院數(shù)學與應用數(shù)學（師范）專業(yè) 2010屆 </p><p>　　摘

4、要: 本文通過導數(shù)的基本理論來解決數(shù)學中的相關(guān)問題，通過例題從簡單應用和綜合應用來說明導數(shù)在解題中的應用，如在數(shù)列、函數(shù)、不等式證明、實際問題、數(shù)列求和等方面的應用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：導數(shù)；函數(shù)；單調(diào)性；最值；數(shù)列</p><p><b>　　中圖分類號：017</b></p><p>　　The Application of De

5、rivative in Solving problems</p><p>　　Abstract:In this paper, we discuss some problems in mash by the theory of the derivative. The derivative application is obtained by using examples from simple applicatio

6、n to comprehensive application, such as the application of the series, inequality proof, practical problems and summation series.</p><p>　　Keywords: derivative; function; monotone; the most value; series<

7、/p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1引言1</b></p><p>　　2 導數(shù)在解題中的應用4</p><p>　　2.1 求曲線的切線方程4</p><p>　　2.2 導數(shù)在探究函數(shù)性質(zhì)中的應用6</p><

8、p>　　2.2.1 判斷函數(shù)的單調(diào)性6</p><p>　　2.2.2 函數(shù)的極值、最值問題7</p><p>　　2.2.3 求函數(shù)的解析式9</p><p>　　2.2.4 導數(shù)在解決實際問題中的應用9</p><p>　　2.3 研究方程根的情況11</p><p>　　2.4 導數(shù)在不等式證明中

9、的應用12</p><p>　　2.5導數(shù)求參數(shù)的取值范圍12</p><p>　　2.6 導數(shù)在數(shù)列中的應用13</p><p>　　2.6.1 導數(shù)在數(shù)列求和中的應用13</p><p>　　2.6.2 求數(shù)列中的最大(小)項14</p><p>　　2.7 導數(shù)在求極限中的應用15</p>

10、<p>　　2.8 近似計算15</p><p><b>　　3 結(jié)束語16</b></p><p><b>　　謝 辭16</b></p><p><b>　　參考文獻17</b></p><p><b>　　導數(shù)在解題中的應用</b&

11、gt;</p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　微積分的知識和方法在中學數(shù)學的許多問題上，能起到以簡馭繁的作用，尤其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，證明不等式，恒等式及恒等變形，研究函數(shù)的變化形態(tài)及函數(shù)作圖上.導數(shù)是微積分學中重要的基礎知識, 是研究函數(shù)解析性質(zhì)的重要手段，在求函數(shù)的極值方面起著“鑰匙”的作用.中學數(shù)學中加入導數(shù)的基礎知識不僅豐富了函數(shù)

12、的基礎知識，而且使得對函數(shù)內(nèi)容以及對函數(shù)性質(zhì)的研究更加完整化、系統(tǒng)化，在初等數(shù)學與高等數(shù)學中導數(shù)起著“橋梁”作用，為中學生進入高等學府后繼續(xù)學習奠定了基礎.</p><p>　　導數(shù)是高等數(shù)學中一個很重要的概念，深入理解導數(shù)的概念能夠幫助我們很好地解題.</p><p>　　定義[1]：設函數(shù)在點的某個領域內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量 點仍在該領域內(nèi)時，相應的函數(shù)的增；如果與之比當時的極

13、限存在，則稱函數(shù)在處可導，并稱這個極限為函數(shù)在處的導數(shù)，記為，即</p><p>　　導數(shù)定義的形式比較靈活.對它進行研究，能促進我們對導數(shù)的理解，幫助我們迅速、正確地解題，導數(shù)的定義式也可以有不同的形式，常見的有</p><p>　　式中的即為自變量的增量.</p><p>　　從微積分成為一門學科來說[2]，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了

14、。</p><p>　　公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸

15、素的、也是很典型的極限概念。 </p><p>　　到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。 </

16、p><p>　　十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 </p><p>　　十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，

17、雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。 </p><p>　　牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮的。 </p><p>

18、　　牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。 </p><p>　　德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者

19、，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通

20、用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。 </p><p>　　微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。 </p><p>　　前面已經(jīng)提到，一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。 </p><

21、p>　　不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立。英國數(shù)學在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年。 </p><p>　　其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10

22、年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。 </p><p>　　應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊

23、布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。 </p><p>　　直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發(fā)展開來。 </p><p>　　任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微

24、積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西…… </p><p>　　歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學也好，都是一種常量數(shù)學，微積分才是真正的變量數(shù)學，是數(shù)學中的大革命。微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。</p><p>

25、　　2 導數(shù)在解題中的應用</p><p>　　2.1 求曲線的切線方程</p><p>　　在求過點所作函數(shù)對應曲線的切線方程[3]時應先判斷該點是否在曲線上.</p><p>　　當點在曲線上，即點為切點時，則切線方程為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　當點不在曲線

26、上時，則設切點坐標為，由</p><p>　　先求得切點的坐標，然后進一步求切線方程. </p><p>　　例1.已知曲線,求過點P的曲線的切線方程.</p><p><b>　　解：因，所以，</b></p><p><b>　　則當時，，.</b></p><p>　　

27、① 當時，點P在曲線上，故過點P的曲線的切線方程為即，</p><p>　?、?當時，點P不在上，設曲線過點P的切線的切點是，</p><p>　　則切線方程為且點P在此切線方程上，</p><p><b>　　所以有 即</b></p><p><b>　　又 </b></p>

28、<p><b>　　則有 ，即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　當時，， 所以；</b></p><p><b>　　當時， ，</b></p><p>　　所以切線方程是 ，即 ，</p&

29、gt;<p>　　當時，，切線不存在.</p><p>　　例2. 已知拋物線和拋物線，當取什么值時，和有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程.</p><p>　　分析：傳統(tǒng)的處理方法是用法來解決，但計算量大，容易出錯，如能運用導數(shù)的幾何意義去解，則思路清晰，解法簡單.</p><p>　　解：設分別是直線與、的兩個切點.</p><

30、;p><b>　　又，的導數(shù)分別為：</b></p><p><b>　　，，所以 ，即 </b></p><p>　　又、有且只有一條公切線，則點A與點B重合，，</p><p>　　所以，即，有點在上，可知，</p><p><b>　　此時.</b></p&g

31、t;<p>　　例3. 已知曲線，直線，且與切與點，求直線的方程及切點坐標.</p><p>　　解：由過原點，知，點在曲線上，</p><p><b>　　又∵</b></p><p><b>　　∴，又 </b></p><p><b>　　∴</b><

32、/p><p><b>　　∴（不符合題意）</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　所以的方程為，切點為.</p><p>　　求曲線的切線方程，關(guān)鍵利用曲線上某點的導數(shù)就是曲線上過該點的切

33、線的斜率.</p><p>　　2.2 導數(shù)在探究函數(shù)性質(zhì)中的應用　</p><p>　　2.2.1 判斷函數(shù)的單調(diào)性</p><p>　　假設y=在點中可導[4]</p><p>　?、瘢┤魧χ兴卸?，則在中遞增；</p><p>　?、颍┤魧χ兴卸裕瑒t在中遞減；</p><p>　?、?/p>

34、）若對中所有而言=0，則在中不變.</p><p>　　由此可見，只要求出函數(shù)的導數(shù)，判斷其正負性，則能判斷函數(shù)的單調(diào)性.這種方法比傳統(tǒng)的的“定義法”及“圖像法”更方便.</p><p>　　例1.求函數(shù)在[0,1]上的單調(diào)性（R）.</p><p>　　解：令，即求，t[0,1]上的單調(diào)性.</p><p>　　當a0時，在t[0,1]上為

35、增函數(shù)；</p><p>　　當a<0時, 因=，</p><p>　　則由 ， 得 =0. 有 t=，</p><p>　　則可以判斷，當t(0, )時，，說明在t（0，）上為增函數(shù)；</p><p>　　當t時，，在上為減函數(shù).</p><p>　　接下來，要比較和1的大小,</p><

36、p>　　當時，則在上為增函數(shù)，</p><p><b>　　此時 ，</b></p><p>　　當時，，則在t（0，）上為增函數(shù)；在t上為減函數(shù).</p><p>　　該題用導數(shù)來解，淡化了技巧，突出了通法，充分顯示了該解法的新穎別致和通俗易懂.</p><p>　　例2. 已知函數(shù)=，[-1, ],其中，求的取

37、值范圍，使在區(qū)間[-1, ]上是單調(diào)函數(shù).</p><p>　　解：=+，它在[-1, ]上是單調(diào)函數(shù)，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　當， 即時，</b></p><p><b>　　，為單調(diào)遞增函數(shù)；</b></p>&

38、lt;p><b>　　當， 即時，</b></p><p>　　，故為單調(diào)遞減函數(shù)；</p><p>　　綜上所述，當時，在區(qū)間[-1, ]上是單調(diào)函數(shù).</p><p>　　2.2.2 函數(shù)的極值、最值問題</p><p>　　求可導函數(shù)的極值[5]的一般步驟和方法是：</p><p>&

39、lt;b>　　①求導數(shù)；</b></p><p><b>　?、谇蠓匠痰母?lt;/b></p><p>　?、蹤z驗在方程的根的左右符號，如果在根左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.</p><p>　　對于在連續(xù)，在可導的函數(shù)的最值的求解，

40、可先求出函數(shù)在上的極大（小）值，并與、比較即可得出最大（?。┲?</p><p>　　例1. 已知為實數(shù)，函數(shù).</p><p><b>　　求導數(shù)；</b></p><p>　　若，求在上的最大值和最小值.</p><p><b>　　解：由原式得</b></p><p>

41、<b>　　則 </b></p><p><b>　　由 得，此時有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由 得 或，</b></p><p><b>　　又 ，，</b></p>

42、;<p>　　所以在上的最大值為，最小值為.</p><p>　　例2. 求函數(shù)的值域.</p><p>　　分析:求函數(shù)的值域是數(shù)學中的難點,方法因題而異, 不易掌握而采用導數(shù)求解, 則較為容易, 且一般問題都可行.</p><p>　　解：函數(shù)的定義域為.</p><p>　　又 =，可見當時，，</p>&l

43、t;p>　　所以在上是增函數(shù)，而，</p><p><b>　　所以的值域是.</b></p><p>　　2.2.3 求函數(shù)的解析式</p><p>　　例1. 設函數(shù)為三次函數(shù)，其圖像與軸的交點為P，且曲線在P點處的切線方程為，若函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)的解析式.</p><p><b>　　解：設，

44、則，</b></p><p><b>　　依題意有</b></p><p>　　因為切線的斜率為，所以.</p><p><b>　　把代入，得.</b></p><p>　　所以P點的坐標為，即求得，此時.</p><p>　　由函數(shù)在處取得極值，</p&

45、gt;<p>　　則得 ， 解得 ，</p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　例2. 設為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點對稱，當時，的極小值為，求函數(shù)的解析式.</p><p><b>　　解：設，</b></p><p>　　因為其圖像關(guān)于原點對稱，即 ，<

46、;/p><p><b>　　所以 ，</b></p><p>　　則 即 ，所以 .</p><p><b>　　依題意 ，，解得 </b></p><p><b>　　故.</b></p><p>　　2.2.4 導數(shù)在解決實際問題[6]中的應用<

47、/p><p>　　學習的目的, 就是要會實際應用.解決實際應用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學語言, 找出問題的主要關(guān)系, 并把問題的主要關(guān)系近似化, 形式化, 抽象成數(shù)學問題, 再劃歸為常規(guī)問題,選擇合適的數(shù)學方法求解.</p><p>　　例1. 用總長的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長，那么高為多少時容器的容積最大并求出它的最大

48、容積.</p><p>　　解：設容器底面短邊為, 則另一邊長為，高為.</p><p><b>　　由 且，得.</b></p><p>　　設容器的容積為，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 令 ，即，</b&

49、gt;</p><p>　　解得 （不合題意，舍去）.</p><p><b>　　當時，；當時，.</b></p><p>　　所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.</p><p>　　因此，當時，，這時，高為，</p><p>　　故高為時容器的容積最大，最大容積為.</p>

50、<p>　　例2 . 如圖，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊處，乙廠和甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸的處，乙廠到河岸的垂足與相距，兩廠要在此岸邊合建一個供水站，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米元和元，問供水站建在岸邊何處才能使水管費用最省？</p><p>　　解：根據(jù)題意，只有點在線段上某一適當位置，才能使總運費最省，如右圖所示，設點距點,</p><p>

51、<b>　　因為，所以.</b></p><p>　　設總的水管費用為元，則</p><p>　　. </p><p><b>　　所以 ，令，</b></p><p><b>　　解得（舍去）.</b></p><p>　　當時

52、，；當時，，所以當時，取得最小值，</p><p>　　此時，，即供水站建在、之間距甲廠處可使水管費用最省.</p><p>　　2.3 研究方程根的情況</p><p>　　用導數(shù)的方法確定方程根的個數(shù)是一種很有效的方法,它是通過函數(shù)的變化情況,運用數(shù)形結(jié)合的方法來確定函數(shù)的圖象與 軸的交點的個數(shù)并結(jié)合定義域來確定方程解的個數(shù)的方法.</p><

53、;p>　　例1. 若，則方程在上有多少個根？</p><p><b>　　解：設，則，</b></p><p>　　當，時，，故在上單調(diào)遞減.</p><p><b>　　而在與處都連續(xù)，且</b></p><p>　　故在上有且只有一個根.</p><p>　　例2.

54、 取何值時, 關(guān)于的方程在上有解？</p><p>　　分析：本題亦可結(jié)合二次函數(shù)的圖象, 使得問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間根分布問題, 但是要分在上有兩解和一解兩種情況.采用轉(zhuǎn)化思想將與分離開, 利用導數(shù)求函數(shù)值域, 使得運算量大大減少.</p><p>　　解：因為 ，所以 ，將看成的函數(shù)，</p><p><b>　　因為 ， ，</b><

55、/p><p>　　所以函數(shù)在上是增函數(shù)， 故.</p><p>　　2.4 導數(shù)在不等式證明中的應用[7]</p><p>　　不等式是數(shù)學的重要部分，它遍及數(shù)學的每一個分支學科.證明他們的方法很多，有些更是具有很強的技巧性，對于某些不等式不易證明時，可根據(jù)給出不等式的特點構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)知識研究函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來加以證明，往往可以達到事半功倍的效果

56、，定會覺得豁然開朗.</p><p>　　例1 . 當時，證明不等式.</p><p><b>　　證明：設，</b></p><p><b>　　可求得其定義域為，</b></p><p>　　由 ， 可知在上單調(diào)遞增.</p><p>　　所以當時， ， 即 .</

57、p><p><b>　　故 對一切都成立.</b></p><p>　　例2. 已知，求證：.</p><p>　　證明：設，則原不等式化為</p><p><b>　　設， </b></p><p><b>　　當時， </b></p>

58、<p>　　所以在上為減函數(shù)，于是有</p><p>　　可得 . </p><p>　　，所以在上為增函數(shù)，</p><p>　　于是有 ， 可得 . </p><p>　　由得 ，

59、 故原不等式成立.</p><p>　　2.5導數(shù)求參數(shù)的取值范圍[8]</p><p>　　求參變量的取值范圍是數(shù)學中的一個重要內(nèi)容, 有不少求參變量取值范圍的問題依靠傳統(tǒng)的方法不容易解決,但是借助求導的方法確是一種很有效的解決途徑.</p><p>　　例1. 已知，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.</p><p><b>　

60、　解：，由 ，</b></p><p><b>　　即 ，解得 .</b></p><p><b>　　當時， ，</b></p><p>　　在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件是，</p><p>　　即 ，解得 . 所以的取值范圍為.</p>&l

61、t;p>　　例2. 求出的范圍，使不等式對任意的都成立.</p><p>　　分析: 將含參數(shù)的不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用導數(shù)求得函數(shù)最小值,方可確定出參數(shù)的范圍.</p><p><b>　　解：令，則 ，</b></p><p><b>　　再設，可求得 或，</b></p><p>

62、<b>　　當時，； 當時，；</b></p><p>　　當時，. 所以時，取得極小值為，</p><p>　　從而有最小值為，則， 故有.</p><p>　　解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)判斷函數(shù)極小值的位置.</p><p>　　2.6 導數(shù)在數(shù)列中的應用</p><p>　　2.

63、6.1 導數(shù)在數(shù)列求和中的應用</p><p>　　數(shù)列求和是數(shù)學中比較常見的問題, 也是學生難以掌握的問題, 用常規(guī)方法求數(shù)列的和，有時技巧性很高，或者計算十分繁瑣，如果借助導數(shù)這一工具，用導數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來解決此類問題,?？苫睘楹啠y為易.</p><p><b>　　例1.求 … </b></p><p><b>　　解：因

64、… ，</b></p><p>　　兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，兩邊求導得，</p><p><b>　　… .</b></p><p>　　例2. 求和： … .</p><p>　　解：因 … ，則該式兩邊都是關(guān)于的函數(shù)， 兩邊都對求導得</p><p><b>　　… ，<

65、;/b></p><p>　　令，得 … ， 即 </p><p>　　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它有通項公式和前項和公式，并且、是關(guān)于的函數(shù)，因此可以把看作是某個函數(shù)的導數(shù).</p><p>　　2.6.2 求數(shù)列中的最大(小)項</p><p>　　將數(shù)列看作正整數(shù)集上的函數(shù), 然后將定義域擴充為正實數(shù), 用導數(shù)的方法求解問題是解決上

66、述問題的一種好方法.</p><p>　　例1. 數(shù)列中，，求中的最小項.</p><p><b>　　解：構(gòu)造函數(shù)，</b></p><p><b>　　令 ，解得 ，</b></p><p><b>　　則當時，；當時，，</b></p><p>　

67、　所以當時，的值最小，</p><p>　　因為，通過計算知中的最小項為.</p><p>　　把數(shù)列通項構(gòu)造為函數(shù)，將數(shù)列的最小項問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題，從而利用導數(shù)求解.</p><p>　　2.7 導數(shù)在求極限中的應用</p><p>　　導數(shù)的定義[9]在許多題目中出現(xiàn)的形式靈活多樣，較為簡單的類型是直接應用導數(shù)的定義是作適當?shù)淖?/p>

68、形即能解決問題，導數(shù)是由極限定義，所以就能利用導數(shù)來求極限.</p><p><b>　　例1.求極限：.</b></p><p>　　解：令，由導數(shù)定義可得</p><p>　　例2. 已知存在，證明，，其中為常數(shù).</p><p><b>　　證明：左</b></p><p&

69、gt;<b>　　.</b></p><p><b>　　2.8 近似計算</b></p><p>　　函數(shù)在處的導數(shù)，由極限的定義知，當充分小時，，所以，利用這個公式可求的函數(shù)的近似值.</p><p>　　例1. 正方形的棱長從增加到，它的體積大約增加多少？</p><p>　　解：設正方形的體

70、積為，它放入棱長為,則，</p><p><b>　　取 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2. 不查表，求的值.</p><p>　　解：令，由導數(shù)和微分的關(guān)系得</p><p><b>　　，</b></

71、p><p><b>　　因 ，取，，</b></p><p>　　于是 ，代入上式得 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　3 結(jié)束語</b></p><p>　　本文討論了導數(shù)在求曲線的切線方程、研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式、

72、求極限和數(shù)列等方面都有廣泛的應用.導數(shù)這部分內(nèi)容不僅是函數(shù)的深化和拓展，還與其他許多知識都有著密切的聯(lián)系，用導數(shù)法往往比傳統(tǒng)法更具有優(yōu)越性.導數(shù)不但豐富了初等數(shù)學的解題思路、解題方法，而且給我們主動探索提供了很大的空間.</p><p><b>　　謝 辭</b></p><p>　　感謝在大學期間所有傳授我知識的老師，是你們的悉心教導使我有了良好的專業(yè)課知識，這也

73、是論文得以完成的基礎.感謝我的指導老師王戰(zhàn)平，在論文寫作的整個過程中他給了我很大的幫助,才使我順利的完成了這篇論文.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]同濟大學數(shù)學教研室，高等數(shù)學[M].4版.北京:高等教育出版社,1996:97. </p><p>　　[2]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（上冊）[M].高

74、等教育出版社，2005，94-107.</p><p>　　[3]竇寶泉，導數(shù)在中學教學中的應用[J].數(shù)學通訊,2003(12),12-13. </p><p>　　[4]徐智愚,用導數(shù)解初等數(shù)學題[J].數(shù)學通報,2000(10),35. </p><p>　　[5]高群安,運用導數(shù)巧解題[J].2005(4),22-23.</p><p&g

75、t;　　[6]李紹平.高考對導數(shù)問題考查的五大熱點.中學數(shù)學研究.2004(5)</p><p>　　[7]徐永忠,例談導數(shù)法證明不等式[J].中學教學,2003(9),32-33.</p><p>　　[8]商俊宇. 導數(shù)題型分析解析[ J ]. 數(shù)學教學研究, 2004 (4) .</p><p>　　[9]趙小玲,導數(shù)定義中一些問題在實際教學中的解決[J].寧