1、<p>　　復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)交疊團(tuán)模糊分析與信息挖掘</p><p>　　摘 要:針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)交疊團(tuán)的聚類與模糊分析方法設(shè)計(jì)問題,給出一種新的模糊度量及相應(yīng)的模糊聚類方法,并以新度量為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)出兩種挖掘網(wǎng)絡(luò)模糊拓?fù)涮卣鞯男轮笜?biāo):團(tuán)間連接緊密程度和模糊點(diǎn)對(duì)交疊團(tuán)的連接貢獻(xiàn)度,并將其用于網(wǎng)絡(luò)交疊模塊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)宏觀分析和團(tuán)間關(guān)鍵點(diǎn)提取。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,使用該聚類與分析方法不僅可以獲得模糊團(tuán)結(jié)構(gòu),而且能夠揭示出新的網(wǎng)絡(luò)特

2、征。該方法為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)聚類后分析提供了新的視角。 </p><p>　　針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)交疊團(tuán)的聚類與模糊剖析辦法設(shè)計(jì)Issue(問題),給出一種新的模糊度量及對(duì)應(yīng)的模糊聚類辦法,并以新度量為根底,設(shè)計(jì)出兩種發(fā)掘網(wǎng)絡(luò)模糊拓?fù)涮卣鞯男履繕?biāo):團(tuán)間銜接嚴(yán)密水平和模糊點(diǎn)對(duì)交疊團(tuán)的銜接奉獻(xiàn)度,并將其用于網(wǎng)絡(luò)交疊模塊拓?fù)錁?gòu)造微觀剖析和團(tuán)間關(guān)鍵點(diǎn)提取。實(shí)驗(yàn)后果標(biāo)明,運(yùn)用該聚類與剖析辦法不只能夠取得模糊勾結(jié)構(gòu),并且可以提醒出新的網(wǎng)絡(luò)特

3、征。該辦法為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)聚類后剖析提供了新的視角。</p><p>　　關(guān)鍵詞:網(wǎng)絡(luò)模糊聚類;團(tuán)—點(diǎn)相似度;團(tuán)間連接緊密度;團(tuán)間連接貢獻(xiàn)度;對(duì)稱非負(fù)矩陣分解;網(wǎng)絡(luò)宏觀拓?fù)?</p><p>　　Fuzzy clustering and information mining in complex networks </p><p>　　ZHAO Kun,ZHANG Sha

4、o-wu,PAN Quan </p><p>　　(School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China) </p><p>　　Abstract:There is seldom a method which is capable of both clustering the net

5、work and analyzing the resulted overlapping communities. To solve this problem, this paper presented a novel fuzzy metric and a soft clustering algorithm. Based on the novel metric, two topological fuzzy metric, which in

6、clude clique-clique closeness degree and inter-clique connecting contribution degree, were devised and applied in the topological macro analysis and the extraction of key nodes in the overlapping communi</p><p

7、>　　Key words:network fuzzy clustering; clique-node similarity; clique-clique closeness degree; inter-clique connection contribution degree; symmetrical nonnegative matrix factorization(s-NMF); network topology macrost

8、ructure </p><p>　　團(tuán)結(jié)構(gòu)是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)普遍而又重要的拓?fù)鋵傩灾?具有團(tuán)內(nèi)連接緊密、團(tuán)間連接稀疏的特點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)團(tuán)結(jié)構(gòu)提取是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析中的一個(gè)基本步驟。揭示網(wǎng)絡(luò)團(tuán)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)聚類方法[1~5]對(duì)分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、理解其功能、發(fā)現(xiàn)其隱含模式以及預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)行為都具有十分重要的理論意義和廣泛的應(yīng)用前景。目前,大多數(shù)提取方法不考慮重疊網(wǎng)絡(luò)團(tuán)結(jié)構(gòu),但在多數(shù)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用中,重疊團(tuán)結(jié)構(gòu)更為普遍,也更具有實(shí)際意義。

9、 </p><p>　　現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)重疊團(tuán)結(jié)構(gòu)提取方法[6~10]多數(shù)只對(duì)團(tuán)間模糊點(diǎn)進(jìn)行初步分析,如Nepusz等人[9,10]的模糊點(diǎn)提取。針對(duì)網(wǎng)絡(luò)交疊團(tuán)結(jié)構(gòu)的深入拓?fù)浞治?本文介紹一種新的團(tuán)—點(diǎn)相似度模糊度量。由于含有確定的物理含意和更為豐富的拓?fù)湫畔?用這種模糊度量可進(jìn)一步導(dǎo)出團(tuán)與團(tuán)的連接緊密程度,以及模糊節(jié)點(diǎn)對(duì)兩團(tuán)聯(lián)系的貢獻(xiàn)程度,并設(shè)計(jì)出新指標(biāo)和定量關(guān)系來深度分析網(wǎng)絡(luò)宏觀拓?fù)溥B接模式和提取關(guān)鍵連接節(jié)點(diǎn)。本文

10、在三個(gè)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)上作了實(shí)驗(yàn)分析,其結(jié)果表明,本方法所挖掘出的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣餍畔榫W(wǎng)絡(luò)的模糊聚類后分析提供了新的視角。 </p><p>　　1 新模糊度量和最優(yōu)化逼近方法 </p><p>　　設(shè)A=[Aij]n×n(Aij≥0)為n點(diǎn)權(quán)重?zé)o向網(wǎng)絡(luò)G(V,E)的鄰接矩陣,Y是由A產(chǎn)生的特征矩陣,表征點(diǎn)—點(diǎn)距離,Yij&gt;0。假設(shè)圖G的n個(gè)節(jié)點(diǎn)劃分到r個(gè)交疊團(tuán)中,用非負(fù)r&

11、#215;n維矩陣W=[Wki]r×n來表示團(tuán)—點(diǎn)關(guān)系,Wki為節(jié)點(diǎn)i與第k個(gè)團(tuán)的關(guān)系緊密程度或相似度。W稱為團(tuán)—點(diǎn)相似度矩陣。令 </p><p>　　Mij=?rk=1WkiWkj(1) </p><p>　　若Wki能精確反映點(diǎn)i與團(tuán)k的緊密度,則Mij可視為對(duì)點(diǎn)i、j間相似度Yij的一個(gè)近似。所以可用矩陣W來重構(gòu)Y,視為用團(tuán)—點(diǎn)相似度W對(duì)點(diǎn)—點(diǎn)相似度Y的估計(jì): </

12、p><p>　　W ?TW→Y(2) </p><p>　　用歐式距離構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù): </p><p>　　minW≥0 F?G(Y,W)=‖Y-W ?TW‖?F=?12?ij[(Y-W ?TW)。(Y-W ?TW)]ij(3) </p><p>　　其中:‖&#8226;‖?F為歐氏距離;A。B表示矩陣A、B的Hadamard 矩陣

13、乘法。由此,模糊度量W的實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)最優(yōu)化問題,即尋找合適的W使式(3)定義的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值。 </p><p>　　式(3)本質(zhì)上是一種矩陣分解,被稱為對(duì)稱非負(fù)矩陣分解,或s-NMF (symmetrical non-negative matrix factorization)。?s-NMF的求解與非負(fù)矩陣分解NMF[11,12]的求解方法非常類似。非負(fù)矩陣分解將數(shù)據(jù)分解為兩個(gè)非負(fù)矩陣的乘積,得到對(duì)原

14、數(shù)據(jù)的簡化描述,被廣泛應(yīng)用于各種數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域。類似NMF的求解,s-NMF可視為加入限制條件(H=W)下的NMF。給出s-NMF的迭代式如下: </p><p>　　Wk+1=W?k。[W?kY]/[W?kW ?T?kW?k](4) </p><p>　　其中:[A]/[B]為矩陣A和B的Hadamard矩陣除法。 </p><p>　　由于在NMF中引入了限制條件

15、,s-NMF的解集是NMF的子集,即式(4)的迭代結(jié)果必落入NMF的穩(wěn)定點(diǎn)集合中符合附加條件(H=W)的部分,由此決定s-NMF的收斂性。 </p><p>　　在求解W之前還需要確定特征矩陣。本文選擴(kuò)散核[13]為被逼近的特征矩陣。擴(kuò)散核有明確的物理含義,它通過計(jì)算節(jié)點(diǎn)間的路徑數(shù)給出任意兩節(jié)點(diǎn)間的相似度,能描述網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的大尺度范圍關(guān)系,當(dāng)兩點(diǎn)間路徑數(shù)增加時(shí),其相似度也增大。擴(kuò)散核矩陣被定義為 </p&g

16、t;<p>　　K=exp(-βL)(5) </p><p>　　其中:參數(shù)β用于控制相似度的擴(kuò)散程度,本文取β=0.1;L是網(wǎng)絡(luò)G的拉普拉斯矩陣: </p><p>　　Lij=-Aiji≠j </p><p>　　?kAiki=j(6) </p><p>　　作為相似度的特征矩陣應(yīng)該是擴(kuò)散核矩陣K的歸一化?形式: </

17、p><p>　　Yij=Kij/(KiiKjj)??1/2(7) </p><p>　　基于擴(kuò)散核的物理含義,團(tuán)—點(diǎn)相似度W也具有了物理含義:團(tuán)到點(diǎn)的路徑數(shù)。實(shí)際上,W就是聚類結(jié)果,對(duì)其列歸一化即可得模糊隸屬度,需要硬聚類結(jié)果時(shí),則選取某點(diǎn)所對(duì)應(yīng)列中相似度值最大的團(tuán)為最終所屬團(tuán)。</p><p>　　2 團(tuán)—團(tuán)關(guān)系度量 </p><p>　　團(tuán)—

18、點(diǎn)相似度W使得定量刻畫網(wǎng)絡(luò)中的其他拓?fù)潢P(guān)系成為可能。正如W ?TW可被用來作為點(diǎn)與點(diǎn)的相似度的一個(gè)估計(jì),同樣可用W來估計(jì)團(tuán)—團(tuán)關(guān)系: </p><p>　　Z=WW ?T(8) </p><p>　　其物理含義是團(tuán)與團(tuán)間的路徑條數(shù)。很明顯,Z的非對(duì)角元ZJK刻畫團(tuán)J與團(tuán)K之間的緊密程度,或團(tuán)間重疊度,對(duì)角元ZJJ則刻畫團(tuán)J的團(tuán)內(nèi)密度。? </p><p>　　以圖1

19、中的對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)為例,二分團(tuán)時(shí)算得 </p><p>　　Z=WW ?T=1.337 60.035 3 </p><p>　　0.035 31.337 6 </p><p>　　由于圖1中的網(wǎng)絡(luò)是對(duì)稱網(wǎng)絡(luò),兩團(tuán)具有同樣的拓?fù)溥B接模式,它們有相同的團(tuán)內(nèi)密度1.337 6,而團(tuán)間重疊度為?0.035 3。</p><p>　　3 團(tuán)間連接貢獻(xiàn)度 &l

20、t;/p><p>　　ZJK度量了團(tuán)J與團(tuán)K間的重疊程度: </p><p>　　ZJK=?na=1WJaWKa(9) </p><p>　　其中:WJaWKa是這個(gè)總量來自于點(diǎn)a的分量。下面定義一個(gè)新指標(biāo)來量化給定點(diǎn)對(duì)團(tuán)間連接的貢獻(xiàn)。假設(shè)點(diǎn)i是同時(shí)連接J、K兩團(tuán)的團(tuán)間某點(diǎn),定義點(diǎn)i對(duì)團(tuán)J和團(tuán)K的團(tuán)間連接貢獻(xiàn)度為</p><p>　　B?i=[(

21、WJiWKi)/(?na=1WJaWKa)]×100%(10) </p><p>　　顯然,那些團(tuán)間連接貢獻(xiàn)大的點(diǎn)應(yīng)處于網(wǎng)絡(luò)中連接各團(tuán)的關(guān)鍵位置,它們對(duì)團(tuán)間連接的穩(wěn)定性負(fù)主要責(zé)任。將這種在團(tuán)與團(tuán)間起關(guān)鍵連接作用的點(diǎn)稱為關(guān)鍵連接點(diǎn)。為了設(shè)定合適的閾值來提取團(tuán)間關(guān)鍵連接點(diǎn),本文一律取B&gt;10%的點(diǎn)為關(guān)鍵連接點(diǎn)。 </p><p>　　4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析 </p&g

22、t;<p>　　下面將在三個(gè)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)上展開實(shí)驗(yàn),首先根據(jù)指定分團(tuán)個(gè)數(shù)計(jì)算出團(tuán)—點(diǎn)相似度W,然后用W計(jì)算團(tuán)—團(tuán)關(guān)系和B值,并提取關(guān)鍵連接點(diǎn)。 </p><p>　　4.1 海豚社會(huì)網(wǎng) </p><p>　　由Lusseau等人[14]給出的瓶鼻海豚社會(huì)網(wǎng)來自對(duì)一個(gè)62個(gè)成員的瓶鼻海豚社會(huì)網(wǎng)絡(luò)長達(dá)七年的觀測(cè),節(jié)點(diǎn)表示海豚,連線為對(duì)某兩只海豚非偶然同時(shí)出現(xiàn)的記錄。圖2(a)中名為S

23、N100 (點(diǎn)36)的海豚在一段時(shí)間內(nèi)消失,導(dǎo)致這個(gè)海豚網(wǎng)絡(luò)分裂為兩部分。 </p><p>　　使用s-NMF算法聚類,海豚網(wǎng)絡(luò)分為兩團(tuán)時(shí),除30和39兩點(diǎn)外,其他點(diǎn)的分團(tuán)結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)相同,如圖2(a)所示。計(jì)算B值并根據(jù)閾值提取出的五個(gè)關(guān)鍵連接點(diǎn):1、7、28、36、40(虛線圈內(nèi)),它們對(duì)兩團(tuán)連接起到至關(guān)重要的作用。圖2(b)為這五點(diǎn)的B值柱狀圖。該圖顯示,節(jié)點(diǎn)36(SN100)是五個(gè)關(guān)鍵連接點(diǎn)中B值最大

24、者,對(duì)連接兩團(tuán)貢獻(xiàn)最大。某種程度上,這個(gè)結(jié)果可以解釋為什么海豚SN100的消失導(dǎo)致了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)最終分裂的影響。本例說明,s-NMF算法及團(tuán)間連接貢獻(xiàn)程度指標(biāo)在分析、預(yù)測(cè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)演化方面有著獨(dú)具特色的作用。 </p><p>　　4.2 Santa Fe 科學(xué)合作網(wǎng) </p><p>　　用本算法對(duì)Newman等人提供的Santa Fe科學(xué)合作網(wǎng)絡(luò)[15]加以測(cè)試。271個(gè)節(jié)點(diǎn)表示涵蓋四個(gè)學(xué)術(shù)

25、領(lǐng)域的學(xué)者,學(xué)者合作發(fā)表文章產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)連接,構(gòu)成了一個(gè)加權(quán)合作網(wǎng)絡(luò)。將本算法用于網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)包含118個(gè)節(jié)點(diǎn)的最大孤立團(tuán),如圖3(a)所示。 </p><p>　　圖3(a)中,四個(gè)學(xué)科所對(duì)應(yīng)的主要組成部分都被正確地分離出來,mathematical ecology(灰菱形)和agent-based models(白方塊)與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果一致,中間的大模塊statistical physics又被細(xì)分為四個(gè)小塊,

26、以不同灰度區(qū)分。計(jì)算了24個(gè)點(diǎn)的團(tuán)間連接度貢獻(xiàn)值B,從中分離出11個(gè)B值大于10%的點(diǎn)作為關(guān)鍵連接點(diǎn):1、2、4、6、11、12、20、47、50、56、57,其標(biāo)號(hào)在橫軸下方標(biāo)出,見圖3(b),并在圖3(a)中用黑色圓圈標(biāo)記,這些連接點(diǎn)對(duì)應(yīng)那些具有多種學(xué)科興趣、積極參與交叉研究的學(xué)者。除去這11個(gè)點(diǎn)時(shí),整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連接布局被完全破壞,見圖3(a)下方灰色背景縮小圖,可見關(guān)鍵連接點(diǎn)的確起到重要的溝通各模塊的作用。 </p>

27、<p>　　4.3 雜志索引網(wǎng)絡(luò) </p><p>　　在Rosvall等人[16]建立的2004年雜志索引網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行測(cè)試。網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代表雜志,分為物理學(xué)(方形)、化學(xué)(方形)、生物學(xué)(菱形)、生態(tài)學(xué)(三角形)四個(gè)學(xué)科領(lǐng)域,每個(gè)學(xué)科中各選10份影響因子最高的刊物,共40個(gè)節(jié)點(diǎn),若某刊物文章引用了另一刊物文章,則兩刊間有一條連線,形成189條連接。使用s-NMF對(duì)該網(wǎng)4分團(tuán)時(shí),聚類結(jié)果與實(shí)際分團(tuán)情況完全一致

28、,如圖4(a)所示。 </p><p>　　由本算法得出的團(tuán)—點(diǎn)相似度W在網(wǎng)絡(luò)宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的挖掘方面有非常有趣的應(yīng)用,如第2章所述,用W計(jì)算團(tuán)—團(tuán)相似度矩陣Z=WW?T,其對(duì)角元是團(tuán)內(nèi)連接密度,非對(duì)角元表征團(tuán)與團(tuán)的連接緊密程度,故Z可被視為對(duì)原網(wǎng)絡(luò)的一種“壓縮表示”。如果將團(tuán)換成“點(diǎn)”,將團(tuán)與團(tuán)之間的連接換成“邊”,利用Z的非對(duì)角元,就能構(gòu)造出原網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)壓縮投影網(wǎng)絡(luò),如圖4(b)所示。這是原網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)降維示意圖

29、,也是團(tuán)與團(tuán)之間關(guān)系定量刻畫的形象表述,定量地反映了原網(wǎng)絡(luò)在特定分團(tuán)數(shù)下的“宏觀(全局)拓?fù)漭喞?圖上團(tuán)間連線色深和粗細(xì)表示連接緊密程度。由圖4(b)可以看到,physics和chemistry連接最緊密,而chemistry與biology和biology與?ecology次之。由此推測(cè),如果減少分團(tuán)數(shù),將相鄰兩團(tuán)合并,連接最緊密的兩團(tuán)必首先合并為一個(gè)團(tuán)。實(shí)際情況正是如此:分團(tuán)數(shù)為3時(shí),biology和ecology各自獨(dú)立成團(tuán),p

30、hysics 和?chemistry合并為一個(gè)大團(tuán),這與文獻(xiàn)[11]結(jié)果一致。 </p><p><b>　　5 討論 </b></p><p>　　網(wǎng)絡(luò)模糊聚類能幫助研究者進(jìn)一步對(duì)團(tuán)間的一些特殊點(diǎn)進(jìn)行定量分析,如Nepusz等人[9]用一種橋值公式來刻畫節(jié)點(diǎn)在多個(gè)團(tuán)間的共享程度,即節(jié)點(diǎn)從屬度的模糊程度。而本文的團(tuán)間連接貢獻(xiàn)度B反映出節(jié)點(diǎn)在團(tuán)間連接中所起的作用大小。本

31、質(zhì)上它們是完全不同的兩種概念,同時(shí)它們也都是網(wǎng)絡(luò)模糊分析中所特有的。團(tuán)間連接貢獻(xiàn)度指標(biāo)的提出,將研究引向?qū)?jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)宏觀拓?fù)淠Ｊ街械挠绊懥Φ年P(guān)注,是本方法的一個(gè)獨(dú)特貢獻(xiàn)。無疑,關(guān)鍵連接點(diǎn)對(duì)團(tuán)間連接的穩(wěn)定性起到很大作用,如果要迅速切斷團(tuán)間聯(lián)系,改變網(wǎng)絡(luò)的宏觀拓?fù)涓窬?首先攻擊關(guān)鍵連接點(diǎn)(如海豚網(wǎng)中的SD100)是最有效的方法。團(tuán)間連接貢獻(xiàn)度這一定義的基礎(chǔ)來自于對(duì)團(tuán)與團(tuán)連接關(guān)系(Z)的定量刻畫,這個(gè)定量關(guān)系用以往的模糊隸屬度概念無法得到。由

32、于W有明確的物理含義,使得由W導(dǎo)出的團(tuán)—團(tuán)關(guān)系Z也具有了物理含義,這對(duì)網(wǎng)絡(luò)的宏觀拓?fù)浞治龇浅?有利。 </p><p><b>　　6 結(jié)束語 </b></p><p>　　針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)交疊團(tuán)現(xiàn)象,本文給出了一個(gè)新的聚類后模糊分析框架。它不僅能對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模糊聚類,而且支持對(duì)交疊結(jié)構(gòu)的模糊分析,如關(guān)鍵點(diǎn)的識(shí)別和網(wǎng)絡(luò)宏觀拓?fù)鋱D的提取。使用這些新方法、新指標(biāo)能夠深入挖掘潛藏

33、于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫畔?。從本文的聚類后分析不難看出,網(wǎng)絡(luò)模糊聚類的作用不僅在于聚類本身,還在于模糊聚類結(jié)果能夠?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)拓?fù)渖钊敕治龊托畔⑼诰蛱峁┲С?而硬聚類則不能。今后將致力于對(duì)團(tuán)間連接貢獻(xiàn)度指標(biāo)進(jìn)行更為深入的統(tǒng)計(jì)研究。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn): </b></p><p><b>　　[1] </b></p><p&g

34、t;　　趙鳳霞,謝福鼎.基于K-means聚類算法的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)發(fā)現(xiàn)新方法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究,2009,26(6):2041-2043,2049. </p><p>　　[2]汪小帆,劉亞冰.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的社團(tuán)結(jié)構(gòu)算法綜述[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2009,38(5):537-543. </p><p>　　[3]NEWMAN M E J.Modularity and community

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