1、第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,本章要點：傅里葉級數和傅里葉級數的性質傅里葉變換和傅里葉變換的性質周期信號和非周期信號的頻譜分析周期信號的傅里葉變換LTI系統(tǒng)的頻域分析取樣定理,信號分解為正交函數與矢量分解為正交矢量類似,一、正交矢量：,定義：如果兩個矢量 和 相互垂直，則稱 和 為正交矢量。,設在平面上，兩個矢量 和 夾角為?， 在 上的投影為,§4.1信號分解為正交函數,其誤

2、差矢量為：,1、要用一個矢量分量去代表原矢量，當分量是原矢量的垂直投影時，誤差矢量最?。?若用 來近似表示 ，則表達式為：,,§4.1信號分解為正交函數,,2、若從解析角度考慮c12的取值問題，可令誤差矢量的平方最小：,C12標志著兩個矢量相互接近的程度。,§4.1信號分解為正交函數,二、正交函數：,設在時間區(qū)間（t1，t2）內，兩函數f1(t)，f2(t)。 用f1(t)在f2

3、(t)中的分量c12f2(t)來表示f1(t)。即：,這個概念可推廣到n維空間。,平面上任意矢量在直角坐標系中可分解為兩個正交矢量的組合。,§4.1信號分解為正交函數,設誤差函數為：,為使f1(t)和f2(t)達到最佳近似，用均方誤差：,§4.1信號分解為正交函數,§4.1信號分解為正交函數,當c12為0時，表示兩個函數正交。 c12為f1(t)與f2(t)的相關系數。由此，給出正交函數的定義：,

4、67;4.1信號分解為正交函數,1、 在[t1,t2]區(qū)間上定義的非零實函數f1(t)與f2(t)，若滿足條件：,則函數f1(t)與f2(t)為區(qū)間[t1,t2]上的正交函數,2、 若 f1(t)與f2(t)是復變函數，則 f1(t)與f2(t)在[t1,t2]區(qū) 間上正交的條件是：,正交函數的定義：,§4.1信號分解為正交函數,三、正交函數集：,定義：在[t1,t2]區(qū)間上定義的n個非零實函數集 g1(t),

5、 g2(t) ,…,gn(t)，其中任意兩個函數gi(t)、 gj(t)均滿足：,其中，ki為常數，稱此函數集為正交函數集,§4.1信號分解為正交函數,任意一個函數f(t)在區(qū)間[t1,t2]內，可以用這n個正交函數的線性組合來近似表示：,在使近似式的均方誤差最小的情況下，可分別求得系數c1,c2,…,cn：,§4.1信號分解為正交函數,§4.1信號分解為正交函數,四、完備正交函數集,在區(qū)間[t1,t2

6、]內，用正交函數集g1(t),g2(t) ,...,gn(t)，來近似表示函數f(t)，其方均誤差為 ：,§4.1信號分解為正交函數,所謂完備，是指對任意函數f(t)，都可以用一無窮級數表示：,此級數收斂于f(t)。上式即f(t)的正交分解。,§4.1信號分解為正交函數,常用的完備正交函數集:,1、三角函數集： 函數1，cos?t,cos2?t, …,cosn?t,...,sin?t, sin2?t,… ,sin