1、電力系統(tǒng)分析——穩(wěn)定性分析,研究生學位課：,第二章 電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)過程分析 第一節(jié) 概 述 在電力系統(tǒng)發(fā)生故障或操作后，將產生復雜的電磁暫態(tài)過程和機電暫態(tài)過程，電磁暫態(tài)過程主要指各元件中電場和磁場以及相應的電壓和電流的變化過程，機電暫態(tài)過程則指由于發(fā)電機和電動機電磁轉矩的變化所引起電機轉子機械運動的變化過程。雖然電磁暫態(tài)過程和機電暫態(tài)過程同時發(fā)生并且相互影響，但是要對它們統(tǒng)一分析卻十分復雜。

2、,由于這兩個暫態(tài)過程的變化速度實際上相差很大，在工程上通常近似地對它們分別進行分析。例如：在電磁暫態(tài)過程分析中，常不計發(fā)電機和電動機的轉速變化。而在靜態(tài)穩(wěn)定性和暫態(tài)穩(wěn)定性等機電暫態(tài)過程分析中，則往往近似考慮或甚至忽略電磁暫態(tài)過程。只有在分析由發(fā)電機組軸系引起的次同步諧振現(xiàn)象，計算大擾動后軸系的暫態(tài)扭矩等問題中，才不得不同時考慮電磁暫態(tài)過程和機電暫態(tài)過程。,電磁暫態(tài)過程分析的主要目的：在于分析和計算故障或操作后可能出現(xiàn)的暫態(tài)過電壓

3、和過電流，以便對電力設備進行合理設計，確定已有設備能否安全運行，并研究相應的限制和保護措施。對于研究新型快速繼電保護裝置的動作原理，故障點探測原理以及電磁干擾等問題，也常需要進行電磁暫態(tài)過程分析。,由于電磁暫態(tài)過程變化很快，一般需要分析和計算持續(xù)時間在毫秒級以內的電壓、電流瞬時值變化情況，因此，在分析中需要考慮：元件的電磁耦合計及輸電線路分布參數(shù)所引起的波過程有時甚至要考慮線路三相結構的不對稱線路參數(shù)的頻率特性以及電暈等因素的

4、影響電磁暫態(tài)過程的分析方法可以分為兩類：一類是應用暫態(tài)網絡分析儀—TNA ( Transient Network Analyzer) 的物理模擬方法。,另一類是數(shù)值計算(或稱數(shù)字仿真)方法即列出描述各元件和全系統(tǒng)暫態(tài)過程的微分方程，應用數(shù)值方法進行求解。隨著數(shù)字計算機和計算方法的發(fā)展，現(xiàn)在已研究和開發(fā)出一些比較成熟的數(shù)值計算方法和程序。其中由H.W.Dommel創(chuàng)建的電磁暫態(tài)程序—EMTP (Electromegnatic Tr

5、ansient Program)，經過許多人的共同工作進行不斷改進和完善后，已具有很強的計算功能和良好的計算精度，并包括了發(fā)電機、軸系和控制系統(tǒng)動態(tài)過程的模擬，使之能用于次同步諧振問題的分析。這一程序已得到國際上的普遍承認和廣泛應用，并仍在繼續(xù)發(fā)展。,本章將主要介紹EMTP的基本數(shù)學模型和計算方法，重點在于闡述其基本原理，以作為同學們使用和進一步深入了解這一程序和其它有關程序，乃至研究和開發(fā)新程序的基礎。,第二節(jié) 電磁暫態(tài)過程數(shù)值計

6、算的基本方法 對于電力系統(tǒng)中的并聯(lián)電抗器、并聯(lián)和串聯(lián)電容器等集中參數(shù)元件，或可以近似處理成集中參數(shù)的元件(如變壓器和短線路)，總可以列出描述其暫態(tài)過程中電壓和電流間關系的常微分方程(純電阻參數(shù)元件則為代數(shù)方程)，然后應用數(shù)值方法進行求解。 由于隱式梯形積分法比較簡單而且具有相當?shù)木群土己玫臄?shù)值穩(wěn)定性，并能較好地適應剛性微分方程組，因此在EMTP和其它一些電磁暫態(tài)程序中大多采用這種積分方法。,上述常微分方程在采用隱式梯形積分法時，

7、在一個積分步長?t內(例如由t-?t到t)將被轉換成相應的差分方程。它描述了t 時刻的電壓、電流與 t-?t 時刻的電壓、電流之間的相互關系，而t-?t 時刻的電壓和電流是前一個步長的計算結果，對于本步長來說是已知量。進而，這些差分方程可以用一種由純電阻和電流源構成的電路來代替，以反映 t 時刻未知電壓和電流之間的關系，其中的電阻決定于元件的參數(shù)和積分步長，而電流源則決定于t-?t 時刻的電壓和電流值。這種電路稱為暫態(tài)等值計算電路。

8、,在暫態(tài)過程中，對于長線等分布參數(shù)元件，其電壓和電流之間的關系應由偏微分方程來描述。在單根導線并且不計損耗的情況下，t 時刻線路兩端電壓、電流之間的關系，可以由偏微分方程的解析解轉換成用純電阻和電流源構成的暫態(tài)等值計算電路，其中的電阻決定于線路參數(shù)，電流源的取值則決定于t-? 時刻(t 為線路上電磁波的傳播時間)的電壓、電流。對于有損線路，在作適當近似處理后仍可沿用類似的暫態(tài)等值計算電路。,這樣，根據各元件之間的實際接線方式，將它們

9、的暫態(tài)等值計算電路進行相應的連接，便可組成一個帶有已知電流源的純電阻網絡。對這一網絡進行求解，即可以得出 t 時刻各個元件的電壓和電流。依次對各個步長進行遞推計算，便可求得整個暫態(tài)過程的數(shù)值解。上述方法僅限于元件參數(shù)為常數(shù)的情況，對于飽和電抗器、避雷器等非線性元件，還需作特殊處理。以上便是本節(jié)所要介紹的電磁暫態(tài)過程數(shù)值計算的基本原理。,在介紹具體方法以前，先引出隱式梯形積分公式，以便應用。對于常微分方程，即 在t-?t

10、到t積分步長內的隱式梯形積分公式(以下簡稱梯形積分公式)為,一、集中參數(shù)元件的暫態(tài)等值計算電路 1．電感元件 對于圖2-1(a)所示的電感電路，可以列出其微分方程，即,應用梯形積分公式，可將它化為下列差分方程 很明顯，式(2-2)中t 時刻的電壓、電流關系可以用圖2-1(b)所示的等值電路代替，并稱之為暫態(tài)等值計算電路。其中，RL是積分計算中反映電感L的等值電阻、當步長?t固定時它為

11、定值； IL(t-?t)是t時刻的等值電流源，由t-?t時刻的電流和電壓按式(2-4)計算而得。,對于積分的第一個時段，t=?t，t-?t＝0，式(2-4)右端的電流和電壓將是它們的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而對于其它時段則是前一個時段的計算結果。在實際計算中，為了省去對電感支路電流 ijk(t-?t)的計算，可應用對應于t-?t時刻的電流、電壓關系式(2-2)，將式(2-4)改寫成下列遞推形式

12、 (2-5) 并用式(2-5)進行電流源的遞推計算，當然，在起步時仍需應用式(2-4)來計算相應的電流源。,2．電容元件 仿照電感元件的方法，可以導出圖2-2(a) 所示電容電路的暫態(tài)等值計算電路[見圖 2-2(b)]。,相應的計算公式為電流源的遞推計算式為,3

13、．電阻元件 圖2-3所示的電阻元件電路，其電壓、電流的關系為代數(shù)方程，即 (2-10) 它直接描述了t 時刻的電壓和電流之間的關系，因此，圖2-3中的電路本身就是它的暫態(tài)等值計算電路。,以上給出了單個L、C、R元件的暫態(tài)等值計算電路。當一集中參數(shù)元件同時

14、含有幾個參數(shù) (例如R、L串聯(lián))時，可以分別作出它們的暫態(tài)等值計算電路，然后進行相應的連接。另外，對于并聯(lián)電抗器和并聯(lián)電容器等接地元件，可以在暫態(tài)等值計算電路中令其接地端電壓為零。 暫態(tài)等值計算電路又稱等值計算電路。后面在不引起混淆的情況下，將它簡稱為等值電路。,二、單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆(Bergeron)等值計算電路 在電磁暫態(tài)過程分析中，輸電線路分布參數(shù)的影響可以用兩種方法處理：一種是將線路適當

15、地分成若干段，每段用?型或T型集中參數(shù)電路代替，再將其中的各個參數(shù)用前面介紹的等值計算電路表示；另一種方法是直接導出并采用線路的暫態(tài)等值計算電路。,(一)單根無損線路的暫態(tài)等值計算電路 對于圖2—5(a)所示的單根無損線路，,設單位長度的電感L0和電容C0均為常數(shù)，則可以列出下列偏微分方程

16、 （2-11） 可將式(2—11)改寫為二階波動方程，即 （2-12）式中： 為沿線電磁波的傳播速度。,式(2—12)

17、的通解為： （2-13） 在式中，與f1(x-vt)有關的項反映速度為v的前行波，與 f2(x+vt)有關的項反映速度為v的反行波， 為線路的波阻抗。 將式(2-13)的第二式兩端乘以

18、ZC ，再與其第一式分別相加和相減后，得 （2-14） （2-15） 貝

19、瑞隆應用此兩式所表示的任一點電壓、電流線性關系，在已知邊界條件和起始條件下計算了線路上的電壓、電流。,這里并不直接應用貝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推導線路兩端的等值計算電路。 在式(2-14)中，分別令x＝0和x=l , 則由圖2-5(a)知u(0,t)＝uj(t)， i(0,t)＝ijk(t)， u(l,t)＝uk(t) ， i(l,t)＝-ikj(t) 。于是得

20、 (2-16) (2-17) 在式(2-16)中，將t換成t-?(? =l/v，為電磁波由線路一端到達另一端所需的時間），于是

21、式（2-16）變?yōu)椋?（2-18） 將式(2-18)與式(2-17)進行比較，可以導出

22、（2-19）,式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意義為： t-?時刻在j端的前行波，在t時刻到達k端。 式(2-19)可改寫為 (2-20)

23、 (2-21) 采用相同的方法，由式(2-15)可以導出 (2-22)

24、 (2-23) 式(2-22)、(2-23)的物理意義為：t-?時刻在k端的反行波，在t時刻到達j端。,式(2-20)~(2-23)給出了t時刻線路一端電流、電壓與t-?時刻另一端電流、電壓之件的關系。不難看出，這組關系可以用圖2-5（b)所示的暫態(tài)等值計算電路（又稱貝瑞隆等值計算電路)來反映。 它將分布參數(shù)線路的波過程轉化為僅含電阻和電流源的

25、集中參數(shù)電路，線路兩端間的電磁聯(lián)系由反映t-?時刻兩端電壓、電流的等值電流源來實現(xiàn)，而無直接拓撲聯(lián)系。,這樣，在已知t-?時刻線路兩端電壓和電流值的情況下，可以分別應用式 (2-21)和式(2-23)求出兩端的等值電流源，然后，應用式(2-20)和式(2-22)或圖2-5(b)中的等值計算電路，便可分別得出t時刻兩端電流和電壓的關系式，從而將它們用于全網在t時刻的數(shù)值計算。必須指出，由于式(2-20)~(2-23)是由式(2-12)波

26、動方程的解析解經嚴格推導而得出的，因此它與所采用的積分步長?t無關。 等值電流源經過適當推導可以改寫為下列遞推形式,(二)線路損耗的近似處理 在一般情況下，線路絕緣的漏電損耗很小，常忽略不計。至于電暈所引起的損耗則屑于專門研究課題，已超出本書范圍。因此，這里限于考慮線路電阻的影響。 當計及線路分布電阻時，就不能象無損線路那樣導出其簡單的等值計算電路，而在工程計算中往往采用近似的處理方法。例如，在E

27、MTP中，將整個線路適當?shù)胤殖蓭锥?，每段視為無損線路，而將各段的總電阻進行等分后分別集中在該段無損線路的兩端。顯然，分段數(shù)愈多，則愈接近于分布電阻情況。但根據計算經驗，在一般線路長度下，分為兩段便可以滿足工程計算的精度要求。,圖2-6(a)所示為線路被等分為兩段,為了避免新增節(jié)點，將圖2-6(b)等值簡化為圖2-6(c),另版——34張第二節(jié) 電磁暫態(tài)過程數(shù)值計算的基本方法 對于電力系統(tǒng)中的并聯(lián)電抗器、并聯(lián)和串聯(lián)電容器等集中參數(shù)

28、元件，或可以近似處理成集中參數(shù)的元件(如變壓器和短線路)，總可以列出描述其暫態(tài)過程中電壓和電流間關系的常微分方程(純電阻參數(shù)元件則為代數(shù)方程)，然后應用數(shù)值方法進行求解。 由于隱式梯形積分法比較簡單而且具有相當?shù)木群土己玫臄?shù)值穩(wěn)定性，并能較好地適應剛性微分方程組，因此在EMTP和其它一些電磁暫態(tài)程序中大多采用這種積分方法。,上述常微分方程在采用隱式梯形積分法時，在一個積分步長?t內(例如由t-?t到t)將被轉換成相應的差分方程。它

29、描述了t 時刻的電壓、電流與 t-?t 時刻的電壓、電流之間的相互關系，而t-?t 時刻的電壓和電流是前一個步長的計算結果，對于本步長來說是已知量。進而，這些差分方程可以用一種由純電阻和電流源構成的電路來代替，以反映 t 時刻未知電壓和電流之間的關系，其中的電阻決定于元件的參數(shù)和積分步長，而電流源則決定于t-?t 時刻的電壓和電流值。這種電路稱為暫態(tài)等值計算電路。,在暫態(tài)過程中，對于長線等分布參數(shù)元件，其電壓和電流之間的關系應由偏微分

30、方程來描述。在單根導線并且不計損耗的情況下，t 時刻線路兩端電壓、電流之間的關系，可以由偏微分方程的解析解轉換成用純電阻和電流源構成的暫態(tài)等值計算電路，其中的電阻決定于線路參數(shù)，電流源的取值則決定于t-? 時刻(t 為線路上電磁波的傳播時間)的電壓、電流。對于有損線路，在作適當近似處理后仍可沿用類似的暫態(tài)等值計算電路。,這樣，根據各元件之間的實際接線方式，將它們的暫態(tài)等值計算電路進行相應的連接，便可組成一個帶有已知電流源的純電阻網絡

31、。對這一網絡進行求解，即可以得出 t 時刻各個元件的電壓和電流。依次對各個步長進行遞推計算，便可求得整個暫態(tài)過程的數(shù)值解。上述方法僅限于元件參數(shù)為常數(shù)的情況，對于飽和電抗器、避雷器等非線性元件，還需作特殊處理。以上便是本節(jié)所要介紹的電磁暫態(tài)過程數(shù)值計算的基本原理。,在介紹具體方法以前，先引出隱式梯形積分公式，以便應用。對于常微分方程，即 在t-?t到t積分步長內的隱式梯形積分公式(以下簡稱梯形積分公式)為,一、集中參數(shù)

32、元件的暫態(tài)等值計算電路 1．電感元件 對于圖2-1(a)所示的電感電路，可以列出其微分方程，即,應用梯形積分公式，可將它化為下列差分方程 很明顯，式(2-2)中t 時刻的電壓、電流關系可以用圖2-1(b)所示的等值電路代替，并稱之為暫態(tài)等值計算電路。其中，RL是積分計算中反映電感L的等值電阻、當步長?t固定時它為定值； IL(t-?t)是t 時刻的等值電流源，由t-?t時刻的電流和電

33、壓按式(2-4)計算而得。,對于積分的第一個時段，t=?t，t-?t＝0，式(2-4)右端的電流和電壓將是它們的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而對于其它時段則是前一個時段的計算結果。在實際計算中，為了省去對電感支路電流 ijk(t-?t)的計算，可應用對應于t-?t時刻的電流、電壓關系式(2-2)，將式(2-4)改寫成下列遞推形式

34、 (2-5) 并用式(2-5)進行電流源的遞推計算，當然，在起步時仍需應用式(2-4)來計算相應的電流源。,2．電容元件 仿照電感元件的方法，可以導出圖2-2(a) 所示電容電路的暫態(tài)等值計算電路[見圖 2-2(b)]。,相應的計算公式為電流源的遞推計算式為,3．電阻元件 圖2-3所示的電阻元件電路，其電壓、電流的關系

35、為代數(shù)方程，即 (2-10) 它直接描述了t 時刻的電壓和電流之間的關系，因此，圖2-3中的電路本身就是它的暫態(tài)等值計算電路。,以上給出了單個L、C、R元件的暫態(tài)等值計算電路。當一集中參數(shù)元件同時含有幾個參數(shù) (例如R、L串聯(lián))時，可以分別作出它們的暫態(tài)等值計算電

36、路，然后進行相應的連接。對于并聯(lián)電抗器和并聯(lián)電容器等接地元件，可以在暫態(tài)等值計算電路中令其接地端電壓為零。暫態(tài)等值計算電路又稱等值計算電路。后面在不引起混淆的情況下，將它簡稱為等值電路。,二、單根分布參數(shù)線路的貝瑞隆(Bergeron)等值計算電路 在電磁暫態(tài)過程分析中，輸電線路分布參數(shù)的影響可以用兩種方法處理：一種是將線路適當?shù)胤殖扇舾啥危慷斡?型或T型集中參數(shù)電路代替，再將其中的各個參數(shù)用前面介紹的等值計算電路表示；另一

37、種方法是直接導出并采用線路的暫態(tài)等值計算電路。,(一)單根無損線路的暫態(tài)等值計算電路 對于圖2-5(a)所示的單根無損線路，,設單位長度的電感L0和電容C0均為常數(shù)，則可以列出下列偏微分方程 （2-11） 可

38、將式(2—11)改寫為二階波動方程，即 （2-12） 式中： 為沿線電磁波的傳播速度。,式 (2-12)的通解為：

39、 （ 2-13） 在式中，與f1

40、(x-vt)有關的項反映速度為v的前行波，與 f2(x+vt)有關的項反映速度為v的反行波， 為線路的波阻抗。,將式(2-13)的第二式兩端乘以ZC ，再與其第一式分別相加和相減后，得 （2-14）

41、 （2-15） 貝瑞隆應用此兩式所表示的任一點電壓、電流線性關系，在已知邊界條件和起始條件下計算了線路上的電壓、電流。 我們并不直接應用貝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推導線路兩端的等值計算電路。,在式(2-14)中，分別令 x＝0 和 x=

42、l , 則由圖2-5(a)知u(0,t)＝uj(t)， i(0,t)＝ijk(t)， u(l,t)＝uk(t) ， i(l,t)＝-ikj(t) 。于是得 (2-16)

43、 (2-17) 在式(2-16)中，將 t 換成t-? (? =l/v，為電磁波由線路一端到達另一端所需的時間），于是式（2-16）變?yōu)椋?（2-18） 將式(2-18)與

44、式(2-17)進行比較，可以導出 （2-19）,式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意義為： t-? 時刻在j端的前行波，在t 時刻到達 k 端。 式(2-19)可改寫為

45、 (2-20) (2-21) 采用相同的方法，由式(2-15)可以導出

46、 (2-22) (2-23) 式(2-22)、(2-23)的物理意義為：t-? 時刻在 k 端的反行波，在 t 時刻到達 j 端。,式(2-20)~(2-23)

47、給出了t 時刻線路一端電流、電壓與t-?時刻另一端電流、電壓之件的關系。不難看出，這組關系可以用圖2-5(b)所示的暫態(tài)等值計算電路（又稱貝瑞隆等值計算電路)來反映。,它將分布參數(shù)線路的波過程轉化為僅含電阻和電流源的集中參數(shù)電路，線路兩端間的電磁聯(lián)系由反映t-? 時刻兩端電壓、電流的等值電流源來實現(xiàn)，而無直接拓撲聯(lián)系。 這樣，在已知 t-? 時刻線路兩端電壓和電流值的情況下，可以分別應用式 (2-21)和式(2-23)求出兩端的等值電

48、流源，然后，應用式(2-20)和式(2-22)或圖2-5(b)中的等值計算電路，便可分別得出 t 時刻兩端電流和電壓的關系式，從而將它們用于全網在 t 時刻的數(shù)值計算。,必須指出，由于式(2-20)~(2-23)是由式(2-12)波動方程的解析解經嚴格推導而得出的，因此它與所采用的積分步長 ?t 無關。等值電流源經過適當推導可以改寫為下列遞推形式,(二)線路損耗的近似處理 在一般情況下，線路絕緣的漏電損耗很小，常忽略不計。至于電暈所

49、引起的損耗則屑于專門研究課題，已超出本書范圍。因此，這里限于考慮線路電阻的影響。當計及線路分布電阻時，就不能象無損線路那樣導出其簡單的等值計算電路，而在工程計算中往往采用近似的處理方法。例如，在EMTP中，將整個線路適當?shù)胤殖蓭锥?，每段視為無損線路，而將各段的總電阻進行等分后分別集中在該段無損線路的兩端。顯然，分段數(shù)愈多，則愈接近于分布電阻情況。但根據計算經驗，在一般線路長度下，分為兩段便可以滿足工程計算的精度要求。,圖2-6(a)

50、所示為線路被等分為兩段,為了避免新增節(jié)點，將圖2-6(b)等值簡化為圖2-6(c),,三、暫態(tài)等值計算網絡的形成及求解 前面介紹的各種元件，在時刻t 的等值計算電路都由等值電阻和電流源組成。當電力網由這些元件構成時，將各元件的等值計算電路按照電網的實際接線情況進行相應的連接后，便形成一個由純電阻和電流源組成的網絡。顯然，這一網絡反映了t 時刻各元件本身及其相互之間的電壓、電流關系，因此稱它為t 時刻的暫態(tài)等值計算網絡，或簡稱等值計算

51、網絡。,在t 時刻外施電源和各等值電流源都已知的情況下，將可以對等值計算網絡進行求解，從而得出該時刻各元件的電壓和電流。然后，用所得結果即可求出t+?t 時刻各電流源的取值，再求解相應的等值計算網絡，便可得出t+?t 時刻各元件的電壓和電流。這樣，從t=0 時刻開始，網絡電磁暫態(tài)過程的計算，實際上便轉化為在各個離散時刻對等值計算網絡的求解。在計算過程中將涉及到等值計算網絡的求解方法、等值電流源的計算和外施電源的處理等問題，現(xiàn)依次介

52、紹如下。,(一)等值計算網絡的節(jié)點方程 在電磁暫態(tài)過程計算中，等值計算網絡常用節(jié)點方程，即 Gu＝i (2-28) 來表示。對于時刻t ,節(jié)點方程中的u為由該時刻各節(jié)點電壓所組成的列向量；i 為由各節(jié)點注入電流組成的列向量(每一節(jié)點的注入電流為t 時刻等值計算網絡中與該節(jié)點相連的各等值電流源以及外施電流源的代數(shù)和)；G為等值計

53、算網絡的節(jié)點電導矩陣(它由各元件的等值電阻構成，其形成方法與潮流計算中形成網絡節(jié)點導納矩陣Y相仿)。不難看出，當網絡中分布參數(shù)線路用等值計算電路表示時，由于線路兩端無直接聯(lián)系， 矩陣G 將比Y 更為稀疏。 因此， 式 (2-28)常用稀疏技巧求解。,(二)等值電流源的計算計算過程中需求出各個時段各元件等值計算電路中的電流源。 涉及的問題主要是初始時刻電流源取值的計算，電感、電容和分布參數(shù)線路有不同的處理辦法，不一而論。之后

54、采用前面推導的遞推公式計算即可。,(三)外施電源的處理外施電源可能是已知的電流源或電壓源。對于已知的電流源，只需簡單地將它計入相應的節(jié)點注入電流。對于已知電壓源，如果有一電阻元件直接與它串聯(lián)，則可以將電壓源和電阻轉化為等值電流源。,一般的方法是將式(2-28)按已知和未知電壓節(jié)點進行分塊，使之變?yōu)?

55、 （2-29） 式中：uA , iA 和uB , iB 分別為未知和已知電壓節(jié)點的電壓、電流向量。顯然uB， iA為已知量，故由式(2-29)可以導出 GAAuA=iA-GABUB (2-30) 用上式來求解各未知電壓節(jié)點的電壓uA。,(四)暫態(tài)過程計算的主要流程 考慮具有外施電壓源并應用節(jié)點方程式(2-30