1、流體靜力學(xué),電子教案,研究平衡流體的力學(xué)規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。,什么是平衡？,平衡包括兩種： 1、絕對平衡：重力場中的流體平衡 流體對地球無相對運動； 2、流體的相對平衡 流體整體對于地球有相對運動，但流體質(zhì)點間無相對運動。,§2.1 作用在流體上的力,1. 質(zhì)量力,2. 表面力,定義：作用在流體質(zhì)點上，大小與流體質(zhì)點質(zhì)量成正比的力，它

2、是非接觸力，有些教材也稱為超常力。,2.1.1 質(zhì)量力,另：除了和質(zhì)量有關(guān)的重力和慣性力，流體還可能受到其他一些非接觸力，如電場力和磁場力，這些力雖然與流體質(zhì)量無直接關(guān)系，在靜力學(xué)分析中，仍把它們稱為質(zhì)量力。,定義：作用在流體表面上，且與表面積大小成正比 的力。表面力分為兩種：一種是沿著表面內(nèi)法線方向的壓力，一種是沿著表面切向的摩擦力。 ?法向力（流體靜壓力）,2.1.2 表面力,?切向力（平衡流體?=0）,流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時，

3、在流體內(nèi)部或流體與固體壁面間存在的單位面積上負的法向表面力。,,,Ⅰ,Ⅱ,圖2－1,歸納兩點：1、平衡流體內(nèi)不存在切向應(yīng)力，表面力即為 法向應(yīng)力（即靜壓強）；2、絕對平衡流體所受質(zhì)量力只有重力，相對 平衡流體可能受各種質(zhì)量力的作用。,,,流體靜壓力是作用在受壓面上的總作用力矢量（具有大小、方向、作用點），單位符號是N，用大寫字母 來表示。它的大小和方向均與受壓面有關(guān)，方向是沿受壓面內(nèi)法線方向。,流

4、體的壓強則是一點上靜壓力的強度，單位符號Pa,用小寫字母p來表示。它是一個標(biāo)量，只有大小沒有方向。,流體靜壓力和流體靜壓強區(qū)別,1、流體靜壓強的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向。2、流體靜壓強具有等值性：靜止流體內(nèi)部任意一點的流體靜壓強在各方向等值，即 故平衡流體內(nèi)任一點處的靜壓強的數(shù)值與其作用面的方向無關(guān)，它只是該點空間坐標(biāo)的函數(shù)。證明：在平衡流體中取出一微小四面體ABOC，考察其在外力作用下的平衡條件。,,,,流體靜壓強兩個重

5、要特性,表面力,各個面上的靜壓力,?ABC — 斜面面積,,,,質(zhì)量力若,則：,,質(zhì)量力在三個坐標(biāo)方向上的投影,,, x 方向上的力平衡方程式（?Fx= 0）px1/2dydz ? pn · ?ABC·cos(n,^x) + ?1/6dxdydz fx = 0因?ABC·cos(n,^x) = 1/2dydz (?ABC在yoz平面上

6、 的投影)則： 1/2dydz ( px – pn ) + ?/6·dxdydz fx = 0 略去三階微量 dxdydz.可得： px = pn,,,同理： 在 y 方向上有

7、 py = pn 在 z 方向上有 pz = pn則有： px = py = pz = pn即：平衡流體中某點處所受的靜壓強是各向同 性的。 靜壓強是一個標(biāo)量。其大小由該點所處的空間位置決定。 p = p ( x、y、z ),,,§2.2流體平衡微分方程式,2.2.1

8、 流體平衡微分方程式的導(dǎo)出,從靜止流體中取出一個邊長為dx、dy、dz的微元平行六面體，對其進行受力分析。,流體平衡微分方程導(dǎo)出示意圖,1、質(zhì)量力dFmx = ?dxdydz fxdFmy = ?dxdydz fydFmz = ?dxdydz fz,,,分析微小正平行六面體微團受力：,2、表面力先討論沿 x 軸方向的表面力。形心A( x、y、z ) 處的靜壓強為pA( x、y、z )距A點 x 軸方向上 ?1/2dx 處的前

9、、后兩個面上的表面力分別為：,,,,由于微元六面體處于平衡狀態(tài)，故在X方向有：化簡，得同理可求得y、z方向的平衡方程。,,,流體平衡微分方程式（歐拉平衡方程式 ）,矢量形式：方程物理意義：在靜止流體中，作用在單位質(zhì)量流體上的 質(zhì)量力與作用在該流體表面上的表面力相互平衡。,歐拉平衡方程是平衡流體中普遍適用的一個基本公式，因為在推導(dǎo)過程中，質(zhì)量力是空間任意方向，故它既適應(yīng)于絕對靜止，也適于相對靜止。同時推導(dǎo)過程中也

10、不涉及流體的密度是否發(fā)生變化，故它不僅適應(yīng)于不可壓縮流體，也適于可壓縮流體。流體靜力學(xué)的一切其它計算公式都是以它為基礎(chǔ)面推導(dǎo)出來的。,,2.2.2 歐拉平衡方程式的綜合形式,,靜壓強的全微分,◆ 質(zhì)量力的勢函數(shù),,,,,,有,結(jié)論：只有在有勢的質(zhì)量力作用下，不可壓縮流體才能處 于平衡狀態(tài)。,2.2.3 等壓面,1、流體中壓強相等的點組成的面叫等壓面。,方程：,2、等壓面的選取 （1）同種流體；

11、 （2）靜止； （3）連續(xù)。,例1：1、2、3、4各點是否處在一個等壓面上？各點壓強的大小關(guān)系如何。,液體與氣體的分界面，即液體的自由液面就是等壓面，其上各點的壓強等于在分界面上各點氣體的壓強。,互不摻混的兩種液體的分界面也是等壓面。,2.3.1 不可壓縮流體的靜壓強基本公式綜合方程：現(xiàn)故有：積分有：即： (靜壓強基本公式),§2.3 重力場中

12、的平衡流體,—— 重力作用下、連續(xù)、均質(zhì)、不可壓縮流體 的靜壓強基本公式（靜力學(xué)基本方程）。,,,如圖若 1、2 兩點是流體中的任意兩點，則上式可寫成 ：,Z：單位重力流體的位置勢能 ：單位重力流體壓強勢能物理意義：平衡流體中任意點的總勢能（包括位置勢能和壓強勢能）保持不變。使用條件：重力場、不可壓縮流體,（1）靜壓強基本方程的物理意義,單位重力流體所具有的能量也可以用液

13、柱高度來表示，并稱水頭。 Z ：位置水頭 ：壓強水頭,（2）靜壓強基本方程的幾何意義,流體的靜水頭線和計示水頭線,流體靜力學(xué)基本方程幾何意義：在重力作用下的連續(xù)均質(zhì)不可壓縮靜止流體中，靜水頭線和計示靜水頭線均為水平線。,（3）靜壓強分布規(guī)律,1、2兩點同種液體、靜止、連續(xù)，且在同一高度，是同一等壓面；（重力場中等壓面是水平面）2、3兩點不滿足連續(xù)條件，壓強不一定相等；3、4兩點不滿足同種液體條件，壓強不一定相等

14、；事實上，,§2.4 靜壓強的計算與測量,2.4.1 靜壓強的計算單位流體靜壓強的國際法定應(yīng)力單位是Pa(1 Pa =1N/m2 )， KPa, MPa 。應(yīng)力單位多用于理論計算。 工程中習(xí)慣上用如下兩種換算單位:1)液柱高單位 液柱高 液柱高度位有米水柱(mH2O)、毫米汞柱(mmHg)等, 多用于實驗室計量 。2 )大氣壓單位 1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(atm)=101325Pa=76

15、0mmHg大氣壓單位多用于機械或航天行業(yè) 。,,國外：bar (巴) 1 bar = 105 Pa psi (巴斯) 1 psi = 6.89 KPa,(1)絕對壓強：以絕對真空為起點計算壓強大小。(2)計示壓強：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽榱阌嬎愕膲簭?，比?dāng)?shù)卮髿鈮捍蠖嗌俚膲簭?，叫做計示壓強或表壓強?3)真空度：某點壓強低于當(dāng)?shù)卮髿鈮?，其低于?dāng)?shù)卮髿鈮旱臄?shù)值叫真空度。,2.4.2 靜壓強的計算標(biāo)準(zhǔn)

16、,絕對壓強、相對壓強、真空度,絕對壓強是以絕對真空為起點，其值恒大于0；相對壓強是以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽槠瘘c，其值可正可負，也可為0.相對壓強又稱計示壓強；相對壓強小于0時，其數(shù)值的絕對值又稱真空度。,真空度,金屬式壓力表 —— 機械式,壓力傳感器 —— 電測法,液柱式測壓計 —— 基于以靜壓強基本公式,,,2.4.3 靜壓強的測量,（1）測壓管（最簡單的液柱式測壓計）,預(yù)測量容器（管道）中某點A壓強，在容器（管道）該點處開一個小孔，接測壓

17、管（管內(nèi)徑一般大于5mm)，液體在壓強作用下升高，可測出高度h ,繼而得到A點的計示壓強。測壓管測壓計結(jié)構(gòu)簡單，測量準(zhǔn)確。但存在限制條件：1不能測氣體壓強；2.管內(nèi)壓強要大于當(dāng)?shù)卮髿鈮海?.測點A壓強不能過高；,預(yù)測量容器中氣體的真空度,容器中的真空度 P=?gh,（2）U形管測壓計,(a) p+?1gh1= ?2gh2 ，則計示壓強 p= ?2gh2 - ?1gh1(b) p+?1gh1+ ?2gh2=0 ，則真空度 p=?1

18、gh1+ ?2gh2,（3）差壓計 測量兩點壓差的儀器叫差壓計。,取等壓面1-1，列方程：p1+?1gh1= p2+?2gh2 +?´g?h則 p1 -p2 =?2gh2 +?´g?h- ?1gh1,常用來測量兩容器的壓強差或管路中兩點的壓強差。,（4）傾斜式微壓計（自己看）,測量較小壓強或壓強差的儀器叫微壓計。,實質(zhì)：應(yīng)用幾何原理測壓。,例2. 為了測量高度差為z的兩個水管中的微小壓強差PB-

19、PA,用頂部充有較水輕而與水不相混合的液體的倒U形管。已知A、B管中的液體相對密度d1=d3=1,倒U形管中液體相對密度d2=0.95, h1=h2=0.3m , h3=1m，試求壓強差PB-PA。,解：逐段采用壓強公式，可算出：,,[例題3] 如圖所示測定裝置，活塞直徑d=35mm，油的相對密度d油=0.92,水銀的相對密度d水銀=13.6，活塞與缸壁無泄漏和摩擦。當(dāng)活塞重為15N時，h=700mm，試計算U形管側(cè)壓計的液面高度△h

20、值。（P35 例題2.2),[例題4]如下圖所示，用雙U形管測壓計測量A、B兩點的壓差。已知:,§2.5 平衡流體對壁面的作用力,三峽船閘,2.5.1 作用在平面上的總壓力(水平面、垂直面、斜面),（1）左側(cè)壁面受力,（2）右側(cè)壁面受力,（3）底面受力,平面受力計算公式： ：受力面形心點的壓強 ：受力面面積,1、總壓力,2、積分法求總壓力及作用點,討論與水平成 角的平面,,,則,（1）總壓

21、力,（2）總壓力的作用點,各微總壓力對y軸的力矩之和，等于其合力對y軸的力矩。,,,慣性矩定義,慣性矩移軸定理,總壓力作用點D到y(tǒng)軸垂直距離,偏距,壓力中心點總是低于形心點,,曲面1,曲面2,曲面3,曲面4,曲面5,,,壓力體,壓力體,壓力體,壓力體,壓力體,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例題5：繪出曲面壓力體圖，并標(biāo)出垂直分力的方向,例題6：如圖為一貯水容器，器壁上有三個半球形蓋，設(shè)d=0.5m，h=2m，H=2.5m。試求作用

22、在每個球蓋上的液體總壓力。,解：1、底蓋 底蓋左右兩部分曲面在鉛垂平面上的投影面積相同，故兩部分水平分力大小相等方向相反而抵消。所以液體總壓力，就等于垂直分力： F1=ρgV= ρg【πd2/4× (H+h/2) + π d3/12】 =7063（N） 由于V為實壓力體，故F1的作用方向垂直向下，且通過壓力體中心。 2、頂蓋 水平分力為零，總壓力等于垂直分力。

23、 F2=ρgV= ρg【πd2/4× (H-h/2) - π d3/12】 =2568（N） 由于V為虛壓力體，故F1的作用方向垂直向上，且通過壓力體中心。 3、側(cè)蓋 液體總壓力由垂直分力及水平分力合成，即； FZ3= ρgπ d3/12=321（N） (向下） 由于V為實壓力體，故 FZ3的方向垂直向下，且通過壓力體中心。

24、 Fy3= ρgHAy=4813（N）（這樣即可，要寫成合力的形式，則要求進一步求出合力的方向）,例7 如圖所示一弧形閘門，半徑R=7.5m，擋著深度h=4.8m的水，其圓心角 。旋轉(zhuǎn)軸的位置距底,為H=5.8m，閘門的水平投影CB=a=2.7m，閘門的寬度b=6.4m。試求作用在閘門上的總壓力的大小。,[解] 總壓力的水平分力為,總壓力的垂直分力為,,,解題過程和答案見教材,2.5.3 作用在沉

25、沒物體上的總壓力,物體浸在液體中的位置有三種：(1)物體沉到液體底部，此時物體為沉體；(2)物體潛入液體中的任何位置，此時物體為潛體；(3)物體浮在液體上，此時物體為浮體。液體作用在潛體或浮體上的總壓力叫浮力，浮力的作用點叫浮心。,設(shè)有一任意形狀的物體沉沒在靜止液體中，如圖2.26所示,1、水平力左半部曲面cad與右半部曲面cbd上所受到的水平分壓力 Fy1=Fy2,因而整個潛體水平方向的流體靜壓力為零。,2、豎直力整

26、個潛體沿直方向的流體靜壓力大小為,,綜上所述，液體作用在沉沒物體（潛體）上的總壓力方向垂直向上，大小等于沉沒物體所排開的重量。該力又稱作浮力。這就是阿基米德原理。對于浮體，其浮力大小等于物體浸沒部分所排開液體的重量。,例9 有一比重計其質(zhì)量為40克，它是由體積V=15厘米3的小球和外徑d=2.5厘米的管子構(gòu)成。將其放入煤油中，已知煤油的密度為760千克/米3，求該比重計沉入煤油中的深度h.,解：根據(jù)浮力定義比重計在煤油中所

27、受的浮力為,比重計在圖示情況下平衡時，其平衡條件為,則,相對平衡流體所受的質(zhì)量力：重力 慣性力,§2-6 液體的相對平衡,除了重力場中的流體平衡問題以外，還有一種在工程上常見的所謂液體相對平衡問題：液體質(zhì)點彼此之間固然沒有相對運動，但盛裝液體的容器或機件卻對地面上的固定坐標(biāo)系有相對運動。如果我們把運動坐標(biāo)取在容器或機件

28、上，則對于這種所謂的非慣性坐標(biāo)系來說，液體就成為相對平衡了。,,,工程上常見的流體的相對平衡有兩種： 1、作勻加速直線運動容器中的液體； 2、作等角速旋轉(zhuǎn)運動容器中的液體。,§ 2.6.1 恒加速度直線運動,邊界條件:,等壓面上,Euler 平衡方程,得,則,有,結(jié)論：等加速水平運動容器中的液體等壓面是一組傾斜面。,例題：裝有7cm深水的容器， 1、當(dāng)以 ax=7m/s2旋轉(zhuǎn)時，水是否能否溢出？

29、 2、計算A點壓強。,,It will not spill out !,§ 2.6.2 剛體旋轉(zhuǎn),結(jié)論：等壓面是一組拋物面,等壓面,討論作等角速旋轉(zhuǎn)運動容器內(nèi)液體的相對平衡。,如圖，盛有液體的圓柱形容器繞鉛垂軸 z 以角速度ω作旋轉(zhuǎn)運動，液體被甩向外周。 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度ω穩(wěn)定不變時，液體形成如圖所示的自由表面，液體質(zhì)點之間不再有相對運動,液體連同容器作整體回轉(zhuǎn)。如果將運動坐標(biāo)系固結(jié)在回轉(zhuǎn)容器上,且

30、坐標(biāo)原點取在自由液面的最低點，則液體對運動坐標(biāo)系形成相對平衡。,,容器作等角速回轉(zhuǎn)運動,下面討論其靜壓強分布規(guī)律和等壓面方程。 單位質(zhì)量力 單位質(zhì)量液體所受質(zhì)量力的各分量為： fx = ω2 r cosθ= ω2x fy = ω2 r sinθ = ω2y fz = ? g 式中：r 流體質(zhì)點到旋轉(zhuǎn)軸

31、的距離； x、y r 在兩水平坐標(biāo)軸上的投影。,此時作用在液體上的質(zhì)量力有兩種： 重力 △W = △mg 虛構(gòu)的離心慣性力 △F = △mω2 r （方向與向心加速度的方向相反）,,,,,將各單位質(zhì)量力的分量代入等壓面微分方程式，可得： ω

32、2 x dx + ω2 y dy ? g dz = 0,作不定積分得：,一、等壓面方程 在等壓面上 p = C 則 dp = 0 由平衡微分方程式的綜合表達式可得等壓面微分方程式： fxdx + fydy + fzdz = 0,,,或:,自由表面方程： 在自由表面上，當(dāng) r = 0 時，z = 0，可得積分常數(shù) C = 0，故自由表面方程為：,,,,或:,等角速旋轉(zhuǎn)容器中

33、液體的等壓面方程,可見等壓面是一簇繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。,,,,,則,在Oxy 坐標(biāo)平面以上的旋轉(zhuǎn)拋物體內(nèi)的液體體積為,,,上式說明,圓柱形容器中的旋轉(zhuǎn)拋物體的體積,恰好是高度為最大超高的圓柱形體積之半。,,,,二、靜壓強分布規(guī)律 將前述單位質(zhì)量力的各坐標(biāo)分量代入平衡微分方程式的綜合表達式中， 得： dp =ρ(ω2 x dx +ω2 y dy – g dz),,,,,作不定積分，則,

34、由邊界條件：當(dāng) r = 0 時，z = 0 ； p = p0,,,,可見：等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的靜壓強分布規(guī)律與重力作用下靜止液體中的靜壓強分布規(guī)律形式完全相同。,,,小 結(jié),流體靜力學(xué)主要研究流體在靜止?fàn)顟B(tài)下的力學(xué)規(guī)律。靜止流體中粘性不起作用，表面力只有壓應(yīng)力。所以流體靜力學(xué)的核心問題是以壓強為中心，主要闡述流體靜壓強的特性、歐拉平衡微分方程、靜壓強的分布規(guī)律、作用在平面壁或曲面壁上的靜壓力的計算方法等。,掌握以下基

35、本概念：絕對壓強、相對壓強、真空度、測壓管水頭、壓力體。,掌握靜壓強的兩個重要特性,掌握并熟練運用靜力學(xué)基本方程、靜壓強分布規(guī)律（重力作用下），理解其物理意義，,掌握并能運用歐拉平衡微分方程及其綜合表達式，理解其物理意義，,掌握作用在平面壁和曲面壁上的靜壓力的計算方法。,2-2 2-5 2-9 2-14 2-16 2-22 2-30 2-33 2-34 2-38(紅筆標(biāo)志的是作業(yè)）,,,課后習(xí)