1、（一）力學量的可能值,（二）力學量的平均值,（1） 力學量算符本征函數組成完備系 （2） 力學量的可能值和相應幾率 （3） 力學量有確定值的條件,算符與力學量的關系,（三）例題,測得每個本征值λn的幾率是多少？也就是說，哪些本征 值能夠測到，對應幾率是多少，哪些測不到，幾率為零。,（一）力學量的可能值,量子力學假定: 在任意態(tài)ψ(r)中測量任一力學量 F，所得的結果只能是由算符 F 的本征方程,解得的本征值λn之一。,

2、?,2. 是否會出現各次測量都得到同一個本征值，即有確定值。,假設本征值是離散的,要解決上述問題，我們還得從討論本征函數的另一重要性質入手。,(1) 力學量算符本征函數組成完備系,1. 函數的完備性,例如：動量本征函數 組成完備系,2. 力學量算符的本征函數組成完備系,(I) 滿足一定條件的厄密算符其本征函數組成完備系 即若：,則任意函數ψ(x) 可 按φn(x) 展開：,(II) 除上面提到的動量本征函數外,人們已經證明

3、了一些力學量算符的本征函數也構成完備系，如下表所示：,量子力學：一切力學量算符的本征函數都組成完備系。,（2） 力學量的可能值和相應幾率,在一般狀態(tài) ?(x) 中測量力學量F，將會得到哪些值，即測量的可能值及其每一可能值對應的幾率。,根據量子力學基本假定III，測力學量 F 得到的可能值必是力學量算符 F的本征值 λn n = 1,2,..之一,該本征值由本征方程確定：,每一本征值λn各以一定幾率出現。 那末這些幾率究竟是多少呢？,?,

4、展開系數 cn 與x無關。,,討論：,與波函數ψ(x) 按動量本征函數 展開式比較二者完全相同,ψ(x) 是坐標空間的波函數； c (p) 是動量空間的波函數；則 { cn } 則是 F 空間的波函數，,由于φn(x)組成完備系，所以體系 任一狀態(tài)ψ(x)可按其展開：,證明：當ψ(x)已歸一時，c(p) 也是歸一的，同樣 cn 也歸一。,證：,所以|cn|2 具有幾率的意義，cn 稱為幾率振幅。我們知道|ψ(x)|2 表示

5、在x點找到粒子的幾率密度，|c(p)|2 表示粒子具有動量 p 的幾率，那末同樣，|cn|2 則表示 F 取 λn 的幾率。,綜上所述，量子力學作如下假定：,任何力學量算符 F 的本征函數φn(x)組成正交歸一完備系，在任意已歸一態(tài)ψ(x)中測量力學量 F 得到本征值λn 的幾率等于ψ(x)按φn(x)展開式中對應本征函數φn(x)前的系數 cn 的絕對值平方。,（3） 力學量有確定值的條件,推論：當體系處于ψ(x) 態(tài)時，測量力學量F

6、具有確定值的充要條件是ψ(x) 必須是算符 F的一個本征態(tài)。,證：,1. 必要性。若F具有確定值λ 則ψ(x) 必為 F 的本征態(tài)。,確定值的意思就是 每次測量都為λ 。,根據基本假定III，測量值必為本征值之一， 令λ =λm 是 F 的一個本征值，滿足本征方程,又φn(x) 組成完備系，,相應幾率是： |c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。,現在只測得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=

7、0（除|cm|2外）。 于是得 ψ(x)= ?m(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一個本征態(tài)。,2. 充分性若ψ(x)是F的一個本征態(tài),即ψ(x)= φm(x)，則 F 具有確定值。,根據基本假定IV，力學量算符 F的本征函數組成完備系。,測得λn 的幾率是 |cn|2。,因為,表明，測量 F 得λm 的幾率為 1， 因而有確定值。,,力學量平均值就是指多次測量的平均結果，如測量長度 x，測了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次

8、得 x2，則 10 次測量的平均值為：,在任一態(tài)ψ(x)中測量某力學量 F 的平均值（在理論上）,此式等價于 以前的平均 值公式：,（二）力學量的平均值,波函數是已 歸一化,如果波函數未歸一化,則,波函數和算符必須同一變量的函數,,例1：已知空間轉子處于如下狀態(tài),試問： （1）Ψ是否是 L2 的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是 Lz 的本征態(tài)？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 Ψ 態(tài)中分別測量 L2

9、和 Lz 時得到的可能值及其相應的 幾率。,解：,Ψ沒有確定的L2 的本征值，故Ψ 不是 L2 的本征態(tài)。,Ψ是 Lz 的本征態(tài)，本征值為 ?。,（3）求 L2 的平均值,方法 I,驗證歸一化：,,歸一化波函數,方法 II,（4）,例2 設t=0 時，粒子的狀態(tài)為?(x) = A [ sin2kx+(1/2)coskx ]求粒子的平均動量和平均動能。,解：,可寫成單色平面波的疊加,比較二式，因單色平面波動量有

10、確定值：,或：,從而得：,,歸一化后。|c(pi)|2 表示粒子具有動量為 pi 的幾率，于是就可以計算動量和動能的平均值了。,（1）動量平均值,（2）動能平均值,,定理I：體系任何狀態(tài)ψ下，其厄密算符的平 均值必為實數,證：,,（一）厄密算符的平均值,逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數 的算符必為厄密算符,（1）漲落,于是有:,證明：,（二）厄密算符的本征方程,厄密算符平方的平均值一定大于等于零,,（2

11、）力學量的本征方程,若體系處于一種特殊狀態(tài)， 在此狀態(tài)下測量F所得結果 是唯一確定的，即：,則稱這種狀態(tài)為力學量 F 的本征態(tài)。,可把常數記為Fn，把狀態(tài) 記為ψn，于是得：,其中Fn, ψn 分別稱為算符 F的本征值和相應的本征態(tài)，上式即是算符F的本征方程。求解時，ψ 作為力學量的本征態(tài)或本征函數還要滿足物理上對波函數的要求即波函數的標準條件。,定理II：厄密算符的本征值必為實數,當體系處于 F 的本征態(tài)ψn 時，則每次測量結果

12、都是Fn 。由 本征方程可以看出，在ψn（設已歸一）態(tài)下,證,根據定理 I,（1）正交性,定理III： 厄密算符屬于不同本征值的本征函數彼此正交,證：,設,取復共軛，并注意到 Fm 為實。,,兩邊右乘 φn 后積分,（三）厄密算符的本征函數的正交性,二式相減 得：,若Fm≠Fn，則必有：,非簡并情況,（2）分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式,分立譜正 交歸一條 件為：,連續(xù)譜正 交歸一條 件表示為：,正交歸一系,滿足上式的函數系

13、φn 或φλ 稱為正交歸一（函數）系。,（4）簡并情況,上面證明厄密算符本征函數的正交性時，曾假設 這些本征函數屬于不同本征值，即非簡并情況。,如果 F 的本征值Fn是f度簡并的，則對應Fn有f個本征函數：φn1 ,φn2 , ..., φnf,滿足本征方程：,一般說來，這些函數 并不一定正交。,證明分如下兩步進行,1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函數。,2. 滿足正交歸一條件的 f 個新函數ψn j可以組成。,,1. ψnj是

14、本征值Fn的本征函數。,2. 滿足正交歸一條件的f個新函數ψnj可以組成。,方程的歸一化條件有 f 個，正交條 件有f(f-1)/2 個，所以共有獨立方 程數為二者之和等于 f(f+1)/2 。,為此只需證明線性 疊加系數 Aji 的個 數 f 2 大于或等于 正交歸一條件方程 個數即可。,算符 F 本征值 Fn簡并的本質是： 當 Fn 確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個或幾個力學量算符，F 算符

15、與這些算符兩兩對易，其本征值與 Fn 一起共同確定狀態(tài)。,綜合上述討論可得如下結論： 既然厄密算符本征函數總可以取為正交歸一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數時， 都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。,因為 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，,所以，方程個數少于待定系數 Aji 的個數，因而，我們有多種可能來確定這 f 2 個系數使上式成立。f 個新函數Ψnj 的確是算符 F 對應于本征值 Fn

16、的正交歸一化的本征函數。,,（2）線性諧振子能量本征函數組成正交歸一系,（1）動量本征函數組成正交歸一系,（3）角動量本征函數組成正交歸一系,1. Lz 本征函數,2. L2本征函數,（4）氫原子波函數組成正交歸一系,（四）實例,共同本征函數,（一）兩力學量同時有確定值的條件（二）兩算符對易的物理含義 （三）力學量完全集合,（一）兩力學量同時有確定值的條件,體系處于體系任意狀態(tài) ?（x）時，力學量 F 一般沒有確定值。,如果力學量

17、 F 有確定值， ?（x）必為 F 的本征態(tài)，即,如果有另一個力學量 G 在 ? 態(tài)中也有確定值， 則 ? 必也是 G 的一個本征態(tài)，即,結論：,當在 ? 態(tài)中測量力學量 F 和 G 時，如果兩者同時具有確定值，那么? 必是二力學量共同本征函數。,（二）兩算符對易的物理含義,,是特定函數，非任意函數,考察前面二式：,?,二力學量共同本征函數,對易,？,例如：,= 0 的態(tài)，Y ? m = Y00 Lx Lz 同時有確定值。,如果

18、兩個力學量的共同本征函數不止一個，而是一組且構成完備系，此時二力學量算符必可對易。,定理：若兩個力學量算符有一組共同完備的本征函數系，則二算符對易。,證：,由于 ?n 組成完備系，所以任意態(tài)函數 ?(x) 可以按其展開：,則,因為 ?(x) 是任意函數,逆定理：如果兩個力學量算符對易，則此二算符 有組成完備系的共同的本征函數。,證：,考察：,?n 也是 G 的本征函數，同理 F 的所有本征函數

19、 ?n （ n = 1，2，… )也都是 G 的本征函數,因此二算符具有共同完備的本征函數系.,（僅考慮非簡并情況）,,與 ?n 只差一常數 Gn,定理：一組力學量算符具有共同完備本征函數系的充要條件是這組算符兩兩對易。,例 1：,例 2：,例 3：,例 4：,,（三）力學量完全集合,（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學 量算符的最小（數目）集合稱為力學量完全集。,例 1：,三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需

20、要三個兩兩對易的力學量：,例 2：,氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學量：,例 3：,一維諧振子，只需要一個力學量就可完全確定其狀態(tài)：,（2）力學量完全集中力學量的數目一般與體系自由度數相同。,（3）由力學量完全集所確定的本征函數系，構成該體系態(tài)空間的 一組完備的本征函數，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。,測不準關系,（一）測不準關系的嚴格推導 （二）坐標和動量的測不準關系（三）角動量的測不準關系,（一）測不準關系的嚴格推

21、導,（1）引,由上節(jié)討論表明，兩力學量算符對易則同時有確定值；若不對易，一般來說，不存在共同本征函數，不同時具有確定值。,問題：,兩個不對易算符所對應的力學量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？,不確定度：,測量值 Fn 與平均值 的偏差的大小。,（1）測不準關系的嚴格推導,證：,,II 測不準關系的嚴格推導,設二厄密算符對易關系為：,是算符或普通數,,最后有：,,對任意實數 ? 均成立,由代數二次式理論可知，該不等

22、式成立的條件是系數必須滿足下列關系：,兩個不對易算符均方偏差關系式,測不準關系,均方偏差,其中：,,,（二）坐標和動量的測不準關系,表明：坐標與動量的均方偏差不能同時為零，其一越小，另一就越大。,（1）測不準關系,（2）線性諧振子的零點能,,振子能量,被積函數是x 的奇函數,?n 為實,?處 ?n =0,,于是：,,二均方偏差不能同時為零，故 E 最小值也不能是零。,為求 E 的最小值，取式中等號。,則：,求極值：,解得：,因均方偏

23、差不能小于零，故取正,零點能就是測不準關系所要求的最小能量,（三）角動量的測不準關系,例1：利用測不準關系證明，在 Lz 本征態(tài) Ylm 下， 〈Lx〉= 〈Ly〉= 0,證：,由于在 Lz 本征態(tài) Ylm 中，測量力學量 Lz 有確定值，所以Lz 均方偏差必為零，即,則測不準關系：,平均值的平方為非負數,欲保證不等式成立，必有：,同理：,例2：L2，LZ 共同本征態(tài) Ylm 下，求測不準關系：,解：,由例1 可知：,由對易關系：,等式