1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二講,教學(xué)要求：了解頻率與概率的概念與關(guān)系 ；掌握概率的基本性質(zhì)，會(huì)用基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的概率計(jì)算 重點(diǎn)：概率的概念、基本性質(zhì)與概率計(jì)算,§1.2 事件的概率,1.2.1 事件的頻率,I. 頻率定義,設(shè)A是一個(gè)事件, 在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，A發(fā)生了m 次。,則稱(chēng) m為事件A在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)或頻次，稱(chēng) m與 n之比 m/n 為事件A在 n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為 fn(A)。,當(dāng)試驗(yàn)

2、次數(shù) n充分大時(shí)，事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般說(shuō)來(lái)擺動(dòng)的幅度越小。這一性質(zhì)稱(chēng)頻率的穩(wěn)定性。,頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小。盡管每進(jìn)行一連 n次試驗(yàn)，所得到的頻率可能各不相同,但只要 n足當(dāng)大，頻率就會(huì)非常接近一個(gè)固定值——概率。,因此, 概率可以通過(guò)頻率來(lái)“度量”, 頻率是概率的近似, 概率是頻率某種意義下的極限。,考慮在相同條件下進(jìn)行的 k 組試驗(yàn),事件A在各組試驗(yàn)中的頻率形成一個(gè)

3、數(shù)列,頻率穩(wěn)定性是指：各組試驗(yàn)次數(shù) n1,n2…, nk 充分大時(shí)，在各組試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的頻率間、或頻率與某定值相差很小 。,穩(wěn)定在概率 p 附近,下面我們來(lái)說(shuō)明頻率穩(wěn)定性的含義。,在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們?cè)谠囼?yàn)次數(shù)很大情況下，常用事件的頻率作為概率的估計(jì)，并稱(chēng)此概率為統(tǒng)計(jì)概率。這種確定概率的方法為頻率法。,例如: 若需了解某射箭運(yùn)動(dòng)員中10環(huán)的概率，應(yīng)對(duì)該運(yùn)動(dòng)員在相同條件下的多次射箭情況進(jìn)行觀測(cè)、統(tǒng)計(jì)。,假設(shè)其射擊

4、n 次，中10環(huán)m次，當(dāng) n很大時(shí)，就 m/n 作為其命中10環(huán)的概率。,又如：進(jìn)行產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí)，如果檢驗(yàn)了n 件產(chǎn)品,其中m 件為次品，則當(dāng) n 很大時(shí)，可用 m/n 作為產(chǎn)品的次品率(概率)的估計(jì)值。,(1)? 0≤ fn(A)≤1；(2)? fn(Ω)=1, fn(Ø)=0；(3).若事件 A1,A2,…,Ak 兩兩互斥，則:,II. 頻率性質(zhì),1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家(概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家)柯?tīng)柲缏宸?(Kolmogor

5、ov) 給出了概率如下公理化定義。,1.2.2 事件概率,I. 概率定義,概率的公理化定義,(2). P(Ω)=1 ;,(3). 若事件A1, A2 ,… 兩兩互斥，則有,設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是樣本空間，對(duì)Ω中的每個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A) ，如果事件(集合)函數(shù) P(A) 滿(mǎn)足下述三條:,(1). P(A)≥0；,則稱(chēng)P(A)為事件A 的概率。,注意：這里的函數(shù)P(A)與以前所學(xué)過(guò)的函數(shù)不同。不同之處在于：P(A)的自變量是

6、事件 ( 集合 )。,不難看出：這里事件概率的定義是在頻率性質(zhì)的基礎(chǔ)之上提出的。在§5.1中, 我們將看到：頻率fn(A)在某種意義下收斂到概率P(A)的結(jié)論?；谶@一點(diǎn)，我們有理由用上述定義的概率 P(A)來(lái)度量事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小。,II. 概率的性質(zhì),1. P(Ø)=0，即不可能事件的概率為零；,2. 若事件 A1,A2,…, An 兩兩互斥，則有： P(A1∪A2∪…∪An)=

7、P(A1)+…+P(An), 即互斥事件并的概率等于它們各自 概率之和(有限可加性)；,4. 對(duì)兩個(gè)事件A和B，有 P(B-A)=P(B)-P(AB).若A?B, 則有:P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A)。,,3. 對(duì)任一事件A, 均有,證明：,5.　對(duì)任意兩個(gè)事件A, B，有,因 AB，A－AB，B－AB兩兩互斥，且,由概率的可加性， 有,P(A∪B)=P(AB∪(A－AB) ∪(B－

8、AB))=P(AB)+P(A－ AB)+P(B－ AB）=P(AB)+P(A－ AB)+P(B－ AB)+P(AB) － P(AB)=P(A)+P(B) － P(AB).,A∪B = AB∪(A－ AB) ∪(B－ AB)，,說(shuō)明,n個(gè)事件并的多除少補(bǔ)公式,特別地，n = 3 時(shí)，有,小結(jié),本節(jié)首先介紹頻率的概念，指出在試驗(yàn)次數(shù)充分大的情況下，頻率接近于概率的結(jié)論；然后給出了概率的公理化定義及概率的主要性質(zhì)。,

9、67;1.3 古典概率模型,I. 什么是古典概率模型,如果試驗(yàn) E 滿(mǎn)足 (1).試驗(yàn)結(jié)果只有有限種； (2).各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。則稱(chēng)這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨怕誓Ｐ突蚬诺涓怕誓Ｐ停?jiǎn)稱(chēng)等可能概型或古典概型。,II. 古典概率模型中事件概率求法,因試驗(yàn)E的結(jié)果只有有限種，即樣本點(diǎn)是有限個(gè): ?1,?2 ,…,?n 。 Ω={?1}∪{?2 }∪…∪{?n}，,{?i}是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。,于

10、是，有 1=P(Ω)=P({?1}∪{?2 }∪…∪{?n}) =P({?1})+P({?2 })+…+P({?n}) =n P({?i}), i=1,2,…,n。,從而， P({?i})= 1/n，i=1,2,…,n.,因此，若事件A 包含 k 個(gè)基本事件，即,則,,III. 古典概模型舉例,例1：擲一顆均勻骰子，設(shè)A表示所擲結(jié)果為“四點(diǎn)或五點(diǎn)”，B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點(diǎn)”，求P(A)和P(B

11、)。,解：由 n=6，kA=2,得 P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得 P(B)=3/6=1/2。,例2：貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來(lái)自產(chǎn)地甲, 3件來(lái)自地乙?，F(xiàn)從15件商品中隨機(jī)地抽取兩件,求這兩件商品來(lái)自一同產(chǎn)地的概率。,解：從15件商品中取出2商品，共有C215= 105種取法，且每種取法都是等可能的，故n=105。令 A={兩件商品都來(lái)自產(chǎn)地甲},kA= C212=66, B={兩件商品都來(lái)自

12、產(chǎn)地乙},kB= C23 =3，而事件: {兩件商品來(lái)自同一產(chǎn)地}=A∪B, 且A與B互斥, A∪B包含基本事件數(shù)66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。,例3：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類(lèi)，4只屬甲類(lèi)，2只屬乙類(lèi)。按下列兩種方案抽取三極管兩只：(1).每次抽取一只，測(cè)試后放回，然后再抽取下一只 (放回抽樣)；(2).每次抽取一只，測(cè)試后不放回，然后在剩下的三 極管中再抽取下一只(

13、不放回抽樣)。設(shè) A={抽到兩只甲類(lèi)三極管}， B={抽到兩只同類(lèi)三極管}, C={至少抽到一只甲類(lèi)三極管}, D={抽到兩只不同類(lèi)三極管}。求 P(A),P(B),P(C),P(D)。,解: (1).由于每次抽測(cè)后放回, 因此，每次都是在6只三極管中抽取。 因第一次從6只中取一只，共有6種可能取法；第二次還是從6只中取一只，還是有6種取法。故，取兩只三極管共有6?6=36種可能的取法。從而, n=36。

14、,注意：這種分析方法使用的是中學(xué)學(xué)過(guò)的“乘法原理”。,因每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。故第一次取一只甲類(lèi)三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類(lèi)三極管還是有4種可能取法。故,取兩只甲類(lèi)三極管共有4?4=16 種可能的取法,即kA=16。所以，P(A)=16/36=4/9； 令E={抽到兩只乙類(lèi)三極管}，則 kE=2?2=4。故，P(E)=4/36=1/9；因C是E的對(duì)立事件，所以 P(C)=1-P(E)=8/9;因B=

15、A∪E, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的對(duì)立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。,(2).由于第一次抽測(cè)后不放回,所以第一次從6只中取一只, 共有6種可能的取法；第二次是從剩余的5只中取一只，有5種可能的取法。由乘法原理，知取兩只三極管共有n= 6?5=30種可能的取法。 由乘法原理，得 kA=4?3=12。從而P(A)=12/30=2/5； 類(lèi)似地

16、,得kE=2?1=2，P(E)=2/30=1/15；由C是E的對(duì)立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15;由B=A∪E, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D是B的對(duì)立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15.,例4：n個(gè)球隨機(jī)地放入N(N≥n)個(gè)盒子中，若盒子的容量無(wú)限制。求“每個(gè)盒子中至多有一球”的概率。,解: 因每個(gè)球都可以放入N個(gè)盒子中的任何一個(gè)，故每個(gè)球有N種放法。由乘

17、法原理，將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中共有 Nn 種不同的放法。 每個(gè)盒子中至多有一個(gè)球的放法(由乘法原理得): N(N-1)…(N-n+1)=ANn 種。故， P(A)= Ann / Nn .,設(shè)每個(gè)人在一年(按365天計(jì))內(nèi)每天出生的可能性都相同，現(xiàn)隨機(jī)地選取n(n≤365)個(gè)人，則他們生日各不相同的概率為 A365n / 365n。于是, n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為 1-A3

18、65n / 365n。 打開(kāi)書(shū) ，可看到表1.3。,,許多問(wèn)題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型。,如(生日問(wèn)題)：,某人群有n個(gè)人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？,,從上表可以看出: 在40人左右的人群里,十有八九會(huì)發(fā)生{兩人或兩人以上生日相同}這一事件。,把 n 個(gè)物品分成k組，使第一組有n1個(gè),第二組有n2個(gè),…,第 k 組有nk個(gè)，且 n1+ n2+…+nk=n，則不同的分組方法數(shù)為,公式,例5：某公司生

19、產(chǎn)的15件產(chǎn)品中，有12件正品, 3件次品?，F(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在3個(gè)箱中, 每箱裝5件，設(shè)A={每箱中恰有一件次品}, B={三件次品都在同一箱中}。求P(A)和P(B)。,解：15件產(chǎn)品裝入3個(gè)箱中，每箱裝5件，有,種等可能的裝法。,,故，基本事件總數(shù)為,把三件次品分別裝入三個(gè)箱中，共有3!種裝法。這樣的每一種裝法取定以后，把其余12件正品再平均裝入3個(gè)箱中，每箱裝4件，有,個(gè)基本事件。,再由乘法原理，可知裝箱總方法數(shù)有,即A包含,從

20、而，,把三件次品裝入同一箱中,共有3種裝法。這樣的每一種裝法取定以后,再把其余12件正品裝入3個(gè)箱中(一箱再裝2件,另兩箱各裝5件)又有,個(gè)基本事件。故，,由乘法原理，知裝箱方法共有,即B包含,例6：設(shè)N件產(chǎn)品中有K件次品，N-K件正品, K<N。現(xiàn)從N件中每次任意抽取1件產(chǎn)品，檢查其是正品還是次品后放回；這樣共抽檢產(chǎn)品n次。求事件A={所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品}的概率，k = 0, 1, 2, …, n。,解：假定N件產(chǎn)品有

21、編號(hào)，從中任意取出一件，每次都有N種取法。由乘法原理，n次共有Nn種取法，故，基本事件總數(shù)為Nn。 當(dāng)所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品時(shí)，由于取到這k件次品次序之不同，因此，從次序考慮共有Cnk種情況。,這Cnk種情況確定以后,從K件次品中取出k件，共有Kk種取法；從N-K件正品中取n-k件, 共有(N-K)n-k種取法。 由乘法原理，共有Cnk Kk (N-K)n-k種取法。故A中基本事件個(gè)數(shù)為Cnk Kk(N-K)n-k

22、，,在上式中，令 p=K/N，則有,這是以后常用的，也是非常重要的二項(xiàng)分布的概率公式。,而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān))，,?,就形 成了確定概率的另一方法——幾何方法.,,這無(wú)限多個(gè)樣本點(diǎn)可表示為一個(gè)有度量的幾何區(qū)域時(shí),,借助于古典概率的定義，設(shè)想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全體”的方法來(lái)規(guī)定事件的概率.,(即樣本點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)可能性的大小,且可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來(lái)表示；,,早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等

23、可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.,Ⅳ 確定概率的幾何方法,.,.,.,定義若隨機(jī)試驗(yàn) E 具有以下兩個(gè)特征：,(1) E 的樣本空間有無(wú)窮多個(gè)樣本點(diǎn)，,(2) 試驗(yàn)中每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,不過(guò)現(xiàn)在的“部分”和“全體”所包含的樣本點(diǎn)是無(wú)限的.,用什么數(shù)學(xué)工具可以構(gòu)造出這樣的數(shù)學(xué)模型？,幾何的觀念,則稱(chēng) E 為幾何概型 .,有度量的區(qū)域?,,事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域仍以A表示,長(zhǎng)度面積體積,,.,.,僅與該區(qū)域的度量成比例,,會(huì)面問(wèn)題,例

24、7,甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時(shí)間內(nèi),,在預(yù)定,地點(diǎn)會(huì)面.,先到的人等候另一個(gè)人,,經(jīng)過(guò)時(shí)間 t,( t<T ) 后離去.,設(shè)每人在0 到T 這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到,達(dá)該地是等可能的 ,,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.,求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.,解,刻,,那么,兩人會(huì),面的充要條件,若以 x, y 表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo) ,,,,,則,故所求的概率為,課堂練習(xí)：,在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)的取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于7/5”的概率,