1、1．3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1．3.1　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),借助于函數(shù)的圖象了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．,本節(jié)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．本節(jié)難點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟．,1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ；如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(

2、x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ．如果f′(x)＝0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為．2．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相應(yīng)的x的范圍．當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是；當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是．,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,常數(shù)函數(shù),增函數(shù),減函數(shù),[解析]　(1)函數(shù)f(x)的定義域

3、為Rf′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，則3x2－3＞0.即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)令f′(x)＜0，則3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)．,[點(diǎn)評(píng)]　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)需注意：1．步驟：,2．含有參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時(shí)注意正確運(yùn)用分類討論思想．3．如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)

4、區(qū)間不止一個(gè)，那么這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開(kāi)．,[例3]　已知x>1，求證：x>ln(1＋x)．,[點(diǎn)評(píng)]　此類題的解題步驟一般是：首先構(gòu)造函數(shù)，然后再采用求導(dǎo)的方法證明．利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是證明不等式常用的方法．,[例4]　已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍．[分析]　由向量的數(shù)量積和運(yùn)

5、算法則求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式，再f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，求出t的范圍．,[解析]　解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋tf′(x)＝－3x2＋2x＋t∵函數(shù)f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，∴f′(x)≥0在x∈(－1,1)上恒成立∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1

6、),故要使t≥3x2－2x在區(qū)間(－1,1)上恒成立，只需t≥5，即所求t的取值范圍為：t≥5.解法2：依題意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋tf′(x)＝－3x2＋2x＋t∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，∴f′(x)≥0對(duì)x∈(－1,1)恒成立又∵f′(x)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線∴當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0時(shí)，即t≥5時(shí)，f′(x)在區(qū)間(－1

7、,1)上滿足f′(x)＞0,使f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)故t的取值范圍是t≥5.[點(diǎn)評(píng)]　已知函數(shù)的單調(diào)性，確定字母的取值范圍是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，解決這類問(wèn)題的方法主要有兩種，其一，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，其二，若能比較容易求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可利用子區(qū)間來(lái)解決．特別注意的是，若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，也可借助圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決，如上例中的解法2.,一、選擇題1．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)減區(qū)間為(　　)A．(－

8、∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案]　A[解析]　y′＝4x3－4x令y′<0，即4x3－4x<0解得x<－1或0<x<1，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)和(0,1)，故應(yīng)選A.,2．函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0,1)上是(　　)A．單調(diào)增函數(shù)B．單調(diào)減函數(shù)[答案]　C,3．若在區(qū)間(a，b)內(nèi)有f′

9、(x)＞0，且f(a)≥0，則在(a，b)內(nèi)有(　　)A．f(x)＞0　　　　　 B．f(x)＜0C．f(x)＝0 D．不能確定[答案]　A[解析]　∵在區(qū)間(a，b)內(nèi)有f′(x)>0，且f(a)≥0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是遞增的，∴f(x)>f(a)≥0.,[答案]　－4[解析]　因?yàn)閒′(x)＝x2－3x＋a.令x2－3x＋a≤0，由題意知x2－3x＋a≤0的解集恰為[－1

10、,4]，則由韋達(dá)定理知a＝－1×4＝－4.,三、解答題6．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；(3)證明f(x)＝x3－ax－1的圖象不可能總在直線y＝a的上方．,[解析]　(1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴

11、f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，在x∈(－1,1)恒成立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3.,當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<