1、,§2.6 電介質(zhì)中靜電場(chǎng)的基本定理,高斯定理環(huán)路定理電位移線舉例應(yīng)用,,電介質(zhì)在外場(chǎng)中會(huì)被極化，出現(xiàn)極化電荷不但自由電荷要激發(fā)電場(chǎng) E0，電介質(zhì)中的束縛電荷同樣也要在它周圍空間激發(fā)電場(chǎng) E′ (無(wú)論電介質(zhì)內(nèi)部或外部)由電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理，在有電介質(zhì)時(shí)，某點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度,,,一、高斯定理,,,對(duì)各向同性介質(zhì)：,,ε 為絕對(duì)介電常數(shù),εr為相對(duì)介電常數(shù)。,于是有：,電介質(zhì)中的高斯定理,單位是C/m2 (庫(kù)每

2、平方米),,,如果令ρe0為自由電荷密度，ρe′ 為極化電荷密度，ρe為總電荷密度：,可得電介質(zhì)中高斯定理微分表達(dá)式：,,二、環(huán)路定理,■電介質(zhì)的存在，只是增加了一些新的場(chǎng)源(電荷)■電介質(zhì)的存在，并沒(méi)有改變電場(chǎng)的基本性質(zhì)■靜電平衡時(shí)，自由電荷和極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)都是靜電場(chǎng)■總電場(chǎng)的保守場(chǎng)性質(zhì)未變，所以仍滿足環(huán)路定理：,介質(zhì)中靜電場(chǎng)仍然是一個(gè)無(wú)旋的保守場(chǎng)。,,,D矢量，是表述有電介質(zhì)時(shí)電場(chǎng)性質(zhì)的一個(gè)輔助量，在有電介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)

3、中，各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)電位移矢量。仿照電場(chǎng)線的畫法，可以作一系列電位移線，線上每點(diǎn)的切線方向就是該點(diǎn)電位移矢量的方向，并令垂直于線單位面積上通過(guò)的線條數(shù)，在數(shù)值上等于該點(diǎn)電位移D的大小。D線和E線：,三、電位移線,,,,E 線,D 線,電位移線(D線)只與自由電荷有關(guān),電力線(E線)不但與自由電荷有關(guān) ，而且與束縛電荷有關(guān),線性均勻各向同性介質(zhì)情況,,[例2-6-1]證明各向同性均勻介質(zhì)內(nèi)?0=0處必有?? = 0。[解

4、],四、舉例,,[例2-6-2]求相對(duì)介電常數(shù)為 εr 的無(wú)限大均勻電介質(zhì)中點(diǎn)電荷 q的場(chǎng)分布。[解]:q的場(chǎng)是球?qū)ΨQ場(chǎng)，以電荷為球心，作球形高斯面,介質(zhì)內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)削弱了1/εr 倍；電容增加了 εr倍， εr又稱為電容率。,,,,,電荷分布、介質(zhì)分布都具有一維對(duì)稱性！,,[例]導(dǎo)體球R1,Q0和均勻介質(zhì)球殼R2,εr。求E, σe’ ,U。[解]一維對(duì)稱問(wèn)題。分三個(gè)區(qū)分別討論。1) 利用高斯定理：,思考 為什么曲線不連續(xù)？,,2

5、) 下面求極化電荷q? 的分布 ：,,,3) 導(dǎo)體球的電勢(shì)：,,各向同性線性介質(zhì)中 D 正比于 E普遍情況下, 兩者關(guān)系不簡(jiǎn)單，不一定成正比關(guān)系,小結(jié)： 真空 有介質(zhì),靜電荷(自由、極化),自由電荷,,,§2.7 邊值關(guān)系和唯一性定理,一、邊值關(guān)系　　電場(chǎng)強(qiáng)度　電位移矢量　電勢(shì)二、唯一性定理三、應(yīng)用舉例,,一、邊值關(guān)系,電場(chǎng)內(nèi)存在多種介質(zhì)?介質(zhì)間的交界面?極化

6、電荷介質(zhì)未充滿電場(chǎng)空間?導(dǎo)體和介質(zhì)的交界面?極化和自由電荷 交界面的存在會(huì)影響整個(gè)空間的電場(chǎng)分布 ?研究電場(chǎng)在交界處的行為十分重要將電場(chǎng)的基本方程用到交界面上，研究界面兩邊電場(chǎng)改變的一般規(guī)律，即“邊值關(guān)系”。,,（１）電場(chǎng)強(qiáng)度,在介質(zhì)交界面取一較小的矩形環(huán)路用環(huán)路定理:,,,E2,n,E1,t,,界面兩邊電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量總是相等。,,,0,,ε1,,

7、（２）電位移矢量,利用高斯定理，跨界面作柱形高斯面：,■在電介質(zhì)界面上，一般σ0=0，即無(wú)自由電荷，所以：,σe為總面電荷密度,n,,,,（+）,,,,,,,電場(chǎng)線在界面上的折射,電場(chǎng)線在穿過(guò)介質(zhì)界面時(shí)會(huì)產(chǎn)生類似光線折射的現(xiàn)象,,（３）電勢(shì),在介質(zhì)分界面兩側(cè)取距界面為h的1，2兩點(diǎn)其連線平行法線，兩點(diǎn)的電勢(shì)分別為U1和U2當(dāng)h?0時(shí)，兩點(diǎn)的電勢(shì)差為0 ，即：,介質(zhì)界面兩側(cè)電勢(shì)總是連續(xù)的。,,,1、E 的切向分量連續(xù),2、對(duì)無(wú)自由電荷

8、的界面， D 的法向分量連續(xù),小結(jié),3、介質(zhì)界面兩側(cè)的 電勢(shì)總是連續(xù)的,界面一點(diǎn)上的法線方向只有一個(gè)，而該點(diǎn)的切線方向卻有無(wú)數(shù)多個(gè)，結(jié)論對(duì)任一切線方向成立,4、極化強(qiáng)度矢量和 極化面電荷,,,,,,求解靜電場(chǎng)問(wèn)題給定空間電荷的分布,如何知道空間各處的電場(chǎng)?原則:庫(kù)侖定律+疊加原理?空間各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E實(shí)際情況:要知道每個(gè)導(dǎo)體表面的面電荷分布很困難即使知道σe,但E是矢量,使得計(jì)算極為繁雜容易確定的

9、是每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)或者總電量求解思路: 先求得U, 再利用E= -▽U得E,二、唯一性定理,,典型的靜電場(chǎng)問(wèn)題： 即在滿足一定邊界條件下求解空間電場(chǎng)分布的問(wèn)題。,基本方程：,將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的二階偏微分方程但僅有此方程不能確定空間U分布,還需邊界條件.,對(duì)于靜電場(chǎng)，給定什么樣的條件，空間存在確定的電場(chǎng)解？ ——唯一性定理,,帶電導(dǎo)體系—唯一性定理,當(dāng)給定電場(chǎng)的邊界條件，即給定包圍電場(chǎng)空間的邊界面S上的電勢(shì)US，給定S內(nèi)各

10、導(dǎo)體的形狀、大小及各導(dǎo)體之間的相對(duì)位置，同時(shí)再給定下列兩條件之一：(1) S面內(nèi)每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)Ui(2) S面內(nèi)每個(gè)導(dǎo)體上的總電量qi （其中i=1,2,……為導(dǎo)體的編號(hào)）則在以S為邊界面的空間內(nèi)滿足高斯定理和環(huán)路定理的靜電場(chǎng)解是唯一的。,,電介質(zhì)體系—唯一性定理,當(dāng)給定空間邊界面S上的電勢(shì)US，給定S面內(nèi)各均勻介質(zhì)按區(qū)域分布的情況和各電介質(zhì)的介電常數(shù)εi，給定S內(nèi)各導(dǎo)體的形狀、大小及各導(dǎo)體之間的相對(duì)位置，同時(shí)再給定下列

11、兩條件之一：(1) S面內(nèi)每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)Ui(2) S面內(nèi)每個(gè)導(dǎo)體上的總電量qi （其中i=1,2,……為導(dǎo)體的編號(hào)）則邊界面S所包圍的空間內(nèi)靜電場(chǎng)解是唯一的。,,唯一性定理的含意,證明：利用反證法論證見書中P56理論證明在電動(dòng)力學(xué)中給出,滿足一定的條件和邊界條件的、存在于空間的電場(chǎng)分布應(yīng)該是唯一的,即給定這些條件后，不可能存在不同的靜電場(chǎng)分布。,,幾點(diǎn)說(shuō)明,唯一性定理提出了定解的充分必要條件。 求解時(shí)

12、，我們總要判斷問(wèn)題的邊界條件是否足夠當(dāng)滿足必要的邊界條件時(shí)，則可斷定解是唯一的不同的方法得到的解在形式上可能不同，但等價(jià)唯一性定理對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題有著重要的意義。因?yàn)樗嬖V我們，哪些因素可以完全確定靜電場(chǎng)對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題，往往需要根據(jù)給定的條件作 一定的分析，提出嘗試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求的條件，它就是該問(wèn)題的唯一正確的解。,,三、應(yīng)用舉例,研究分區(qū)均勻各向同性線性介質(zhì)的電場(chǎng)求解問(wèn)題：介質(zhì)-

13、介質(zhì)界面與電場(chǎng)線重合的情況介質(zhì)-介質(zhì)界面與等勢(shì)面重合的情況其他情況：電動(dòng)力學(xué)方法處理,,,介質(zhì)-介質(zhì)界面與電場(chǎng)線重合,E與介質(zhì)界面重合，則P在界面上沒(méi)有法向分量，見右下圖的問(wèn)題。則兩種介質(zhì)分界面上極化面電荷為0。σe′只可能存在于介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界面上。介質(zhì)σe′與介質(zhì)有關(guān)： εi ?P? σe′?E ′而導(dǎo)體靜電平衡要求導(dǎo)體內(nèi)的E恒為0， 所以導(dǎo)體表面的自由電荷會(huì)自動(dòng)調(diào)整， 從而維持總電荷面密度分布形式不變：

14、 ∴介質(zhì)中 E＝ a E0,,Q0,- Q0,,,,,E,,■為確定α因子，我們要用到高斯定理：,式中S為包含某導(dǎo)體面的高斯面，Si是S的一部分，它位于第i種介質(zhì)之中；Q0為該導(dǎo)體所帶的自由電荷量，在真空中所產(chǎn)生的電場(chǎng)為E0。,■對(duì)E0一維對(duì)稱性問(wèn)題，則E也有一維對(duì)稱性，不必引入a，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化。這時(shí)可利用高斯定理直接計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度E。,,,[例2-7-1]球形電容器帶電量Q0，極板間充滿介電常數(shù)分別為ε1和ε 2的兩種介質(zhì)，求介

15、質(zhì)中的 D 和 E.[解]介質(zhì)界面與電場(chǎng)線重合，一維對(duì)稱性問(wèn)題，所以可以直接利用高斯定理：,,Q0,-Q0,,,,,E,,[例]平行板電容器帶電Q0，板間距d，長(zhǎng)a，寬b= b1+ b2。介電常數(shù)為ε1和ε2。求C和極板上自由電荷σe.[解]介質(zhì)界面與電場(chǎng)線重合，一維對(duì)稱性問(wèn)題，所以可以 直接利用高斯定理：,,,,,,,,,,b1,b2,d,,自由電荷在極板上分布是不均勻的，但這種不均勻性正好由極化電荷所補(bǔ)償，總面電荷密度是均勻

16、分布的。電容器內(nèi)電場(chǎng)仍是均勻分布的。,自由電荷,,介質(zhì)-介質(zhì)界面與等勢(shì)面重合,介質(zhì)界面與等勢(shì)面重合 介質(zhì)面與電場(chǎng)線垂直，見右兩圖問(wèn)題介質(zhì)中D=ε0E0：可證明D和ε0E0　同時(shí)滿足高斯定理和環(huán)路定理，見P59。E0為自由電荷的電場(chǎng)，其計(jì)算完全等同于真空中的靜電場(chǎng)。處理步驟：首先去掉介質(zhì)，計(jì)算自由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)E0　利用 求出Ei,ε1,ε2,,,[例2-7-

17、3]平行板電容器，兩板間充滿厚度分別為d1、d2，介電常數(shù)為e1，e2的兩層介質(zhì)；板間電壓為U。求1）兩板間的電場(chǎng)；2）介質(zhì)分界面處的總面電荷密度；3）介質(zhì)分界面處的自由面電荷密度？,,,,,,,,,[解] 介質(zhì)界面與電場(chǎng)線垂直，,,[例]如右圖所示，一無(wú)限大平面（ｚ＝０）將介電常量分別為 和 　的介質(zhì)隔開，在ｚ軸上 　　　的位置分別放置點(diǎn)電荷　　，求空間電場(chǎng)分布。,,,y,z,?1,?2,O,?+q,??q,d,?d,[解]當(dāng)去

18、掉介質(zhì)，平面恰好為兩點(diǎn)電荷的電場(chǎng)的等勢(shì)面。因此，本題屬于介質(zhì)界面與等勢(shì)面重合的情況。先求：,,,（ｚ＞０），,（ｚ＜０）,,其他情況,介質(zhì)界面與電場(chǎng)線和等勢(shì)面都不重合，一般用：電動(dòng)力學(xué)方法處理對(duì)于某些具有特定幾何形狀的介質(zhì)面的問(wèn)題，可以利用電像法求解,,§2.8 電像法,定義：求解靜電場(chǎng)問(wèn)題的特殊方法，由W.湯姆孫于1848年提出。用于計(jì)算一定形狀導(dǎo)體面附近的電荷所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)。原因：在電荷的附近出現(xiàn)導(dǎo)體面(或介質(zhì)

19、分界面)時(shí)，這些面對(duì)電場(chǎng)有影響(感應(yīng)電荷或極化電荷)，但求解困難。方法：電像法就是利用已經(jīng)熟悉的靜電學(xué)知識(shí)，通過(guò)在這些面的另一側(cè)適當(dāng)位置，設(shè)置適當(dāng)量的假想電荷(稱為像電荷)，等效地代替實(shí)際導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷或電介質(zhì)界面上的極化電荷，以保證場(chǎng)的邊界條件得到滿足。物理：根據(jù)靜電唯一性定理，在求解區(qū)域中，源電荷與像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)滿足邊界條件，它就是實(shí)際存在的電場(chǎng)。,,一、范圍步驟,基本思路用假想的像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷與束縛電荷

20、保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件的不變使用范圍區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷個(gè)數(shù)有限區(qū)域的邊界是導(dǎo)體或者介質(zhì)。界面幾何形狀較規(guī)范解題步驟確定像電荷的大小和位置，必須滿足原邊界條件。去掉界面，按原電荷和像電荷求所要求區(qū)域電場(chǎng)。再求邊界上的感應(yīng)電荷與束縛電荷。最后求電場(chǎng)力。,,二、應(yīng)用舉例,[例]距無(wú)限大接地導(dǎo)體板h處有一點(diǎn)電荷q。求：點(diǎn)電荷一側(cè)場(chǎng)的分布，板上的電荷分布以及電荷q所受的力。,分析：用位于導(dǎo)體平面下方h處的

21、鏡像電荷-q代替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷，邊界條件可維持不變，即YOZ面為零電位面。解題：去掉導(dǎo)體面，用原電荷和像電荷求解導(dǎo)體上方區(qū)域場(chǎng)。,鏡像電荷-q,點(diǎn)電荷的平面鏡像,接地導(dǎo)體面上方有點(diǎn)電荷q,平面電像法,,空間電位：,電場(chǎng)強(qiáng)度：,感應(yīng)電荷:,電場(chǎng)力:,,,[例]真空中有一半徑為R的接地導(dǎo)體球，距球心O為d (d > R ) 處有一點(diǎn)電荷q0,求空間各點(diǎn)電勢(shì)、電場(chǎng)和σe。,分析： 由對(duì)稱性分析，設(shè)導(dǎo)體球內(nèi)距離球心O為x‘ 的C點(diǎn)

22、處，置一像電荷q‘來(lái)代替導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷，維持導(dǎo)體球面電位為零。 解題：去掉導(dǎo)體球，用原電荷和像電荷求解導(dǎo)體球外區(qū)域場(chǎng)，注意不能用原電荷和像電荷求解導(dǎo)體球內(nèi)區(qū)域場(chǎng)。求解像電荷的大小和位置求解電位、電場(chǎng)強(qiáng)度、感應(yīng)電荷,,■求解鏡像電荷的大小和位置：將原導(dǎo)體球移去，q0及像電荷 q’在原球面上任一點(diǎn)B處產(chǎn)生的電位應(yīng)為零，即:,利用邊界條件：,由上式導(dǎo)出：,該式成立的充分必要條件是分子、分母分別相等，亦即：,,其中第二個(gè)等式化為

23、：,解得 ，將其代入第一個(gè)等式，求得像電荷的位置和電量，結(jié)果為：,■于是，求得球殼外（ ）的電勢(shì)和電場(chǎng)表達(dá)式如下：,,■不難驗(yàn)證 ，即導(dǎo)體殼表面電場(chǎng)切向分量為零。導(dǎo)體表面的面電荷密度為：,,,■導(dǎo)體殼上的總電量為：,,,,即qi = q'，導(dǎo)體殼上的總電量與像電荷的電量相等。,■作用到q0上的力，也就是像電荷q‘ 對(duì)它的庫(kù)侖力，即：,,,[

24、例]如右下圖所示，介電常量分別為 　和　 半無(wú)限介質(zhì)的界面為一無(wú)限平面，在介質(zhì)2中置入點(diǎn)電荷q，它與界面的垂直距離為h，求界面極化電荷的分布。,,,[解]我們嘗試用電像法來(lái)解，即用像電荷來(lái)代表界面上極化電荷對(duì)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)?！龆鴮?duì) 　區(qū)(z ? 0)，可用像電荷q”　代表。它們的位置示于圖,,,■ 設(shè)對(duì) 　區(qū)(z ＜ 0 )，這一貢獻(xiàn)可用像電荷q’ 代表；,,求得兩區(qū)域電勢(shì)的表達(dá)式為：,注意上述表達(dá)式中，源電荷的貢獻(xiàn)應(yīng)被所在介質(zhì)中

25、的介電常量除，這相當(dāng)于計(jì)入了源電荷周圍的極化電荷的貢獻(xiàn)；而像電荷的貢獻(xiàn)則采用真空中的電勢(shì)計(jì)算公式。上述電場(chǎng)應(yīng)滿足如下邊值關(guān)系：,,將　和　的表達(dá)式代入上面兩式分別求得：,,,,可解出,,束縛面電荷密度：,,當(dāng)取　　　,　　　時(shí)，我們得到如下結(jié)果：,,上述結(jié)果和　　　例一致。因此，在靜電學(xué)范圍內(nèi)，導(dǎo)體可當(dāng)作介電常量趨于無(wú)窮的電介質(zhì)的極限。,,,2-8-1,,,電像法小結(jié),理論根據(jù)： 唯一性定理基本思想在域外放置適當(dāng)?shù)南耠姾?，等效?dǎo)體邊