1、第二章 流體靜力學(xué) Fluid Statics,流體靜力學(xué)是研究平衡流體（包括：流體對地球無相對運(yùn)動(dòng)和流體對運(yùn)動(dòng)容器無相對運(yùn)動(dòng)）的力學(xué)規(guī)律及其應(yīng)用。,由于平衡流體之間無相對運(yùn)動(dòng)，流體的粘性不起作用。所以，流體靜力學(xué)中所得出的結(jié)論，對于理想流體和粘性流體都適用。理論不需要實(shí)驗(yàn)修正。,本章內(nèi)容:2.1 平衡流體上的作用力2.2 流體平衡微分方程式2.3 重力場中流體的平衡2.4 液體的相對平衡2.5 靜止流體作用于壁面的總壓力,第

2、二章 流體靜力學(xué) Fluid Statics,2.1 平衡流體上的作用力,按作用方式，平衡流體上的作用力有：質(zhì)量力與表面力。,一 質(zhì)量力 Force on Body 與流體微團(tuán)質(zhì)量大小有關(guān)并且集中在微團(tuán)質(zhì)量中心上的力稱為質(zhì)量力。,如重力（G=mg）、慣性力（F=ma、F=m?2r）、電磁力等。,流體質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量力：,例題： 封閉容器盛水，在地面上靜止時(shí)水所受單位質(zhì)量力為多少？封閉容器從空中自由下落時(shí)，其單位質(zhì)量力又為多少

3、？答:,2.1 平衡流體上的作用力,表面力按其作用方向可分為兩種：沿表面內(nèi)法線方向的壓力和沿表面切向的摩擦力。對于處于平衡狀態(tài)的流體，切向摩擦力為零，只有沿受壓面內(nèi)法線方向的流體靜壓力。,二 表面力 Force on Surface 與表面面積有關(guān)而且分布作用在流體表面上的力稱為表面力。 表面力是由與分離體相接觸的其它物體的作用產(chǎn)生的針對流體的作用力。,2.1 平衡流體上的作用力,2.1 平衡流體上的作用力,三 流體

4、靜壓力及其特性 流體靜壓力是處于平衡狀態(tài)的流體中的流體質(zhì)點(diǎn)所受到的應(yīng)力。,平均流體靜壓強(qiáng),一點(diǎn)流體靜壓強(qiáng),流體靜壓力,表明：流體靜壓力的大小是用微元面積乘以面上任何 一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)。,1、靜壓力的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向。 由流體的特性知，流體在平衡狀態(tài)時(shí)只要有切應(yīng)力作用，流體就會(huì)變形，引起流體質(zhì)點(diǎn)間的相對運(yùn)動(dòng)，破壞流體的平衡。流體還不能承受拉力。所以，流體在平衡狀態(tài)下只能承受垂直并指向作用面的壓力。2

5、、靜壓力的大小與作用面的方位無關(guān)。 流體靜壓力是各向同性的，它與受壓面的方位無關(guān)，大小由質(zhì)點(diǎn)所在的坐標(biāo)位置確定。,2.1 平衡流體上的作用力,2.2 流體平衡微分方程式 在靜止流體中任取一微元六面體，其邊長分別為dx，dy，dz，坐標(biāo)的選取如下圖。 分析x方向的受力平衡情況：作用于微元體上的質(zhì)量力在x方向的投影為 ，設(shè)六面體形心處的靜壓強(qiáng)為p，則作用在左面ABCD上的總壓力為 作用在

6、右面EFGH上的總壓力為,因此作用在該微元體x方向的表面力為： 建立x方向受力平衡關(guān)系式 上式除以微元體質(zhì)量 ，得： 同理從y、z方向建立受力平衡關(guān)系式有： （1）,上式即為靜止流體平衡微分方程，也稱歐拉平衡微分方程。 將（1）中三個(gè)方程交叉求導(dǎo)得：（不可壓縮均質(zhì)流體 ）

7、 （2） （2）式表明存在勢函數(shù)W（x、y、z）滿足：,將（1）式中三個(gè)方程分別乘以dx、dy、dz再相加得： 所以： （3） 這就是流體平衡壓強(qiáng)分布規(guī)律的基本微分關(guān)系式。由（3）式可以看出靜止流體的一些特性： 對于等壓面而言等壓面也是等勢面。等壓面與質(zhì)量力正交。,等壓面微分方程,,

8、,,,2.3 流體靜力學(xué)基本方程 2.3.1 質(zhì)量力只有重力時(shí)靜力學(xué)基本方程 在實(shí)際應(yīng)用中，作用在平衡流體上的質(zhì)量力常常只有重力，以下就討論重力場中靜止流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。 對靜止流體，因： 由（3）式有 時(shí)，將上式積分得： （4） 對于靜止流體中任意兩點(diǎn)，有

9、 （5） （4）（5）兩式均為不可壓縮流體靜力學(xué)基本方程。,由邊界條件，Z=0時(shí)，P=P0代入，有P=P0-γZ, P0為液面壓強(qiáng)，若選取h的坐標(biāo)方向與Z軸反向，則靜止流體基本方程可改寫為：P=P0+γh，可得出兩點(diǎn)結(jié)論：,1）液體內(nèi)任一點(diǎn)靜水壓強(qiáng)P由兩部分組成：一部分是自由液面上的表面壓強(qiáng)P0，另一部分是單位面積上垂直液注重量γh。液重壓強(qiáng)與液面以下的深度成線性關(guān)系。2）表面壓強(qiáng)與

10、液重壓強(qiáng)無關(guān)。 即表面壓強(qiáng)P0上升ΔP0,則液體內(nèi)部各點(diǎn)壓強(qiáng)也同時(shí)上升ΔP0。——著名的帕斯卡原理。 工程應(yīng)用于水壓機(jī)、水力蓄能機(jī)等水力機(jī)械。,γ=ρg為流體的重度，ρ水=1000kg/m3γ水=9800N/m3 =9.8kN/m3,其中 和 均具有長度量綱， 表示某點(diǎn)所在的位置距基準(zhǔn)面的垂直高度稱為位置水頭， 稱為壓強(qiáng)水頭， 稱為測壓管水頭。由靜力學(xué)基本方程

11、 可以看出靜止流體中各點(diǎn)位置水頭和壓力水頭可以相互轉(zhuǎn)換，但各點(diǎn)測壓管水頭相等并為一水平線，如圖1、2兩點(diǎn)的測壓管液位在同一位置高度。,一 靜壓強(qiáng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn),真空度:當(dāng)壓力比當(dāng)?shù)卮髿鈮旱蜁r(shí)，流體壓力與當(dāng)?shù)卮?氣壓的差值稱為真空度。,2.3.2 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測量,以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽橛?jì)算標(biāo)準(zhǔn)表示的壓力。,計(jì)示壓強(qiáng)(表壓強(qiáng)),絕對壓強(qiáng)：,以絕對真空為起點(diǎn)表示的壓力。,2.3.2 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測量,二 靜壓強(qiáng)的計(jì)量單位,2

12、.3.2 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測量,1、應(yīng)力單位 Pa（N/m2）、bar 。 1 bar=105 Pa,2、液柱高單位 測壓計(jì)常以水或水銀作為工作介質(zhì)，壓力常以水柱高度（mH2O），或毫米汞柱（mmHg）表示。,3、大氣壓單位 以1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（1 atm）為單位表示。 1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=1.013х105Pa =10.33 mH2O = 760 mmHg,三 靜壓強(qiáng)的測量,主要測量儀表：金屬式、電測

13、式和液柱式。,2.3.2 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測量,1、測壓管2、U型測壓計(jì)3、差壓計(jì)4、微壓計(jì),例 D=60mm, d=5mm, h=200mm求: 杯口氣壓的真空度,解:,p=pa - ?g(h+?h)?h?D2/4=h?d2/4,所以 pa-p = ?g(1+(d/D)2)h =13600?9.8 ?(1+(1/12)2) ?0.2 pa-p = 2

14、6939 (N/m2),§2.4 液體的相對平衡 下面以流體平衡微分方程式為基礎(chǔ)，討論質(zhì)量力除重力外，還有牽連慣性力同時(shí)作用的液體平衡規(guī)律。在這種情況下，液體相對于地球雖然是運(yùn)動(dòng)的，但液體質(zhì)點(diǎn)之間、質(zhì)點(diǎn)與器壁之間都沒有相對運(yùn)動(dòng)，所以這種運(yùn)動(dòng)稱為相對平衡?，F(xiàn)討論以下兩種相對平衡。 一、直線等加速器皿中液體的相對平衡 如后圖，盛有液體的容器在與水平面成α角的斜面由上向下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a。當(dāng)

15、α為零時(shí)，顯然液面為水平面。設(shè)加速度為a時(shí)液面與水平面成β角傾斜。設(shè)定xoz坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)取在自由液面的,中點(diǎn)。相對于此運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系來說，單位質(zhì)量液體所受的質(zhì)量力有兩個(gè)：一是垂直向下的單位質(zhì)量重力 ，另一是與加速度反向的單位質(zhì)量慣性力 。單位質(zhì)量力的三個(gè)坐標(biāo)方向上的分量 由等壓面方程,有 將上式積分可得勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的等壓面方程 這是一族平行平面，它們對水平面的傾角 顯然，自由表面還是等壓面，自由表

16、面上點(diǎn)的z坐標(biāo)用zs表示，按自由表面的邊界條件x=0，z=0，定出積分常數(shù)c=0，故自由表面方程應(yīng)是,或 直線勻加速的相對平衡液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律依然可由等壓面微分方程 積分得出 積分常數(shù)可由邊界條件x=0，z=0處p=p0得出 于是 為計(jì)壓點(diǎn)在傾斜自由液面下的淹沒深度。,例題：容器內(nèi)盛有液體垂直向下作a＝4.9035m/s2的加速運(yùn)動(dòng)，試求此時(shí)的自由表面方程和液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。

17、 解：自由表面方程由 得出 現(xiàn) ，說明自由表面依然是水平面。壓強(qiáng)分布規(guī)律則由 可得出，現(xiàn)由于 ，并在本情況中 ，故,二、等角速旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對平衡 如圖，盛有液體的直立圓柱筒繞其中心軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，由于液體的粘性，使筒內(nèi)液體都以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，此時(shí)液體的自由表面已由平面變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物

18、面。下面推導(dǎo)這種以等角速度旋轉(zhuǎn)的相對平衡情況的等壓面方程和壓強(qiáng)分布規(guī)律。 取與筒一起等角速旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng) 坐標(biāo)系，z軸垂直向上，坐標(biāo)原點(diǎn) 取在新自由表面旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點(diǎn) 上。此時(shí)流體所受的質(zhì)量力亦是兩 個(gè)：一是重力，鉛垂向下；另一是 離心慣性力，與r軸方向一致。,單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)分量 代入歐拉平衡微分方程綜合式 積分得,由x=0，y=0，z=0處p=pa得

19、c=pa，代入上式整理得 這就是等角速旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對平衡時(shí)壓強(qiáng)分布的一般表達(dá)式。 由dp=0，可得各等壓面方程為 可見，等壓面是一簇繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。,在自由液面上， p=pa，可得自由液面方程為： 在容器壁處，即r=R時(shí)液體自由液面升到最高點(diǎn)，高出拋物面頂點(diǎn)的鉛垂距離為： 在xoy坐標(biāo)平面以上的回轉(zhuǎn)拋物體內(nèi)液體的體積為： 可見，圓筒形容

20、器中的回轉(zhuǎn)拋物體體積剛好是液面達(dá)到最大高度時(shí)的圓柱形體積的一半。,例二：如圖所示，盛滿液體的容器以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，頂蓋邊緣處開口通大氣。當(dāng)其旋轉(zhuǎn)時(shí)，液體借離心力向外甩，但當(dāng)液體要被甩出容器時(shí)，在容器內(nèi)部立即會(huì)產(chǎn)生真空，小于外界大氣壓，使液體無法流出。液面同樣不能形成拋物面，但液體內(nèi)各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)仍按旋轉(zhuǎn)拋物面分布。,在頂蓋邊緣處z=0,r=R,p=pa, 將其帶入上式，得,由上式可知作用在頂蓋（z=0）上各點(diǎn)液體的真空度為,可見，真

21、空度在旋轉(zhuǎn)軸心處（r=0）最大，且與ω2成正比。離心式水泵與風(fēng)機(jī)就是運(yùn)用此原理，通過葉輪的高速旋轉(zhuǎn)在葉輪中心處形成真空，把水或空氣吸入殼體，再借葉輪高速旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的離心慣性力增大能量后，由出口輸出。,§2.5 靜止流體作用于壁面的總壓力,§2.5 靜止流體作用于壁面的總壓力,§2.5 靜止流體作用于壁面的總壓力,§2.5 靜止流體作用于壁面的總壓力,§2.5 靜止流體作用于壁面的總壓力,

22、§2.5 靜止流體作用于壁面的總壓力 在設(shè)計(jì)各種閥、擋水閘、堤壩、容器和校核管道強(qiáng)度時(shí)，會(huì)遇到靜止流體對固體壁面的總壓力計(jì)算問題，包括平面壁和曲面壁的總壓力計(jì)算。 一、作用于平面壁上的總壓力 A、解析法 1、確定總壓力的方向： 由流體靜壓強(qiáng)特性知：總壓力方向垂直指向受壓面。 2、確定平面壁上所受的總壓力大小： 如圖，傾斜放置于靜止液體中有對稱軸的平面M

23、N，平面與自由液面夾角α,OX軸為兩平面交線,OY軸垂直于OX,且平行于MN的縱向?qū)ΨQ軸。平板面積為A，形心為C，,作用點(diǎn)為D（常稱壓力中心），右側(cè)受水壓力，C點(diǎn)液下深度為hc， D點(diǎn)液下深度為hD。在平板上任取一微元面積dA，dA中心在水下的深度為h，,上述水深與坐標(biāo)平面的坐標(biāo)值間有如下關(guān)系： 設(shè)dA上承受的壓力為p，則此微元面積上的總壓力為 因平板上各點(diǎn)的水壓力屬平行力系，可以直接積分。 其中

24、是面積A對x軸的靜面矩，應(yīng)等于 所以上式為： （6）,形心點(diǎn)的相對壓強(qiáng),（6）式即為作用于平面壁上總壓力大小計(jì)算公式?？倝毫Υ笮〉扔谄桨逍涡奶帀簭?qiáng)PC與平面壁受壓面積A的乘積。 3、確定總壓力的作用點(diǎn)： 假設(shè)受壓面是軸對稱面（此軸與oy軸平行），則總壓力的作用點(diǎn)必位于此對稱軸上。所以，這里只需確定yD的值即可確定總壓力的作用點(diǎn)。

25、 由理論力學(xué)中的合力矩定理，有： 其中 為受壓面積對ox軸的慣性矩，用 表示。 根據(jù)慣性矩平行移軸定理有：,其中 為該受壓面對通過它的形心并與x軸平行的軸的慣性矩。于是有 即： （7） 因 ，故 ，即壓力中心D點(diǎn)一般在形心C點(diǎn)的下面。 在工程實(shí)際中，受壓面多為以y軸為對稱軸的軸對稱

26、面，yD算出后，壓力中心D的位置就完全確定。若受壓面不是軸對稱面，則確定yD后尙需確定xD，可類似上述yD的推導(dǎo)來推出xD。,例題：如圖，涵洞進(jìn)口裝有一圓形平板閘門，閘門平面與水平面成60º，鉸接于B點(diǎn)并可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，門的直徑d=1m，門的中心位于上游水面下4m，門重G=980N。當(dāng)門后無水時(shí)，求從A處將門吊起所需的力T。 解：閘門所受水的總壓力P=γhcA=9.8×4

27、15;π×0.5×0.5=30.79kN,,壓力中心D到B的距離 B到T的垂直距離B到G的垂直距離 根據(jù)理論力學(xué)平衡理論,,,,,常見圖形的幾何特征量,B、圖解法(規(guī)則的矩形),繪制水靜壓強(qiáng)分布圖,對于高為h，寬為b，頂邊與水面齊平的鉛直矩形平面AA’B’B,由水靜壓強(qiáng)分布圖計(jì)算水靜壓力：,總壓力P=（壓強(qiáng)分布圖面積A） ×（寬度b）P的作用點(diǎn)：

28、通過Ω的形心并位于 對稱軸上，如圖,D點(diǎn) 位于水面下的2h/3處。,例題2－5,一鉛直矩形閘門，頂邊水平，所在水深h1＝1m，閘門高h(yuǎn)＝2m，寬b＝1.5m，試用用解析法和圖解法水靜壓力P的大小及作用點(diǎn)。,解：解析法,壓力中心用,例題2－5,圖解法,壓力中心的確定方法：直接繪制梯形的形心，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，對角線的交點(diǎn)就是梯形的形心位置。也

29、可以把梯形分成一個(gè)三角形和一個(gè)矩形，用合力矩＝分力矩之和確定合力作用點(diǎn)。,二.作用于曲面的液體壓力,設(shè)垂直于屏幕的柱體 ：長度為L，受壓曲面為AB。,從AB上取一微元面積dA來分析則作用在dA上的靜水壓力為:dP=pdA=γhdA,水平分力為dPx：鉛直分力為dPz：,壓力體,,,,壓力體：壓力體一般由三種面組成的一個(gè)封閉體 底面：受壓曲面。 頂面：受壓曲面在自由面（相對壓強(qiáng)為零）或其延伸面上的投影。

30、側(cè)面：受壓曲面邊界線所做的鉛直投影面。力方向不是向上就是向下，確定的方法是看壓力體與受壓曲面的相對位置。 實(shí)壓力體：當(dāng)液體與壓力體在同一側(cè)時(shí)就叫實(shí)壓力體， 形象地講就是壓力體里裝有液體（不一定裝滿）。 此時(shí)由于液體的作用，PZ的方向向下。 虛壓力體：液體與壓力體不在同一側(cè)就叫虛壓力體，

31、 這時(shí)壓力體內(nèi)沒有任何液體，PZ的方向向上。PZ的作用線一定要通過壓力體的形心， 有了Px，Pz，就可以求出合力的大小和方向。,,,壓力體：受壓曲面AB與其在自由面上的投影，面積CD所組成的柱體ABCD的體積。,由壓力體的定義可知：作用于曲面上的水靜壓力P的鉛直分力Pz＝其壓力體內(nèi)的水的重量。,蓄水容器上有三個(gè)半球形的蓋已知：H＝2.5m，h＝1.5m R＝0.5m。求：作用

32、于三個(gè)半球形蓋的 水靜壓力。,例題2－6,解：1）水平分力：PAX＝0、PBX＝0,2）鉛直分力：,例題：如圖為一溢流壩上的弧形閘門。已知：R=8m，門寬b=4m，α=30º，試求：作用在該弧形閘門上的靜水總壓力。,,解：閘門所受的水平分力為Px，方向向右 即：,,閘門所受的垂直分力為Pz，方向向上閘門所受水的總壓力總壓力的方向,,,,不論是潛體還是浮體，Px＝0。因?yàn)殂U直方向的投影面積相

33、等，因此相互抵消。Pz：壓力體內(nèi)液體的重量。潛體的壓力體就是物體的體積，因?yàn)樯舷旅娴膲毫w抵消掉一部分。浮體的壓力體就是浸沒在液體中體積。Pz就是浮力的大小等于物體排開液體的重量。（阿基米德浮力定律） G>Pz——沉底重力和浮力之間的關(guān)系： G=Pz——可處處平衡(潛水艇、魚類) G<

34、;Pz——浮出水面，直到G=Pz’.,特例－潛體和浮體,,習(xí) 題 課,例題1.如 圖 所 示 盛 水U 形 管， 靜 止 時(shí)， 兩 支 管 水 面 距 離 管 口 均 為h， 當(dāng)U 形 管 繞OZ 軸 以 等 角 速 度ω 旋 轉(zhuǎn) 時(shí)， 求 保 持 液 體 不 溢 出 管 口 的 最 大 角 速 度ωmax 。,解：由 液 體 質(zhì) 量 守 恒 知，? 管 液 體 上 升 高 度 與?? 管 液 體 下 降 高 度 應(yīng) 相 等，且 兩 者