1、高等幾何多媒體課件,教師授課助手 學(xué)生自修向?qū)А?課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,高等幾何,,數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)主干課程之一,前三高,數(shù)學(xué)分析,高等代數(shù),高等幾何,,后三高,,實變函數(shù),近世代數(shù),點集拓?fù)?高等幾何,,射影幾何,幾何基礎(chǔ),……,本課程,主要介紹平面射影幾何知識(教材前五章),,,綜合大學(xué)：空間解幾＋仿射幾何、射影幾何, 一個學(xué)期,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,什么是射影幾何？,,直觀

2、描述,歐氏幾何,仿射幾何,射影幾何,十九世紀(jì)名言,一切幾何學(xué)都是射影幾何,,,,,,鳥瞰下列幾何學(xué),,歐氏幾何(初等幾何),,,研究圖形在“搬動”之下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量,搬動,,正交變換,,對圖形作有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射的結(jié)果,歐氏幾何,,研究圖形的正交變換不變性的科學(xué),,,(統(tǒng)稱不變性，如距離、角度、面積、體積等),仿射幾何,,,平行射影,仿射變換,,仿射幾何,,研究圖形的仿射變換不變性的科學(xué),,透視仿射變換,有限次平行射影

3、的結(jié)果,仿射不變性,,比如——平行性、兩平行線段的比等等,,射影幾何,,,中心射影,射影變換,,射影幾何,,研究圖形的射影變換不變性的科學(xué),,透視變換,有限次中心射影的結(jié)果,射影不變性,,比如——幾條直線共點、幾個點共線等等,,,射影變換將徹底改變我們原有的幾何空間觀念！,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,二、高等幾何的方法,,綜合法,,給定公理系統(tǒng)(一套相互獨立、無矛盾、完備的命題系統(tǒng))，演繹出全部內(nèi)容,,解析法,,形、

4、數(shù)結(jié)合，利用代數(shù)、分析的方法研究問題,,本課程,,以解析法為主，兼用綜合法,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,二、高等幾何的方法,三、開課目的,學(xué)習(xí)射影幾何，拓展幾何空間概念，引入幾何變換知識，接受變換群思想,訓(xùn)練理性思維、抽象思維、邏輯推理能力，增強數(shù)學(xué)審美意識，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng),新穎性，趣味性，技巧性，反饋于初等幾何和其他學(xué)科，提高觀點，加深理解，舉一反三,四、幾何的發(fā)展歷史線索,射影幾何學(xué)是一切的幾何學(xué) ──[英] Cay

5、ley,經(jīng)驗幾何,（遠(yuǎn)古─元前600年）,（元前600年─ 400年）,積累了豐富的經(jīng)驗，但未上升成系統(tǒng)理論,埃及幾何跟希臘邏輯方法相結(jié)合，以抽象化、邏輯化為特點,畫法幾何,解析幾何(17世紀(jì)),仿射幾何,（坐標(biāo)法）,代數(shù)幾何,代數(shù)法,,微分幾何(19世紀(jì)),（分析方法）,射影幾何(19世紀(jì)),（綜合法、愛爾蘭根綱領(lǐng)代數(shù)法）,特例,應(yīng)用,,四、幾何的發(fā)展歷史線索,非歐幾何,（19世紀(jì)）,四、幾何的發(fā)展歷史線索,拓?fù)鋵W(xué),（幾何與代數(shù)

6、、分析相結(jié)合，多樣化發(fā)展）,分形幾何,周學(xué)時3，一個學(xué)期，學(xué)習(xí)第一章～第六章,五、課程簡介,主要參考書：梅向明、門淑惠等編《高等幾何》,高等教育出版社出版，2008年; 朱德祥、朱維宗等編《高等幾何》（第二版）,高等教育出版社出版，2010年;羅崇善編《高等幾何》,高等教育出版社出版,1999年6月； 朱德祥、李忠映、徐學(xué)鈺等編《高等幾何習(xí)題解答》。,第一章 仿射坐標(biāo)與仿射變換,,,本章地位,,學(xué)習(xí)射影幾何的基礎(chǔ),本章內(nèi)容,,

7、闡明仿射變換的概念，研究仿射變換的不變量與不變性質(zhì)。,學(xué)習(xí)注意,,認(rèn)真思考，牢固掌握基本概念，排除傳統(tǒng)習(xí)慣干擾,,,透視仿射對應(yīng),一、概念,與b交于,1、同一平面內(nèi)兩直線a到b間的透視對應(yīng)，設(shè)L為平面上另外一直線,a與 b不平行。過a上的點 作與L平行的直線,即得a到b的一個一一映射，,稱為透視仿射對應(yīng)。,注：透視仿射對應(yīng)與L的方向無關(guān)。若a與b相交，交點稱為自對應(yīng)點。,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,,兩條直線

8、間的透視仿射對應(yīng),,L,a,b,,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,兩個平面間的透視仿射對應(yīng),,,,,,M,A,B,C,A1,B1,C1,,L,,,,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,2、定義,,,,,P1,P2,P,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,稱,,,2). 符號,(P1P2P)表示一個數(shù), 是有向線段P1P與P2P的比值, 與解幾中的定比分點反號.,3）.與定比的區(qū)別,§ 1 透視仿射對應(yīng),,,二性質(zhì),3保平行性,2保單比不變,

9、67; 1 透視仿射對應(yīng),1保同素性和結(jié)合性,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,第二節(jié)、 仿射對應(yīng)與仿射變換,一、概念,設(shè)同一平面內(nèi)有n條直線，,如下圖,是,的透視仿射對應(yīng),經(jīng)過這一串對應(yīng)，得到,的透視仿射對應(yīng)，,,這個對應(yīng)稱為,的仿射對應(yīng)。,記作：,如圖所示：,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,如圖,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,二、性質(zhì),為什么？,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,（1）保持同素性和結(jié)合性；,（2）保持共線三點的單比不變；,（3）保持直

10、線的平行性不變。,注：仿射對應(yīng)下，對應(yīng)點的連線不一定平行。,反之，若兩個平面間的一個點對應(yīng)（變換）保持同素性、結(jié)合性和共線三點的單比不變，則這個點對應(yīng)（變換）稱為仿射對應(yīng)（變換）,例１、平行四邊形經(jīng)仿射（對應(yīng)）變換仍變?yōu)槠叫兴倪呅?例２、兩平行線段之比經(jīng)仿射對應(yīng)不變,例３、仿射對應(yīng)保持平形性不變,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,,第三節(jié)、仿射坐標(biāo)系,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,仿射變換的坐標(biāo)表示,已知仿射坐標(biāo)：　

11、　　　仿射變換為:T 變換將 ： 　　　　　　　且,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,平行四邊形 變?yōu)槠叫兴倪呅?，且保持單比不變，故 在坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)為 (x,y),,,,,,,,,,,o,o/,p,p/,px,py,px/,py/,x,y,y/,x/,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,一方面 ：,,另一方面：所以：,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,例

12、已知三點 求仿射變換T使順次變?yōu)?.,練習(xí)：1、求使直線 分別變?yōu)?的仿射變換。 2、已知仿射變換

13、求點的像點，及直線 的像直線。,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,復(fù)習(xí)仿射坐標(biāo)及代數(shù)表示式,正交變換位似變換,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,相似變換壓縮變換,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,第四節(jié)、仿射性質(zhì),一、定義：圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)（量），稱為圖形的仿射性質(zhì)（量）,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,同素性，結(jié)合性，平行性是仿射性質(zhì)。單比是仿射不變量。,證明：兩平行直線經(jīng)

14、過仿射變換后仍變?yōu)槠叫兄本€,證明：設(shè)變換為：T:,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,例,二、重要結(jié)論：,1、兩相交直線經(jīng)仿射變換后仍為相交直線。,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,2、共點直線仍變?yōu)楣颤c直線,3、兩平行線段之比是仿射不變量。,4、兩三角形面積之比是仿射不變量（證明見課本）,5、兩個多邊形面積之比是仿射不變量6、兩封閉圖形面積之比是仿射不變量,例、求橢圓的面積,,,,,A,B,C,O,D,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,設(shè)在笛卡爾直角

15、坐標(biāo)系下橢圓方程 為,：,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,§ 2.1 射影平面,,,一、中心射影,1、平面上兩直線間的中心射影,定義1.22,因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影,OP 投射線,P' l 上的點P在l'上的像,P l' 上的點P'在l上的像,OV'//l, 與l不相交， V'為l'上的影消點,影消點的存

16、在，導(dǎo)致兩直線間的中心射影不是一個一一對應(yīng)!,X=l×l' 自對應(yīng)點,OU//l', 與l'不相交， U為l上的影消點,三個特殊點：,§ 2.1 射影平面,,,一、中心射影,2、平面到平面的中心射影,定義1.23,OP 投射線,P' π 上的點P 在π'上的像,P π' 上的點P'在π上的像,因此 ，,是π'到π的中心射影,自對應(yīng)

17、直線(不變直線),三條特殊的線：,， u為由影消點構(gòu)成的影消線,， v'為由影消點構(gòu)成的影消線,影消線的存在導(dǎo)致兩平面間的中心射影不是一個一一對應(yīng),§ 2.1 射影平面,,,一、中心射影,1、平面上兩直線間的中心射影,定義1.22,2、平面到平面的中心射影,定義1.23,},均不是一一對應(yīng),中心射影不是雙射的原因：存在影消點、影消線,存在影消點、影消線的原因：平行的直線沒有交點,如何使得中心射影成為一一對應(yīng)？,給平行線

18、添加交點！,,,一、中心射影,二、無窮遠(yuǎn)元素,目標(biāo)：,改造空間，使得中心射影成為雙射,途徑：,給平行直線添加交點,要求：,不破壞下列兩個基本關(guān)系,兩條相異直線確定惟一一個點(交點),兩個相異點確定惟一一條直線(連線),},點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系,§ 2.1 射影平面,§ 2.1 射影平面,,,二、無窮遠(yuǎn)元素,約定1.1 (1) 在每一條直線上添加惟一一個點，此點不是該直線上原有的點. 稱為無窮遠(yuǎn)點(理想點)，記作P

19、∞ (2) 相互平行的直線上添加的無窮遠(yuǎn)點相同, 不平行的直線上添加的無窮遠(yuǎn)點不同.,區(qū)別起見，稱平面上原有的點為有窮遠(yuǎn)點(通常點)，記作P,,約定1.1 (3) 按約定(1), (2)添加無窮遠(yuǎn)點之后，平面上全體無窮遠(yuǎn)點構(gòu)成一條直線，稱為無窮遠(yuǎn)直線(理想直線)，記作l∞,區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠(yuǎn)直線(通常直線)，l,,總結(jié)：在平面上添加無窮遠(yuǎn)元素之后，沒有破壞點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時使得中心射影成為一一

20、對應(yīng).,,§ 2.1 射影平面,,,理解約定1.1(1), (2),1、對應(yīng)平面上每一方向，有惟一無窮遠(yuǎn)點. 平行的直線交于同一無窮遠(yuǎn)點；交于同一無窮遠(yuǎn)點的直線相互平行.,2、每一條通常直線上有且僅有一個無窮遠(yuǎn)點.,3、平面上添加的無窮遠(yuǎn)點個數(shù)＝過一個通常點的直線數(shù).,4、不平行的直線上的無窮遠(yuǎn)點不同. 因而，對于通常直線：,兩直線,平 行,不平行,交于惟一,無窮遠(yuǎn)點,有窮遠(yuǎn)點,,平面上任二直線總相交,5、空間中每一組

21、平行直線交于惟一無窮遠(yuǎn)點.,6、任一直線與其平行平面交于惟一無窮遠(yuǎn)點.,,§ 2.1 射影平面,,,理解約定1.1(3),1、無窮遠(yuǎn)直線為無窮遠(yuǎn)點的軌跡. 無窮遠(yuǎn)直線上的點均為無窮遠(yuǎn)點；平面上任何無窮遠(yuǎn)點均在無窮遠(yuǎn)直線上.,2、每一條通常直線與無窮遠(yuǎn)直線有且僅有一個交點為該直線上的無窮遠(yuǎn)點.,3、每一平面上有且僅有一條無窮遠(yuǎn)直線.,4、每一組平行平面有且僅有一條交線為無窮遠(yuǎn)直線；過同一條無窮遠(yuǎn)直線的平面相互平行. 因而，對于

22、通常平面：,兩平面,平 行,不平行,交于惟一,無窮遠(yuǎn)直線,有窮遠(yuǎn)直線,,空間中任二平面必相交于唯一直線,,§ 2.1 射影平面,,,三、射影平面,定義 通常點和無窮遠(yuǎn)點統(tǒng)稱拓廣點； 添加無窮遠(yuǎn)點后的直線和無窮遠(yuǎn)直線統(tǒng)稱為拓廣直線(射影仿射直線)； 添加無窮遠(yuǎn)直線后的平面稱為拓廣平面(射影仿射平面).,定理 在拓廣平面上, 點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系成立： (1) 兩個相異的拓廣點確定惟一一條拓廣直

23、線； (2) 兩條相異的拓廣直線確定惟一一個拓廣點.,(1) 拓廣直線的封閉性,拓廣直線：向兩方前進最終都到達(dá)同一個無窮遠(yuǎn)點,四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質(zhì)及模型,歐氏直線：向兩個方向無限伸展,1、拓廣直線(射影仿射直線),§ 2.1 射影平面,,,(2) 拓廣直線的拓?fù)淠Ｐ?§ 2.1 射影平面,,,(3) 射影直線上點的分離關(guān)系,歐氏直線：一點區(qū)分直線為兩個部分。,射影直線：一點不能區(qū)分直線

24、為兩個部分。,歐氏直線：兩點確定直線上的一條線段。,射影直線：兩點不能確定直線上的一條線段。,點偶A,B分離點偶C,D,點偶A,B不分離點偶C,D,§ 2.1 射影平面,,,(i) 任一直線劃分歐氏平面為兩個不同的區(qū)域,任一直線不能劃分射影平面為兩個不同的區(qū)域,(ii) 兩條相交直線劃分歐氏平面為四個不同的區(qū)域,兩條相交直線劃分射影平面為兩個不同的區(qū)域,在射影平面上，可以證明：,,I，II為同一區(qū)域,III，IV為同一區(qū)域,

25、2、射影平面(射影仿射平面),四、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型,(1) 射影平面的封閉性(從兩個方面理解),,,2、射影平面(射影仿射平面),四、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型,射影平面的封閉性,§ 2.1 射影平面,§ 1.4 Desargues透視定理,,,一、Desargues透視定理,一個古老、美麗、實用的重要定理！,1、兩個三點形的對應(yīng)關(guān)系,若兩個三點形對應(yīng)頂點的連線共點，則稱這對對應(yīng)三點形具

26、有透視中心，透視中心也稱為Desargues 點.,若兩個三點形對應(yīng)邊的交點共線，則稱這對對應(yīng)三點形具有透視軸，透視軸也稱為Desargues 線.,問題,請問你是怎樣畫出這兩個圖的？,,,畫圖過程演示,,,,一、Desargues透視定理,1、兩個三點形的對應(yīng)關(guān)系,2、Desargues透視定理,定理,(Desargues透視定理及其逆),,注1、滿足Desargues定理的一對三點形稱為透視的三點形.,,§ 1.4 De

27、sargues透視定理,證明,Desargues定理畫圖過程演示,,,,一、Desargues透視定理,2、Desargues透視定理,注2、關(guān)于Desargues構(gòu)圖. 左圖表示了一對透視的三點形ABC, A'B'C'.,左圖中共有10個點、10條直線，過每個點有三條直線；在每條直線上有三個點. 這10點, 10線地位平等，此圖稱為Desargues構(gòu)圖.,§ 1.4 Desargues透視定理,分

28、析：為證X, Y, Z三點共線, 試在圖中找出一對對應(yīng)三點形, 具有透視中心，且對應(yīng)邊的交點恰為X, Y, Z.,,,二、應(yīng)用舉例,1、證明共線點與共點線問題,由題給, X, Y, Z分別為三對直線的交點, 此三直線涉及到六個字母, 試,例1 在歐氏平面上, 設(shè)ΔABC的高線分別為AD, BE, CF. 而BC?EF=X, CA ?FD=Y, AB?DE=Z. 求證：X, Y, Z三點共線.,所以, 由三點形ABC?DEF的對應(yīng)即得

29、結(jié)論.,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應(yīng)用舉例,1、證明共線點與共點線問題,分析：因為R是動點，作R的另一個位置R'. 得到P', Q', 設(shè)P'Q', PQ交于C.只要證明A, B, C三點共線.,由OX, OY, OZ共點于O, 只要找到一對對應(yīng)三點形，其三對對應(yīng)頂點分別在OX, OY, OZ上, 且三雙對應(yīng)邊交點恰為A, B, C即可.,如圖，PQR, P

30、9;Q'R'正是所需.,,例2 設(shè)OX, OY, OZ為三條定直線, A, B為定點, 其連線經(jīng)過O. R為OZ上的動點, 直線RA, RB分別與OX, OY交于P, Q. 求證：PQ經(jīng)過AB上的一個定點.,,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應(yīng)用舉例,1、證明共線點與共點線問題,證明：考察三點形PQR與ABC，它們有透視中心S，從而它們有透視軸，即A1, B1, C1三點共線.,引申：同

31、理可證,例3 已知完全四點形PQRS, 其對邊三點形為ABC. 設(shè)A1=BC ? RQ, B1=AC ? RP, C1=AB ? PQ. 求證：A1, B1, C1三點共線.,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應(yīng)用舉例,1、證明共線點與共點線問題,證明：設(shè)動點P的另一個位置為P', 依題意作圖, 得交點X', Y'.,考察三點形AXX'與BYY', 因為其對應(yīng)邊的交點P

32、, C, P'共線，所以其對應(yīng)頂點的連線AB, XY, X'Y'共點, 此點為AB上的定點.,例4 設(shè)A, B, C為不共線三點, P是過C的定直線上的動點, AP ? BC=X, AC ? BP=Y. 求證：XY經(jīng)過定點.,思考：考察三點形PXY與P'X'Y'進行證明.,思考：本題實際上與例2為同一個題目！,,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應(yīng)用舉例,1、證明

33、共線點與共點線問題,證明：考察三點形ZBC和YLM, 有透視軸A, X, D. 即得結(jié)論.,2、不可及點的作圖問題,注：從現(xiàn)在開始，凡作圖問題，均指僅用無刻度直尺作圖.,例5 設(shè)XYZ為完全四點形ABCD的對邊三點形, XZ分別交AC, BD于L, M. 求證：YZ, BL, CM共點.,思考：還能有其他方法嗎？,,,,,,,§ 1.4 Desargues透視定理,,,二、應(yīng)用舉例,2、不可及點的作圖問題,例6. 已知平面

34、上二直線a, b, P為不在a, b上的一點. 不作出a, b的交點a ? b, 過P求作直線c, 使c經(jīng)過a ? b.,解. 作法：,(1). 在a, b外取異于P的一點O.,過O作三直,線l1, l2, l3.,設(shè)l1, l2, 分別交a, b于A1, A2; B1, B2.,(2). 連PA1, PB1分別交l3于A3, B3.,(3). 連A2A3, B2B3交于Q.,(4). PQ=c為所求直線.,證明：由作法，三點形A1A2

35、A3, B1B2B3有透視中心O. 故其對應(yīng)邊的交點P=A1A3 ? B1B3, Q=A2A3 ? B2B3以及a ? b三點共線，即c=PQ經(jīng)過a, b的交點.,注：解作圖題必須包括作法、畫圖、證明三部分！,§ 1.4 Desargues透視定理,引入目的,,實現(xiàn)數(shù)、形結(jié)合，用解析法研究射影幾何,基本要求,,既能刻畫有窮遠(yuǎn)點，也能刻畫無窮遠(yuǎn)點,基本途徑,,從笛氏坐標(biāo)出發(fā)，對通常點與笛氏坐標(biāo)不矛盾,主要困難,,來自傳統(tǒng)笛氏坐

36、標(biāo)的干擾,必須注意,,齊次坐標(biāo)與笛氏坐標(biāo)的根本區(qū)別在于齊次性，因此，學(xué)習(xí)訣竅是在齊次性的前提下靈活運用線性代數(shù)知識。盡管針對拓廣平面, 但是今后通用,齊次性問題,,幾乎無處不在的非零比例常數(shù)和比例關(guān)系,,,二、齊次點坐標(biāo),定義2.1,,,有窮遠(yuǎn)點,無窮遠(yuǎn)點,,非齊次,,齊次坐標(biāo),關(guān)系,,,,注,對一維齊次點坐標(biāo)定義的進一步理解,§ 2 齊次坐標(biāo),1. 一維齊次點坐標(biāo),(x1, x2) (x2≠0),x,x= x1 /

37、x2,(x1, 0) (x1≠0),,,,(1).,都有齊次坐標(biāo),反之，,都對應(yīng)唯一一點,(0, 0)不是任何點的齊次坐標(biāo).,(2).,與,是同一點的齊次坐標(biāo). 因此，,直線上每個點都有無窮多個齊次坐標(biāo)，同一點的任意兩個齊次坐標(biāo)之間相差一個非零比例常數(shù).,(3).,原點：(0, x2), 特別地，(0, 1).,無窮遠(yuǎn)點：(x1, 0), 特別地，(1, 0).,二、齊次點坐標(biāo),§2 齊次坐標(biāo),1. 一維齊次點坐標(biāo),注

38、：定義2.1沒有解決無窮遠(yuǎn)直線的問題.,,,引入,可視為,P為,通常點,無窮遠(yuǎn)點,,,設(shè) li: Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1, 2). 記 |AB| 表示,(1). P為通常點，,,設(shè) P(x, y). 則,令|BC|=x1, |CA|=x2, |AB|=x3. 則,從而 x : y : 1=x1 : x2 : x3. 于是, 可以把與(x, y, 1)成比例的任何有序?qū)崝?shù)組(x1, x2, x3)作為點P的齊次坐標(biāo).,2

39、. 二維齊次點坐標(biāo),§ 2 齊次坐標(biāo),同樣有|BC|, |CA|.,,,引入,(2). P=P∞, l1 // l2. 即P∞為l1, l2方向上的無窮遠(yuǎn)點.,目標(biāo)：,構(gòu)造P∞的齊次坐標(biāo)，使之僅與l1, l2的方向(斜率)有關(guān).,因l1 // l2. 故前述x3=0.考慮取(x1, x2, 0)為P∞的齊次坐標(biāo). 只要證明x1, x2僅與li的方向(斜率)有關(guān).,當(dāng)li不平行于y軸時，即x1≠0. 不難證明,其中λ為li

40、的斜率, 即(x1, x2, 0)表示方向為λ的無窮遠(yuǎn)點. 特別地, 若x2=0, 則表示x軸上的無窮遠(yuǎn)點.,當(dāng)li平行于y軸時， λ=∞. 可合理地取(0, x2, 0) (x2≠0)為y軸上無窮遠(yuǎn)點的齊次坐標(biāo).,引出定義,,2. 二維齊次點坐標(biāo),§2 齊次坐標(biāo),,,定義2.2,,,有窮遠(yuǎn)點,方向為λ =x2/x1的無窮遠(yuǎn)點,,非齊次,,齊次坐標(biāo),關(guān)系,,,,注,對二維齊次點坐標(biāo)定義的進一步理解,,y軸上的無窮遠(yuǎn)點,,,2

41、. 二維齊次點坐標(biāo),§ 2 齊次坐標(biāo),(x, y),x = x1 / x3, y = x2 / x3,(x1, x2, x3) (x3≠0),(x1, x2, 0) (x1≠0),(λ=x2/x1),(0, x2, 0) (x2≠0),無窮遠(yuǎn)點,,,,,(1). 對任意的P∈π, 都有齊次坐標(biāo)(x1, x2, x3). 對于通常點x3≠0；對于無窮遠(yuǎn)點x3=0, 但x12+x22≠0. 反之, 任給(x1, x2,

42、x3) (x12+x22+x32≠0), 都對應(yīng)惟一一點P∈π. (0, 0, 0)不是任何點的齊次坐標(biāo).,(2). 對任意的0≠ρ∈R, (x1, x2, x3)與(ρx1,ρx2,ρx3)是同一點的齊次坐標(biāo). 因此, 平面上每個點都有無窮多個齊次坐標(biāo), 同一點的任意兩個齊次坐標(biāo)之間相差一個非零比例常數(shù).,(3). 原點：(0, 0, x3), 特別地(0, 0, 1); 無窮遠(yuǎn)點(x1, x2, 0), 若x1≠0, 則可表為(1,

43、 λ, 0), 其中λ為該無窮遠(yuǎn)點的方向. 特別地, x軸上的無窮遠(yuǎn)點為(1, 0, 0), y軸上的無窮遠(yuǎn)點為(0, 1, 0).,2. 二維齊次點坐標(biāo),§ 2 齊次坐標(biāo),,,二、二維齊次點坐標(biāo),例 1,求下列各點的齊次坐標(biāo).,(1).,,,,,,齊次坐標(biāo)(一般形式),,特定一組,(2).,求直線,上的無窮遠(yuǎn)點.,斜率,,代入,,所求無窮遠(yuǎn)點為,也就是(4, 3, 0).,上的無窮遠(yuǎn)點為,,§ 2 齊次

44、坐標(biāo),,,三、直線的齊次坐標(biāo)方程,定理 2.1,在齊次坐標(biāo)下，直線的方程為,(1.14),反之，(1.14)表示直線. 稱(1.14)為直線的齊次方程.,注：,定理2.1不僅給出了拓廣平面上直線的齊次方程，還對通常直線提供了齊次、非齊次方程互化的方法.,§ 2 齊次坐標(biāo),推論,過原點的直線的齊次方程為u1x1+u2x2=0.特別地, x軸: x2=0, y軸: x1=0, l∞: x3=0.,,,改變一下你的幾何學(xué)觀

45、點,,,,,,,點,直線,曲線,坐標(biāo),方程,點的軌跡,點幾何學(xué),線幾何學(xué),方程,坐標(biāo),直線族的包絡(luò),四、齊次線坐標(biāo),§ 2 齊次坐標(biāo),線幾何學(xué)：以直線為基本幾何元素去表達(dá)其他幾何對象,,,四、齊次線坐標(biāo),1. 定義,將直線l：,中的系數(shù)稱為l的齊次線坐標(biāo)，記作,注1,齊次線坐標(biāo)與齊次點坐標(biāo)有完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì).,注2,y軸：,x軸：,過原點的直線：,思考：注2中這些直線的齊次坐標(biāo)分別與哪些點的齊次坐標(biāo)相同(忽略括號差別

46、)？,注3,由定義,,方程,系數(shù),坐標(biāo),,,實現(xiàn)互化, 故ψ由φ誘導(dǎo).,§ 2齊次坐標(biāo),,,定理2.3 在齊次線坐標(biāo)下，點x在直線u上?,2. 點的齊次方程,§ 2 齊次坐標(biāo),定義2.5 在齊次線坐標(biāo)下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且僅能被過點P的直線的齊次坐標(biāo)所滿足，則稱 f=0 為點 P 的齊次方程.,,,2. 點的齊次方程,§ 2 齊次坐標(biāo),四、齊次線坐標(biāo),注,對(1.4)的新理解

47、.,,,,,,,(1.4),變 (流動),不變(常數(shù)),直線u的方程,幾何意義,動點x在定直線u上；,定直線u為動點x的軌跡,點幾何觀點,線幾何觀點,不變(常數(shù)),變 (流動),點x的 方程,動直線u過定點x；,定點x為動直線u的包絡(luò),因此，一般地，稱(1.4)為點與直線的齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系. 點、直線統(tǒng)稱為幾何元素.,給定齊次方程,,,四、齊次線坐標(biāo),2. 點的齊次方程,例 2,求下列各點的齊次方程.,(1). x軸上的無窮遠(yuǎn)點,(2

48、). y軸上的無窮遠(yuǎn)點,(3). 原點,(4). 點(1,2,2),(5). 方向為,的無窮遠(yuǎn)點,(6). 無窮遠(yuǎn)直線上的點,思考：本例中這些點的齊次方程分別與哪些直線的齊次方程形式上相同？,§ 2 齊次坐標(biāo),(3,–1,0),§ 3 對偶原理,,,一、平面對偶原則,重要原理！ 貫穿全書！,1. 基本概念,(1). 對偶元素,點,,直線,(2). 對偶運算,過一點作一直線,,在一直線上取一點,(4). 對偶

49、圖形,在射影平面上，設(shè)已知由點、直線及其關(guān)聯(lián)關(guān)系,構(gòu)成的圖形Σ，若對Σ作對偶變換，則得到另一個圖形Σ'. 稱Σ、 Σ'為一對對偶圖形.,圖形Σ,圖形Σ',作對偶變換,,,互為對偶圖形,(3). 對偶變換,互換對偶元素地位、作對偶運算,,,一、平面對偶原則,2. 基本對偶圖形舉例,,(1) 點,(1)' 直線,(2) 點列(共線點集),(2)' 線束(共點線集),(3) 點場(共面點集),(3)&#

50、39; 線場(共面線集),(4) 簡單n點形：n個點(其中無三點共線)及其兩兩順次連線構(gòu)成的圖形.,(4)' 簡單n線形：n條直線(其中無三線共點)及其兩兩順次相交的交點構(gòu)成的圖形.,頂點：n個；邊：n條.,邊：n條；頂點：n個.,下面分別考察n=3和n=4的情形,§ 3 對偶原理,,,簡單n點(線)形：n=3,,簡單三點形,簡單三線形,簡單n點(線)形：n=4,,簡單四點形,簡單四線形,顯然，簡單n點(線)形與其

51、頂點(邊)的順序有關(guān),§ 3 對偶原理,,,,(5) 完全n點形：n個點(其中無三點共線)及其每兩點連線構(gòu)成的圖形.,(5)' 完全n線形：n條直線(其中無三線共點)及其每兩直線交點構(gòu)成的圖形.,頂點：n個；,邊：n條；,完全n點(線)形：n=3,,完全三點形ABC,完全三線形abc,一對自對偶圖形. 將不加區(qū)分, 簡稱三點形或三線形.,§ 3 對偶原理,,,完全n點(線)形：n=4,,完全四點形ABC

52、D,完全四線形abcd,射影幾何中最重要的一對圖形,§ 3 對偶原理,完全四點形ABCD,完全四線形abcd,,頂點,4個,邊,6條,對邊(沒有公共頂點的邊),3組,對邊點(對邊的交點),3個,對邊三點形 XYZ,邊,4條,頂點,6個,對頂(不在同一邊上的頂點),3組,對頂線(對頂?shù)倪B線),3條,對頂三線形 xyz,請課后畫圖，熟悉圖形及名稱. 今后將專門研究其重要性質(zhì),例 1,作下列圖形的對偶圖形,,點,2個,直線,5條

53、,關(guān)聯(lián)關(guān)系,(1) P,Q在l上；,(2) a,b,l共點于P; c,d,l共點于Q,直線,2條,點,5個,關(guān)聯(lián)關(guān)系,(1) ' p,q過點L；,(2) ' A,B,L共線于p; C,D,L共線于q,,,一、平面對偶原則,2、對偶圖形舉例,1、基本概念,3、作一圖形的對偶圖形,翻譯,§ 3 對偶原理,,,一、平面對偶原則,2. 基本對偶圖形舉例,1. 基本概念,3. 作一圖形的對偶圖形,4. 平面對偶原則

54、,(1) 射影命題,在射影平面上，若命題P僅與點和直線的關(guān)聯(lián)、順序關(guān)系有關(guān)，則稱P為一個射影命題.,(2) 對偶命題,射影命題P,射影命題P*,作對偶變換,,,互為對偶命題,(3) 平面對偶原則,定理,(平面對偶原則)在射影平面上，,射影命題P成立,,射影命題P*成立,§ 3 對偶原理,,,一、平面對偶原則,2. 基本對偶圖形舉例,1. 基本概念,3. 作一圖形的對偶圖形,4. 平面對偶原則,例 2,對偶命題舉例,,(1)

55、 P 過相異二點有且僅有一條直線.,(1)' P* 兩相異直線有且僅有一個交點.,(2) P 如果兩個三點形的對應(yīng)頂點連線共點，則其對應(yīng)邊的交點必定共線.,(2)' P* 如果兩個三點形的對應(yīng)邊交點共線，則其對應(yīng)頂點的連線必定共點.,注1,只有射影命題才有對偶命題.,注2,對偶原則是一個雙射,F：,點幾何,線幾何,,因此, 對偶原則可以使得點幾何問題與線幾何問題相互轉(zhuǎn)化, 可以起到事半功倍的作用.,§ 3 對偶

56、原理,,,二、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論,,(1). 兩點a, b重合?,(1)'. 兩直線a, b重合?,§3 對偶原理,(2). 相異兩點a, b連線方程為,(2)'. 相異兩直線a, b交點方程為,坐標(biāo)為,,坐標(biāo)為,,,,(3). 相異三點a,b,c共線?,(3)'. 相異三直線a,b,c共點?,(4). 點c在相異兩點a,b連線上?點c的齊次坐標(biāo)可表示為la+mb(l,m不全為零).,§

57、 3 對偶原理,,(4)'. 直線c經(jīng)過相異兩直線a,b交點?直線c的齊次坐標(biāo)可表示為la+mb(l,m不全為零).,二、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論,注：若三點(直線)a, b, c不共線(點), 則上述矩陣滿秩.,,,,(5). 相異三點a,b,c共線?存在p,q,r(pqr≠0)使得,即可適當(dāng)選取a,b,c的齊次坐標(biāo)使得,§ 3 對偶原理,二、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論,(5)'. 相異三直線a,b,c共點?存在

58、p,q,r(pqr≠0)使得,即可適當(dāng)選取a,b,c的齊次坐標(biāo)使得,a+b+c=0, 或 c=a+b.,a+b+c=0, 或 c=a+b.,,,例 3,已知共線三點 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求?, 使得,解,令,其中ρ為非零比例常數(shù).,可解得?=3.于是，可適當(dāng)選取 a, b, c 的齊次坐標(biāo)，使得 c=a+3b.,§ 3 對偶原理,二、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論,,§ 2.4

59、 復(fù)元素,,,一、二維空間的復(fù)元素,實歐氏平面,,實仿射平面,實射影平面,復(fù)射影平面,本課程不討論復(fù)射影平面. 我們將實射影平面嵌入到復(fù)射影平面中進行討論，即討論帶有虛元素的實射影平面－－實-復(fù)射影平面,,,§ 2.4 復(fù)元素,,,一、二維空間的復(fù)元素,復(fù)點：設(shè)有一對有序復(fù)數(shù),如果,都是實數(shù)，則,為一普通點即實點，若,或,為復(fù)數(shù)或均為復(fù)數(shù)，則規(guī)定一個新點稱為復(fù)點，仍以,為其坐標(biāo)。,復(fù)點的齊次坐標(biāo)：,實點,規(guī)定為復(fù)點的齊次坐標(biāo)

60、。,與三個不全為零的實數(shù)成比例,,§ 2.4 復(fù)元素,,,一、二維空間的復(fù)元素,同樣的，對于,，當(dāng),表示普通點；,表示無窮遠(yuǎn)復(fù)點.,復(fù)直線的引入與此類似：,齊次復(fù)數(shù)線坐標(biāo),,,實直線,復(fù)直線,與復(fù)點坐標(biāo)的引入相似,定義,§ 2.4 復(fù)元素,,,二、幾點說明,比如，(i, i, i)為實點.,3、顯然，實直線上可以有虛點，虛直線上可以有實點；過實點可以有虛直線，過虛點可以有實直線.,復(fù)點、復(fù)直線統(tǒng)稱復(fù)元素.,

61、67;2. 4復(fù)元素,,,三、共軛復(fù)元素,定義1：若,為一元素（點或直線）的齊次坐標(biāo)時，,為另一同類元素（點或直線）的齊次坐標(biāo)，,則此二元素叫做共軛復(fù)元素。,兩個元素可能在相差一個非零比例常數(shù)的前提下共軛。,注意：兩個非無窮遠(yuǎn)共軛復(fù)元素，非齊次坐標(biāo)必為共軛復(fù)數(shù)；但齊次坐標(biāo)不一定為共軛復(fù)數(shù)。,§ 2.4 復(fù)元素,,,四、幾個結(jié)論,,,(3)、實直線上的點或為實點或為成對出現(xiàn)的共軛虛點.,(3')、過實點的直線或為實直線

62、或為成對出現(xiàn)的共軛虛直線.,(4)、兩共軛復(fù)點連線為實直線.,(4')、兩共軛復(fù)直線交點為實點.,(5)、過一復(fù)點有且僅有一條實直線.,(5')、在一條復(fù)直線上有且僅有一個實點.,§ 2.4 復(fù)元素,,五、例題：,求：(1)過點,的實直線；,(2)直線,上的實點.,解：(1)因為過點,的實直線必過其共軛復(fù)點,所以所求直線為：,即：,,§ 2.4 復(fù)元素,(2)直線,上的實點為此直線與其共軛復(fù)直線,的交

63、點，由方程：,解得實點為：,第三章 射影變換,,,本章地位,,平面射影幾何的核心內(nèi)容之一,本章內(nèi)容,,在一維、二維射影空間以及齊次坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)學(xué)習(xí)一維、二維射影變換及其一些特殊情形，對一些射影不變量和不變性作初步地研究。,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,交比 — 最根本的射影不變量,定義3.1. 設(shè)P1,P2,P3,P4為共線四點，(P1P2,P3P4)表示這四點,(3.1),稱P1,P

64、2為基點偶， P3,P4為分點偶.,構(gòu)成的一個交比（或交叉比，復(fù)比）. 定義為：,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,注：(1)若點偶,不分離點偶,記作,,¨,(2)若點偶,分離點偶,記作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3)當(dāng),重合時，,當(dāng),重合時，,一、點列中四點的交比,1.定義,§ 3.1 交比與調(diào)和比,顯然，共線四點的交比值與這四點在交比記號中的次序有關(guān). 改變次序一般會改變交比值

65、.,因此，根據(jù)次序不同，共線四點可以構(gòu)成,設(shè)(P1P2,P3P4 )=r. 我們來探討這24個交比的規(guī)律.,,,2.交比的組合性質(zhì),性質(zhì)1 設(shè)(P1P2,P3P4 )=r. 當(dāng)改變這四點在交比符號中的次序,時，交比值變化規(guī)律如下：,,,4!=24,個交比.,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,推論 由性質(zhì)1，相異的共線四點構(gòu)成的24個交比只有6個不同的值：,不必背誦，但是要熟練掌握變化規(guī)律！,,,

66、7; 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),3、特殊情況,性質(zhì)1中共線四點的交比值出現(xiàn)0, 1, ∞三者之一?這四點中有,某二點相同.,性質(zhì)2 一直線上的無窮遠(yuǎn)點分其上任何兩點的單比等于1.,§ 3.1 交比與調(diào)和比,定理2. 設(shè)點列l(wèi)(P)中四點Pi的齊次坐標(biāo)為a+λib(i=1,2,3,4). 則,3、特殊情況,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),4、交比的代數(shù)表示,定理1.

67、設(shè)P1,P2,P3,P4共線四點，其齊次坐標(biāo)依次為a，b，,a+λ1b，a+ λ2b. 則：,引理：已知兩不同的普通點,，,為直,線AB上一點，且 ,則,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,證明定理2. 以P1,P2,為基點，參數(shù)表示P3,P4. 設(shè),a+λ1b=a', a+λ2b=b'.,從中解出a,b, 得,于是， P1,P2,P3,P4的坐標(biāo)可表示為,即,由定理1

68、，有,注：定理1可以作為交比的一般定義.,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,定理3 若四個不同的共線點中的三點及其交比值為已知，,則第四點必惟一確定。,在共線四點的交比中，交比值為-1的情況在,射影幾何中十分重要，稱之為調(diào)和比。,3、特殊情況,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),4、交比的代數(shù)表示,5、調(diào)和比,定義 若(P1P2,P3P4 )= –1, 則稱,推論1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 則此四點互異.

69、,推論2 相異四點P1,P2,P3,P4可按某次序構(gòu)成調(diào)和比?這四點,的6個交比值只有3個：,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,調(diào)和比是最重要的交比！,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),3、特殊情況,4、調(diào)和比,對于(P1P2,P3P4 )= –1, 由定義可得：,此時, 若,則可合理地認(rèn)為,于是,這表示P3為P1P2的中點，從而有,推論3 設(shè)P1,P2, P為共線的通常點. P

70、∞為此直線上的無窮遠(yuǎn)點.則P為P1P2的中點,注：本推論建立了線段的中點、調(diào)和比的聯(lián)系,,,一、點列中四點的交比,§ 3.1 交比,例1. 設(shè)1,2,3,4,5,6是6個不同的共線點. 證明：若(12,34)=(14,32), 則(13,24)=-1.,,由題設(shè),,已知四點相異,,,,§ 3.1 交比與調(diào)和比,,,一、點列中四點的交比,1、定義,2、性質(zhì),3、特殊情況,4、調(diào)和比,5、交比的計算,(1). 由坐標(biāo)