1、拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其應(yīng)用拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其應(yīng)用拋物線中有一些常見(jiàn)、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)問(wèn)題，在做解答題時(shí)也可迅速打開(kāi)思路。結(jié)論一：若結(jié)論一：若ABAB是拋物線是拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦），且，且，，則：，則：，22(0)ypxp??11()Axy22()Bxy2124pxx?。212yyp??證明：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為F(0)當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為：

2、，2p()2pykx??由得:∴，。2()22pykxypx????????2220kypykp???212yyp??2242121222244yyppxxppp????當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線AB方程為，則，，∴，同上也有：2px?1yp?2yp??212yyp??。2124pxx?例：已知直線例：已知直線AB是過(guò)拋物線是過(guò)拋物線焦點(diǎn)焦點(diǎn)F，求證：，求證：為定值。為定值。22(0)ypxp??11AFBF?證明：設(shè)，，由拋物線的定義知：，

3、，又=11()Axy22()Bxy12pAFx??22pBFx??AFBF，所以=p，且由結(jié)論一知：。AB1x2xAB2124pxx?則：=（常數(shù)）212121211()()()2224AFBFABABppppAFBFAFBFxxxxxx???????????222()424ABppppABp????結(jié)論二：（結(jié)論二：（1）若）若ABAB是拋物線是拋物線的焦點(diǎn)弦，且直線的焦點(diǎn)弦，且直線ABAB的傾斜角為的傾斜角為α，則，則22(0)yp

4、xp??（α≠0α≠0）。（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦）最短。）焦點(diǎn)弦中通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦）最短。22sinPAB??證明：（1）設(shè)，，設(shè)直線AB:11()Axy22()Bxy()2pykx??由得:∴，，2()22pykxypx????????2220kypykp???122pyyk??212yyp??∴。221212122221112111()41pkAByyyyyykkkk?????????

5、?222222(1)2(1tan)2tansinpkpPk????????易驗(yàn)證，結(jié)論對(duì)斜率不存在時(shí)也成立。（2）由（1）：AB為通徑時(shí)，，的值最大，最小。90???2sin?AB例：已知過(guò)拋物線例：已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦的焦點(diǎn)的弦ABAB長(zhǎng)為長(zhǎng)為1212，則直線，則直線ABAB傾斜角為傾斜角為。29yx?結(jié)論五：結(jié)論五：對(duì)于拋物線，其參數(shù)方程為設(shè)拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為22(0)xpyp??222xptypt?????，，22xpy?P，為

6、拋物線的頂點(diǎn)，顯然，即的幾何意義為過(guò)拋物線頂點(diǎn)的動(dòng)弦的斜2(22)ptpt，O222OPptktpt??tOOP率例直線與拋物線相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，和垂直，且線2yx?22(0)ypxp??ABOBOA段長(zhǎng)為，求的值A(chǔ)B513P解析：設(shè)點(diǎn)分別為，則，AB，22(22)(22)AABBptptptpt，，，112AOAtk??12BOAOBtkk?????的坐標(biāo)分別為AB，(84)2pppp???????，，，228(4)2p

7、ABppp??????????∴5135132p??2p?∴練習(xí)：練習(xí)：1.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段與的長(zhǎng)分別是，2(0)yaxa??FPQ，PFFQpq，則=11pq?【解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，從而取特殊情況，過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直于對(duì)稱軸，則21(0)xyaa??12pa?FPQ為通徑，即，從而，故】PQ12PQpa??12pqa??114apq??2.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，22

8、(0)ypxp??FFAB，C且軸證明直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)BCx∥ACO【證明：拋物線焦點(diǎn)為設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得若設(shè)02pF??????，AB2pxmy??2220ypmyp???，則軸，且點(diǎn)在準(zhǔn)線；1122()()AxyBxy，，，212yyp??BCx∵∥C12COpky?又由，得，故，即直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)】2112ypx?1112AOypkxy??COAOkk?ACO3.已知拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程是，求拋物線的方程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和