1、,向量法求二面角的大小,北京市房山區(qū)教師進修學校盧寒芳,四、教學過程的設計與實施,,一、教學背景的分析,二、教學目標的確定,三、教學方法的選擇,,,,,,五、教學效果評價與反思,,,一、教學背景的分析,本節(jié)課教學內(nèi)容選自人教高中數(shù)學B版選修2—1第 三章第2.4節(jié)“二面角及其度量”的第2課時．二面角是立體幾何的重要概念之一．它是學生在 學習異面直線所成的角，直線與平面所成的角之 后，又重點研究的一種空間角．

2、課標要求：能用向量方法解決面面夾角的計算問 題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．,一、教學背景的分析,利用向量方法求解立體幾何問題是將邏輯推理轉化 為向量的代數(shù)運算. 三步曲：空間向量表示幾何元素→利用向量運算研 究幾何元素間的關系→把運算結果轉化成相應的幾 何結論.用到數(shù)形結合、類比轉化等數(shù)學思想和方法，有助 于提高學生的思維能力．,一、教學背景的分析,已學習：二面角及二面角的平面角的概念會：

3、建立空間直角坐標系 進行向量坐標運算 求平面的法向量已掌握：用向量求解線線角、線面角的方法,二、教學目標的確定,通過類比異面直線所成的角、直線與平面所成角的解決方法，得到用向量求二面角大小的方法，并能用之解決有關問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．,通過經(jīng)歷向量法求二面角大小的推導過程，培養(yǎng)大膽探索精神，提高學習立體幾何的興趣．,在探究用向量法求二面角大小的過程中，

4、體會數(shù)形結合、類比轉化的數(shù)學思想，進一步提高空間想象能力、分析問題和解決問題的能力．,,重點和難點,重點:用法向量夾角求二面角的方 法的探究及應用,難點:二面角與兩個半平面的法向 量夾角的關系,二、教學目標的確定,,多媒體輔助,三、教學方法的選擇,,教師啟發(fā)引導學生自主探究,四、教學過程的設計與實施,,四、教學過程的設計與實施,,,l,,如何度量二面角α—l—β的大小,四、教學過程的設計與實施,異面直線

5、所成的角,,,,,,,,,,四、教學過程的設計與實施,,直線與平面所成的角,,,,,,,,,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,四、教學過程的設計與實施,,四、教學過程的設計與實施,,,A,O,B,,,問題1： 二面角的平面角 能否轉化成向量的夾角？,四、教學過程的設計與實施,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,四、教學過程的設計與實施,問題2：求直線和平面所成的角可轉化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那

6、么二面角的大小與兩個半平面的法向量有沒有關系？,,四、教學過程的設計與實施,思考：法向量的夾角與二面角平面角的關系,,四、教學過程的設計與實施,,四、教學過程的設計與實施,,,,,,,,,,,四、教學過程的設計與實施,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)教師引導，由學生發(fā)現(xiàn)該二面角的求解可由向量的夾角來確定，調動學生探究這一問題的主動性和積極性.,,根據(jù)教師引導，由學生發(fā)現(xiàn)該二面角的求解可由向量的夾角來確定，調動學生探究這一問題的主動性和積

7、極性.,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,,四、教學過程的設計與實施,,,,,,,,,,,,,,問題3：法向量的夾角與二面角的大小什么時候相等，什么時候互補？再次演示課件,,四、教學過程的設計與實施,,,,,,,,,,,,,,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,,四、教學過程的設計與實施,四、教學過程的設計與實施,已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，

8、 ，求平面SAB與SCD 所成二面角的余弦值．,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,四、教學過程的設計與實施,已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面SAB與SCD 所成二面角的余弦值．,四、教學過程的設計與實施,四、教學過程的設計與實施,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,四、教學過程的設計與實施,總結出利用法向量求二面

9、角大小的一般步驟：1）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的 夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或 鈍角，得出問題的結果．,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,四、教學過程的設計與實施,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點Q是BC的中點，求二面角A—DQ—A1的余弦值．,鞏固練習：,,四、教學過程的設計與實施,數(shù)形結合,類比轉化,兩個思想,四

10、、教學過程的設計與實施,一個步驟,兩種方法,半平面內(nèi)分別垂直于棱的向量的夾角,兩個平面的法向量的夾角求解,用法向量求二面角大小的步驟,四、教學過程的設計與實施,設計意圖,課后作業(yè)：1、如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1 ， 試用多種方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．2、P111練習A第3題，練習B第2題,四、教學過程的設計與實施,四、教學過程的設計與實施,五、教學效果的評價與反思,五、教學效果的