1、第二節(jié)第二節(jié)方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量內(nèi)容分布圖示內(nèi)容分布圖示★特征值與特征向量的概念★例1★例2★例3★例4★例5★特征值與特征向量的性質(zhì)(1)★例6★特征值與特征向量的性質(zhì)(2)★例7★例8★定理1★例9★例10★例11★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題42★返回內(nèi)容要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn):一、特征值與特征向量一、特征值與特征向量定義定義1設(shè)是階方陣如果數(shù)和維非零向量使An?nXXAX??成立則稱數(shù)為方陣的特征值非零向量稱為的對應(yīng)于

2、特征值的特征向量（或?AXA?稱為的屬于特征值的特征向量）.A?注：1.階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組nA?0)(??XAE?有非零解的值即滿足方程0||??AE?的都是矩陣的特征值.?A稱關(guān)于的一元次方程為矩陣的特征方程，稱的一元次多項(xiàng)式?n0||??AE?A?n||)(AEf????為矩陣的特征多項(xiàng)式.A根據(jù)上述定義，即可給出特征向量的求法：設(shè)為方陣的一個特征值，則由齊次線性方程組i???A0)(??XAEi?可求得非零解，那

3、么就是的對應(yīng)于特征值的特征向量，且的對應(yīng)于特征值ipipAi?A的特征向量全體是方程組的全體非零解。即設(shè)為i?0)(??XAEi?sppp21???的基礎(chǔ)解系，則的對應(yīng)于特征值的特征向量全體是0)(??XAEi?Ai?不同時.sspkpkpkp???????2211skk(1???)0例1(講義例講義例1)求矩陣的特征值和特征向量.??????????1513A例2(講義例講義例2)設(shè)求A的特征值與特征向量.314020112?????

4、????????A例3(講義例講義例3)求n階數(shù)量矩陣的特征值與特征向量.???????????????aaaA???????000000例4試求上三角陣A的特征值:.00022211211???????????????nnnnaaaaaaA???????例5令則12211011??????????????????BA.12332232???????????????????ABBA例6(講義例講義例4)試證:n階矩陣A是奇異矩陣的充分必

5、要條件是A有一個特征值為零.注:此例也可以敘述為：n階矩陣A可逆它的任一特征值不為零.?例7(講義例講義例5)設(shè)是方陣A的特征值證明?(1)是的特征值(2)當(dāng)A可逆時是的特征值.2?2A?11?A注：易進(jìn)一步證明：若是的特征值則是的特征值，是的特征值，?Ak?kA)(??)(A?其中特別地設(shè)特征多項(xiàng)式則是)(1110nnnnaxaxaxax????????||)(AEf????)(?f的特征值且)(Af.0||)1()(12211???

6、??????EAAaaaAnnnnn??例8(講義例講義例6)設(shè)3階矩陣A的特征值為求211?.|23|EAA??例9求3階矩陣的特征值以及相應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量組.?????????????111131111A例10(講義例講義例7)設(shè)和是矩陣A的兩個不同的特征值對應(yīng)的特征向量依次為1?2?和證明不是A的特征向量.1p2p21pp?例11(講義例講義例8)正交矩陣的實(shí)特征值的絕對值為1.注:的特征值是特征方程的根，也是的根.的對應(yīng)特