1、第 1 頁 共 4 頁 矩陣知識點歸納 矩陣知識點歸納 (一)二階矩陣與變換 二階矩陣與變換 1．線性變換與二階矩陣 在平面直角坐標系 xOy 中，由? ? ? ? ?x′＝ax＋by，y′＝cx＋dy， (其中 a，b，c，d 是常數(shù))構(gòu)成的變換稱為線性變換．由四個數(shù) a，b，c，d 排成的正方形數(shù)表? ? ?? ? ? a bc d 稱為二階矩陣，其中 a，b，c，d 稱為矩陣的元素，矩陣通常用大寫字母 A，B，C，…或(aij)表

2、示(其中 i，j 分別為元素 aij 所在的行和列)． 2．矩陣的乘法 行矩陣[a11a12]與列矩陣? ? ?? ? ? b11b21的乘法規(guī)則為[a11a12]? ? ?? ? ? b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二階矩陣? ? ?? ? ? a bc d 與列矩陣? ? ?? ? ? xy 的乘法規(guī)則為? ? ?? ? ? a bc d ? ? ?? ? ? xy ＝? ? ?? ? ? ax＋bycx＋dy .矩陣

3、乘法滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律． 3．幾種常見的線性變換 (1)恒等變換矩陣 M＝? ? ?? ? ? 1 00 1 ； (2)旋轉(zhuǎn)變換 Rθ 對應的矩陣是 M＝? ? ?? ? ? cos θ －sin θsin θ cos θ ； (3)反射變換要看關(guān)于哪條直線對稱．例如若關(guān)于 x 軸對稱，則變換對應矩陣為 M1＝? ? ?? ? ? 1 00 －1 ；若關(guān)于 y 軸對稱，則變換對應矩陣為 M2＝? ? ?? ? ? －1

4、 00 1 ；若關(guān)于坐標原點對稱，則變換對應矩陣 M3＝? ? ?? ? ? －1 00 －1 ； (4)伸壓變換對應的二階矩陣 M＝? ? ?? ? ? k1 00 k2，表示將每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?k1 倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?k2 倍，k1，k2 均為非零常數(shù)； (5)投影變換要看投影在什么直線上，例如關(guān)于 x 軸的投影變換的矩陣為 M＝? ? ?? ? ? 1 00 0 ； (6)切變變換要看沿什么方向平移，若沿 x 軸平移|

5、ky|個單位，則對應矩陣 M＝? ? ?? ? ? 1 k0 1 ，若沿 y 軸平移|kx|個單位，則對應矩陣 M＝? ? ?? ? ? 1 0k 1 .(其中 k 為非零常數(shù))． 4．線性變換的基本性質(zhì) 設(shè)向量 α＝? ? ?? ? ? xy ，規(guī)定實數(shù) λ 與向量 α 的乘積 λα＝? ? ?? ? ? λxλy ；設(shè)向量 α＝? ? ?? ? ? x1y1，β＝? ? ?? ? ? x2y2，規(guī)定向量 α 與 β 的和 α＋β＝?

6、 ? ?? ? ? x1＋x2y1＋y2. (1)設(shè) M 是一個二階矩陣， α、 β 是平面上的任意兩個向量， λ 是一個任意實數(shù)， 則①M(λα)＝λMα，②M(α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二階矩陣對應的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或一點)． 第 3 頁 共 4 頁 所有變 所有變換矩陣 矩陣 單位矩陣： 1 00 1 M ? ? ? ? ? ? ?，點的變換為( , ) ( , ) x y x y ?伸壓變換矩陣： 0

7、0 1k M ? ? ? ? ? ? ?： 1 k ? ，將原來圖形橫坐標擴大為原來k 倍，縱坐標不變 0 1 k ? ? ， 將原來圖形橫坐標縮小為原來k 倍， 縱坐標不變 點的變換為( , ) ( , ) x y kx y ?1 00 M k? ? ? ? ? ? ?： 1 k ? ，將原來圖形縱坐標擴大為原來k 倍，橫坐標不變 0 1 k ? ? ， 將原來圖形縱坐標縮小為原來k 倍， 橫坐標不變 點的變換為( , ) ( ,

8、) x y x ky ?反射變換： 1 00 1 M ? ? ? ? ? ? ? ?：點的變換為( , ) ( , ) x y x y ? ?變換前后關(guān)于 x 軸對稱 1 00 1 M ? ? ? ? ? ? ? ?：點的變換為( , ) ( , ) x y x y ? ?變換前后關(guān)于 y 軸對稱 1 00 1 M ? ? ? ? ? ? ? ? ?：點的變換為( , ) ( , ) x y x y ? ? ?變換前后關(guān)于原點對稱 0

9、 11 0 M ? ? ? ? ? ? ?：點的變換為( , ) ( , ) x y y x ?變換前后關(guān)于直線 y x ? 對稱 旋轉(zhuǎn)變換： cos sinsin cos M ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?： 逆時針0 90 ： 0 11 0 M ? ? ? ? ? ? ? ?； 順時針0 90 ： 0 11 0 M ? ? ? ? ? ? ? ?旋轉(zhuǎn)變化矩陣還可以設(shè)為： a b M b a? ? ? ? ? ? ? ?投