1、期權(quán)作為一種重要的金融衍生證券，于70年代中期首先在美國(guó)出現(xiàn)。30多年來(lái)它作為一種金融創(chuàng)新工具及防范風(fēng)險(xiǎn)和投機(jī)的有效手段，得到了迅猛發(fā)展。但是期權(quán)的價(jià)格很難從市場(chǎng)中直接反映或獲得，因此期權(quán)定價(jià)問(wèn)題一直都是金融數(shù)學(xué)所關(guān)心的一個(gè)重要問(wèn)題。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是期權(quán)定價(jià)的核心和基礎(chǔ)，自從其建立以來(lái)，一直被認(rèn)為是衍生定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理的有力工具。但是長(zhǎng)期以來(lái)，無(wú)論是實(shí)證研究還是理論分析都已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和證明了Black-Scholes期

2、權(quán)定價(jià)模型中常數(shù)波動(dòng)率不能很好的描述市場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，這就指導(dǎo)我們建立和分析動(dòng)態(tài)波動(dòng)率模型。
　　 事實(shí)上，波動(dòng)率是隨機(jī)的，它是股票價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，這可以解釋隱含波動(dòng)率“微笑曲線”和“偏斜效應(yīng)”。本文通過(guò)對(duì)金融衍市場(chǎng)、金融衍生品以及股票市場(chǎng)的運(yùn)行、特征的分析，也證明了Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型不能很好的反映期權(quán)的實(shí)際價(jià)格。因此本文分析了具有隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)模型，對(duì)Black-Scholes模型進(jìn)行修正，并且建立了馬爾

3、可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換波動(dòng)模型。由于波動(dòng)率的隨機(jī)性和不可觀測(cè)性，所以隨機(jī)波動(dòng)率模型下的顯示解很難得到，因此本文運(yùn)用奇異攝動(dòng)理論、雙時(shí)標(biāo)思想以及漸近展開(kāi)方法對(duì)期權(quán)定價(jià)進(jìn)行研究。具體在以下五個(gè)方面的研究成果比較突出:
　　 第一，在分析期權(quán)定價(jià)理論中的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論和無(wú)套利理論基礎(chǔ)上對(duì)Black-Scholes模型的結(jié)構(gòu)、結(jié)果進(jìn)行分析，認(rèn)為經(jīng)典Black-Scholes模型不能精確地反映出期權(quán)的價(jià)格。為此本文討論了幾種不同的波動(dòng)率模型，在對(duì)

4、隨機(jī)波動(dòng)率模型分析的基礎(chǔ)上，分析了具有均值回復(fù)特點(diǎn)的隨機(jī)波動(dòng)率模型。由于控制單個(gè)股票走向的一個(gè)主要因素是整體股票市場(chǎng)的走向，因此有必要讓股票的這個(gè)主要參數(shù)來(lái)反映股票市場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)。股票市場(chǎng)機(jī)制能夠反映出根本的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)、市場(chǎng)中投資者的心態(tài)以及其它一些經(jīng)濟(jì)因素。假設(shè)市場(chǎng)機(jī)制（模式）的轉(zhuǎn)換是有限狀態(tài)的，則簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，股票參數(shù)依賴于市場(chǎng)機(jī)制（模式）的模型稱為機(jī)制轉(zhuǎn)換模型。我們用馬爾可夫鏈來(lái)表示這種機(jī)制轉(zhuǎn)換，比如一個(gè)具有兩狀態(tài)的馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為

5、{0，1｝，可以用來(lái)描述市場(chǎng)模式（機(jī)制）在“牛市”和“熊市”兩種機(jī)制下的轉(zhuǎn)換。由于馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換隨機(jī)波動(dòng)模型能夠很好的模擬由于一些事件或者政策變動(dòng)引起的機(jī)制變化，因此，我們將有限狀態(tài)馬爾可夫鏈引入到波動(dòng)率模型中來(lái)更好的描述股票市場(chǎng)波動(dòng)過(guò)程中的機(jī)制變換問(wèn)題。通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)和構(gòu)建，建立了馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換期權(quán)定價(jià)模型。
　　 第二，本文通過(guò)對(duì)攝動(dòng)理論、奇異攝動(dòng)方法和雙時(shí)標(biāo)方法進(jìn)行分析，將其應(yīng)用到期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)率模型中來(lái)描述波動(dòng)率

6、“微笑曲線”;通過(guò)將過(guò)程分為慢變和快變兩部分來(lái)討論，從而將“微笑曲線”復(fù)雜的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為兩個(gè)子系統(tǒng)研究，對(duì)理論研究和證明提供了明確、清晰的研究思路和方法。
　　 第三，表面上看來(lái)期權(quán)價(jià)格顯式解的計(jì)算好像應(yīng)該是很快且精確的，但事實(shí)上，由于波動(dòng)率的隨機(jī)性和不可觀測(cè)性，不能得到期權(quán)價(jià)格的精確解，因此，只能通過(guò)數(shù)值方法得到其近似值。通常這個(gè)計(jì)算采用數(shù)值積分方法或者是采用逼近的方法來(lái)得到。本文利用了奇異攝動(dòng)理論和雙時(shí)標(biāo)方法，將其引入到機(jī)制轉(zhuǎn)

7、換擴(kuò)散模型中對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行漸近擴(kuò)展，運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到并證明了展開(kāi)式的零階項(xiàng)即為一般Black-Scholes模型價(jià)格的漸近值，而高階項(xiàng)可以看作是其修正項(xiàng)，從而得到更精確的期權(quán)定價(jià)，在此基礎(chǔ)上證明了漸近值與真實(shí)價(jià)格之間的誤差估計(jì)為無(wú)窮小量，即近似值是期權(quán)定價(jià)的很好的逼近。
　　 最后，在以上理論研究的基礎(chǔ)之上，通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)來(lái)說(shuō)明本文的馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換波動(dòng)率模型可以更好的刻畫波動(dòng)率“微笑效應(yīng)”，并得到很好的試驗(yàn)結(jié)果。本文還對(duì)S